一題多變天地寬

朱慶云

【摘要】 數學解題是作為數學教師的教學基本功，體現了對數學學科本質的掌握. 析題是把審題、分析、解答和回顧的思維過程按一定規律一定順序說出來，要求析題者暴露面對題目的思維過程，即說數學思維. 本文結合案例，探討初中數學的解題與析題.

一、解題與析題

近幾年隨著課程改革的不斷深入，讓我們看到豐富多彩、千變萬化的數學題目，雖然題型新穎、知識覆蓋面大，而且技巧性強，個別問題甚至奇妙獨特，但仔細推敲，還是運用一些常見的數學思想方法. 解題注重的是題目或源于數學問題的求解過程，即展示的重點是題目求解的結論.

析題關注的是學生對題目的理解以及數學問題的解決，這需要對問題的來源背景、延伸拓展、怎樣解題和為什么這樣解題等進行闡述，并對于題目的拓展和一題多解、一題多變等進行說明.

二、案例分析

案例 如圖，⊙O的直徑AB = 2，AM和BN是它的兩條切線，C，D分別是射線AM和BN上的動點（不與A，B重合且在直線AB的同側），設AC = x，BD = y，且滿足關系式y = 1/x.

（1）試判定直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由.

（2）當x為何值時，點B關于直線CD的對稱點B′恰好落在射線AM上？

本題涉及的知識點有：圓的知識；折疊問題；勾股定理；全等三角形的判定與性質；相似三角形的判定與性質. 題目的難點是學生無法將分散的條件集中到有效的圖形上進行解決，用好圓的知識和利用對稱原理是解決此題的關鍵.

（一）一題多思，培養思維的獨創性

牛頓說過：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現. ”中學生的想象力豐富，因此，可以通過例題所提供的結構特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養學生的創造性思維和發散思維.

（1）若要證明CD為切線，常用的方法是？O到CD的距離為多少？能算出來嗎？

（2）連接OC、OD， 則∠COD是什么角， 并證之.

（3）若CD為切線， 無論DC的兩個端點在AM、BN上如何移動請問線段AC， BD有什么關系， 并證明.

（4）假設點B關于直線CD的對稱點B′恰好落在射線AM上，應有哪些策略？

1. 題型有何特征，解法有何規律？

2. 題目有哪些證法，其中哪些方法最簡便？

3. 題目的幾種證法中，輔助線添置有何規律？

4. 在題目的解決過程中，解題的關鍵何在？涉及哪些基礎知識？

5. 在題目的解決過程中，有哪些地方容易發生錯誤？應注意什么問題？

評析：通過一題多思，不但能開闊學生的解題思路，而且啟發學生建立了課本例題，習題之間的聯系，使學生在做題時做到“遇新題，憶舊題，多思考，善聯想、多變換、找規律”. 從而培養了學生的應變能力和創造性思維能力.

（二） 一題多解，培養思維的發散性

一題多解是從不同的視角、不同的方位審視分析同一問題中的數量、位置關系，用不同解法求得相同結果的思維過程. 通過探求同一問題的不同解法，可以引出相關的多個知識點和解題方案，有助于培養學生的洞察力和思維的變通性、獨創性，從而培養學生的創新思維的意識.

思路一：本小題欲證CD是切線，在沒有明確交點的情況下，可利用“r = d”的方法證明，即過O點作OE⊥CD，由于半徑為1，故求出OE = 1即可. 進而聯想到連接OC與OD，由題中y與x滿足的關系式y = 1/x，可以容易得出AC/OB =AO/OB，進而得出△AOC∽△BDO，利用∠AOC = ∠ODB，可證出△COD是Rt△，從而利用勾股定理可求出OC、OD、CD，最后通過等面積方法求得OE = 1.

思路二：欲證CD是切線，只需證得OE = OB，考慮到OE⊥CD，AB⊥BD，可證出OD是∠CDB的平分線即可，從而聯想到可構造與△DOC全等的三角形. 考慮到點O為AB的中點，可知延長CO，即可得到△AOC ≌ △BOF，進而證得OC = OF. 由于∠COD = 90°，易得△DOC ≌ △DOF，故 OE = OB；

（三）一題多變，挖掘習題涵量

一題多變是題目結構的變式，是指變換題目的條件或結論，或者變換題目的形式，而題目的實質不變，以便從不同角度，不同方面揭示題目的本質，用這種方式進行教學，能使學生隨時根據變化了的情況積極思索，設法想出解決的辦法，從而防止和消除呆板和僵化，培養思維的靈活性. 一題多變可以改變條件，保留結論；也可以保留條件，改變結論；或者同時改變條件和結論；也可以將某項條件與結論對換，等等.

多年的教學實踐使我深深地體會到：作為一名數學教師，應加強對例題和習題教學的研究，具有較強代表性和典型性的習題是數學問題的精華，教學不要忽視了這些小題，要善于“借題發揮”，進行一題多解，一題多變，多題組合，引導學生去探索數學問題的規律性和方法，以達到“做一題、通一類、會一片”的教學效果，讓學生走出題海戰術，真正做到輕負高質，這對激發學生學習的興趣，培養學生的創造性思維，創新能力，數學素質，都將起到積極的推動作用. 通過科學合理地使用教學素材進行一題多變教學，為培養學生的個性特征和創新思維能力創造更廣闊的天地，正所謂“一題多變天地寬”.