解析幾何中的“動與靜”

張建云 陸平

有條名聯(lián)，上聯(lián)：方若棋盤，圓若棋子，動若棋生，靜若棋死. 下聯(lián)：方若行義，圓若用智，動若聘才，靜若得意. 在數(shù)學(xué)中，甚是如此，本文將以解析幾何為背景，來闡述數(shù)學(xué)中如何依托的一些動與靜的關(guān)系來解一些題.

一、動中有靜， 借形輔數(shù)，水到渠成

① 以不等式為背景的問題1：橢圓 + = 1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為c，橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足MF1⊥MF2求離心率e的范圍.

分析 求離心率e的范圍實(shí)質(zhì)就是構(gòu)建a，b，c不等式.

解 在橢圓 + = 1上存在點(diǎn)M使∠F1MF2 = 90°即以點(diǎn)為原點(diǎn)，OM = c為半徑的⊙O與橢圓相交，而橢圓方程中a、b、c都是動態(tài)的，我們可鎖定a、b，即橢圓不動，使得⊙O與橢圓相交，只要⊙O足夠大，即c2 ≥ b2即2c2 ≥ a2.

即 ≤ e < 1，得解.

反思 本題在解題過程中，第一要明確目標(biāo)；第二 要選準(zhǔn)動靜雙方.如果前期工作做好了，運(yùn)用動靜的關(guān)系，解題就即方便，又準(zhǔn)確.

二、靜中有動， 參變互換，一蹴而就

② 以直線為背景的問題3：（2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷））設(shè)直線系M：xcom θ + （y - 2）sin θ = 1（0 ≤ θ ≤ 2π），對于下列四個命題：

A. M中所有直線均經(jīng)過一個定點(diǎn)

B. 存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上

C. 對于任意整數(shù)n（n ≥ 3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上

D. M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

其中真命題的代號是 （寫出所有真命題的代號）.

分析 如果我們把xcom θ + （y - 2）sin θ = 1式子中x，y 變成相對靜止的參數(shù)θ而把參數(shù)θ看成變量，就會聯(lián)想到公式：

又因?yàn)閤 cos θ + （y - 2）sin θ = 1所以點(diǎn)P（0，2）到M中每條直線的距離d = = 1即M為圓C：x2 + （y - 2）2 = 1：的全體切線組成的集合，對任意n ≥ 3，存在正n邊形使其內(nèi)切圓為圓C，故C正確.

直線系M中邊能組成兩個大小不同的正三角形，如圖△ABC和△AEF，故D錯誤.所以故命題中正確的序號是：B、C.

反思 本題的解題關(guān)鍵在于知道動態(tài)的直線系M為圓C：x2 + （y - 2）2 = 1的全體切線組成的，在坐標(biāo)平面中形成了一個靜態(tài)的空洞，理解靜態(tài)的空洞內(nèi)的點(diǎn)和空洞外的點(diǎn)分別和直線系的關(guān)系就可以了，此解法獨(dú)特，用好“動與靜”的關(guān)系，解題效果頗佳.

三、動靜互換，巧構(gòu)坐標(biāo)系，出奇制勝

③ 以曲線為背景例題4：已知橢圓的長軸長為10，短軸為6，在第一象限內(nèi)保持與兩坐標(biāo)軸相切地運(yùn)動，求橢圓的中心的軌跡.

分析 變換一下動與靜的雙方，即坐標(biāo)系動起來，而把橢圓靜止一下，研究橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的性質(zhì)，就會把看上去困難的問題解決.

可以化簡得x02 + y02 = 25 + 9 = 34.

這就是說點(diǎn)P到橢圓中心距離為，故所求軌跡方程為x2 + y2 = 34，并且x∈[3，5].軌跡圖形是一段圓弧.

以“動——靜——再動——再靜——再動—”，不斷地使創(chuàng)新思維向更高的水平發(fā)展.在思維過程中，如果動不以靜為目標(biāo)，思維就不會獲得成功；靜不以動為先導(dǎo)，也不會有創(chuàng)新.因此，動，靜思維也是一種重要的思維形式.

高考數(shù)學(xué)命題都源于課本，我們?nèi)绻跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，以“動與靜”的關(guān)系來理解課本中的概念、定理、公式，那么解題時，往往能夠事半功倍、避免題海戰(zhàn)術(shù).