高等數(shù)學(xué)中積分計(jì)算的代數(shù)思想

剛蕾 徐爽 唐強(qiáng)

摘要：重積分是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，是研究空間解析幾何經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)工具，因?yàn)橹胤e分的計(jì)算技巧性較強(qiáng)而且存在很多困難；如果能夠結(jié)合線性代數(shù)中的正交變換，利用“正交變換”的有關(guān)理論來(lái)解決某些重積分問(wèn)題會(huì)顯得比較簡(jiǎn)便且頗有成效，而且近年來(lái)數(shù)學(xué)的代數(shù)化思想日漸顯示它的重要作用，從而推進(jìn)了各學(xué)科之間的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：正交變換，重積分

中圖分類(lèi)號(hào)：O1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2016）04（B）-0000-00

在重積分的計(jì)算過(guò)程中，經(jīng)常要用到坐標(biāo)變換，常用的坐標(biāo)變換有極坐標(biāo)變換、廣義極坐標(biāo)變換、柱坐標(biāo)變換、球坐標(biāo)變換、廣義球坐標(biāo)變換等，而坐標(biāo)變換只不過(guò)是改變積分區(qū)域的劃分，選擇替換有著很大的隨意性并且存在一定的困難.對(duì)于被積函數(shù)可用二次型形式或積分區(qū)域可用二次型函數(shù)描述的重積分的計(jì)算問(wèn)題，我們通過(guò)引進(jìn)代數(shù)中關(guān)于二次型化標(biāo)準(zhǔn)型的方法，對(duì)坐標(biāo)系作正交變換，這樣就可以簡(jiǎn)化被積函數(shù)，或者一定意義上可以簡(jiǎn)化積分區(qū)域，從而簡(jiǎn)化了重積分的計(jì)算。對(duì)于那些需要兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域特點(diǎn)的重積分計(jì)算問(wèn)題，用正交變換則顯得尤為簡(jiǎn)單。

應(yīng)當(dāng)指出，化重積分為累次積分的變量替換，是計(jì)算重積分中最常用的方法，但是我們所遇到的重積分不一定都能用他們算出來(lái)，所以有時(shí)不得不使用其它數(shù)學(xué)工具和方法.在積分計(jì)算中引入正交變換可以簡(jiǎn)化這類(lèi)積分的運(yùn)算，從而卓有成效的解決積分的某些問(wèn)題，它是解決二重積分的變量替換的一種有力工具，另外在三重積分、曲線積分、曲面積分等中也都有著廣泛的應(yīng)用?！?br>