幾何教學中關于“a=b”型結論的

肖政偉

證明線段倍半關系是常見的幾何證明.而在初中階段關于線段倍半關系直接運用的定理有：三角形的中位線定理以及“直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半”“直角三角形斜中線定理”等，筆者就初三學生一次單元測試中的兩道題目，試圖對“線段倍半關系”進行簡單探析.

案例1：如圖，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分線，AE交BC、BD于點E、F，AC、BD相交于點O. 求證：OF= CE.

1. 直接利用三角形中位線定理證明

證明：過點O做OG∥CE，交AE于點G

∵AO=OC， OG∥CE

∴OG是△ACE的中位線

∴OG= CE

又∵∠OGF=∠DAF=∠OFG=67.5°

∴OG=OF

∴OF= CE

評價：學生在學習了三角形中位線定理后，結合此題中的“O點是AC的中點”這個條件，最容易想到構造△AEC的中位線OG，轉化為證明線段OG=OF即可.

2. 利用相似三角形的相似比證明

證明：∵∠OAF=∠FAB，∠AOF=∠ABE=90°

∴△AOF∽△ABE

∴ = = ?①

又∵∠OAF=∠FAB，∠AFB=∠AEC=112.5°

∴△ABF∽△ACE

∴ = = ②

∵BF=BE

∴①×②得 = ，即OF= CE

評價：“a= b”型結論的等價結論是“ = ”，可以借助相似三角形的相似比來解決.尋找相似三角形或構造相似三角形是本題的關鍵.

3. 利用線段和差b=a+a證明

證明：

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD

∵∠DAF=∠DFA=67.5°

∴DA=DF

同理：BF=BE

∵OF=DF-DO，OF=OB-BF

∴OF+OF=DF-BF

∴OF+OF=BC-BE ∴2OF=CE

即：OF=CE

評價：“a= b”型結論的等價結論還可以是“b=a+a”，利用線段的和差關系以及線段的等量代換可以證出.

案例2：已知： 等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AF是∠BAC的平分線，交BC于點E，BF⊥AE交AE的延長線于點F.求證：AE=2BF.

思路分析：由于此題條件中沒有明顯的中點條件，因此利用三角形的中位線定理證明比較困難，能否想到利用相似三角形的相似比來證明呢？圖中△BFE與△ACE顯然相似，但BF是△BFE的直角邊，而AE是△ACE的斜邊，明顯不對應，于是可以想到構造以BF為斜邊的直角三角形，這樣就可得方法1.

1. 利用相似三角形的相似比證明

證明：過F點做FM∥CA交BC于L點，交AB于M點.

∵FM∥AC ∴∠MFA=∠1

∵∠1=∠2 ∴∠2=∠MFA

∴MF=MA

∵∠BFA=90° ∴MB=MF=MA

∵FM∥AC，MB=MA

∴BL=LC= BC= AC

∵∠1=∠3，∠FLB=∠C=90°

∴△BFL∽△AEC

∴ = = ，即AE=2BF.

2. 利用直角三角形斜中線定理證明

證明：做AE的中點M，連接CM.以AB為直徑做圓O，則F、C、A、B四點共圓.

∵∠ACB=90°，MA=ME

∴CM= = = AE

∵∠1=∠2

∴FB=FC

∴FB=FC

又∵∠CFM=∠FMC=45°

∴CM=CF

∴BF= AE

即AE=2BF

評價：利用AE是直角ΔACE的斜邊，聯想到斜中線定理，轉化為證明線段BF=CM即可.

3. 利用折半方法證明

證明：做AE的中垂線交AB于G，交AE于M，連接EG.

∵MG垂直平分AE

∴GE=GA

∴∠GEA=∠2

∵∠1=∠2

∴∠GEA=∠1

∴EG∥CA

∴∠BEG=∠C=90°

∵∠EBG=45°

∴EB=EG

∵∠3=∠1

∴∠3=∠GEM

又∵∠F=∠EGM=90°

∴△BFE≌△EMG

∴BF=EM= AE

即AE=2BF

評價：把較長的線段AE折半，轉化為證明線段BF=EM即可.

4. 利用加倍方法證明

證明：延長BF、AC交于H點.

∵∠1=∠2，∠BFA=∠HFA=90°，AF=AF

∴△ABF≌△AHF

∴FB=FH，即BH=2BF

∵∠3=∠1，CB=CA，∠BCH=∠ECA=90°

∴△BHC≌ΔACE

∴BH=AE

∴AE=2BF

評價：此種方法采用的是間接加倍方法，若直接加倍，則“延長BF到H點，使BH=2BF”，此時就要證明A、C、H三點共線，非常棘手，所以用間接加倍方法更有利.

教學啟示

1. 解題教學時應重視常規解題方法的教學

教師在幾何課證明教學時，應著重于對常規思維方法的分析，努力幫助學生找到最容易想到的、最容易掌握的解題方法，以使學生能突破原有的思維障礙，使教學建立在學生通過一定努力就可能達到的智力發展水平上，并據此確定知識與方法的廣度、深度.案例1中利用三角形中位線定理來證明，而案例2則采用加倍或折半的方法更適合學生.

2. 不斷滲透等價轉化等數學思想，培養學生創新思維

著名數學家和數學教育學家波利亞曾說：“如果不變化問題我們幾乎不能有什么進展.”把求解的問題轉化為在已有知識范圍內可解的問題，是數學解題中基本的思想方法之一，即轉化的數學思想方法.案例1、2中把“a= b”型結論轉化為“ = ”或者把“a= b”型結論轉化成“b=a+a”，都是如此.

重視常規性解題方法并不是完全否定創新型解法，教師應在使學生扎實掌握好雙基的基礎上，鼓勵學生大膽嘗試、勇于創新，不斷探索更多、更巧、更妙的方法.例如案例1中的利用相似比來證明和利用b=a+a方法來證明都是學生在單元測試中少數學生的創新解法，案例2中的方法1和方法2也是如此.教師在引導學生與同伴分享不同解題方法后，還需對不同解法進行分析、比較、歸納，以幫助學生選擇適合于自己思維水平的方法，進而納入自己已有的認知系統，以便能形成自我分析問題、解決問題的能力.

責任編輯 羅 峰