高等數學中積分計算的代數思想

剛蕾 徐爽 唐強

摘要：重積分是高等數學的重點，也是難點，是研究空間解析幾何經常用到的數學工具，因為重積分的計算技巧性較強而且存在很多困難；如果能夠結合線性代數中的正交變換，利用“正交變換”的有關理論來解決某些重積分問題會顯得比較簡便且頗有成效，而且近年來數學的代數化思想日漸顯示它的重要作用，從而推進了各學科之間的聯系。

關鍵詞：正交變換，重積分

中圖分類號：O1文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）04（B）-0000-00

在重積分的計算過程中，經常要用到坐標變換，常用的坐標變換有極坐標變換、廣義極坐標變換、柱坐標變換、球坐標變換、廣義球坐標變換等，而坐標變換只不過是改變積分區域的劃分，選擇替換有著很大的隨意性并且存在一定的困難.對于被積函數可用二次型形式或積分區域可用二次型函數描述的重積分的計算問題，我們通過引進代數中關于二次型化標準型的方法，對坐標系作正交變換，這樣就可以簡化被積函數，或者一定意義上可以簡化積分區域，從而簡化了重積分的計算。對于那些需要兼顧被積函數和積分區域特點的重積分計算問題，用正交變換則顯得尤為簡單。

應當指出，化重積分為累次積分的變量替換，是計算重積分中最常用的方法，但是我們所遇到的重積分不一定都能用他們算出來，所以有時不得不使用其它數學工具和方法.在積分計算中引入正交變換可以簡化這類積分的運算，從而卓有成效的解決積分的某些問題，它是解決二重積分的變量替換的一種有力工具，另外在三重積分、曲線積分、曲面積分等中也都有著廣泛的應用。……