漢森理論中的音高材料分類

20世紀，尤其是在上半葉，無論在美國的專業音樂還是公共音樂事業的發展中，霍華德·漢森（Howard Hanson，1896-1981）都是一位不容忽視的人物，他為“美國音樂”的形成和發展做出了巨大貢獻。

作為曾獲得羅馬大獎（1921年）和普利策獎（1944年）的作曲家，霍華德·漢森一生致力于美國音樂的發展，創作了百余部作品，引領了當時創作美國本土音樂的潮流。他的創作理念和理論研究成果是支持他創作的根源，對后人影響深遠，可以說，他的理論對于整個作曲技術理論的發展都起到了啟發和承接作用。

一、漢森理論

1960年，漢森的理論著作《現代音樂中的音高材料—十二平均律資源》①（以下簡稱《音高材料》）出版，其中全面闡釋了他的作曲技術理論理念，被稱為漢森（音高）理論，為后來的音級集合理論提供了基礎，也為創作十二平均律音階或近似平均律音階范圍內有調性和無調性的自由寫作技術提供了總的音高材料庫，在20世紀的作曲理論史中是不可忽視的理論著作。

“漢森理論”實則是將平均律音階中的十二個音之間的組合按照從簡單到復雜的映射②順序進行整合，計算出222個音高組合材料的較為完整的音高材料資源庫。該理論打破了傳統的思維方式，重新確立了新的觀念和邏輯。

在漢森理論中，音組（sonority）是其基本概念，表示音與音的組合，包括縱向排列的和聲和橫向排列的旋律，等同于音級集合理論的pc集合。Sonority指音響，漢森用該詞來表示同時發聲的兩個以上的音高組合，簡稱音組。每一個音組都有其表示的構成式和音程分析式。音程分析式相當于音級集合中的向量，以基本音程p、m、n、s、d、t的順序排列，p表示純五度及其轉位的純四度，m表示大三度和小六度，n表示小三度和大六度，s表示大二度和小七度，d表示小二度和大七度，t表示三全音（增四度或減五度），上方標記數字以表現該音組中包含某音程的數量。例如七音組C2D2E2#F1G2A2B③的音程分析式為p6m3n4s5d2t表示該音組包含6個純五度（或純四度），3個大三度（或小六度），4個小三度（或大六度），5個大二度（或小七度），2個小二度（或大七度）和2個三全音（1x2）。該音組在音級集合中稱為“7-35”，在漢森理論中，該音組的構成式為p6，表示該音組由純五度經過6次映射所得，p6也是該音組的名稱。而有一部分音組有幾個構成式，也即該音組可以采用不同的映射法獲得。

在漢森理論中，所有音高組合材料的排列順序并非音級集合理論中集合原型的順序，而是在基數相同的情況下，根據映射所得到的音組的先后進行排列，這樣的排列有利于理解所有音高組合的計算來源，同時相鄰音組具有一定的音程關聯性。

二、漢森理論中的音組分類

將這222種音高組合材料進行分類是一件極其復雜的事情，甚至有人認為并不可行。在漢森理論中，就像管理圖書館里不同類別的圖書一樣將這些音組根據映射方法進行了整理，這對于音樂創作來說無疑具有使用價值，尤其對于如何選擇音高材料是一種行之有效的方法。

眾所周知，興德米特理論是將這些音組材料按照非傳統的思維方法進行整合的音高組合理論，該理論把所有的音高組合材料（和弦）按照是否含有三全音分為兩部分，按照是否含有小二度再度進行分類，最終分為六組，通過各和弦的緊張度進行排序來獲得整體和弦關系的對比和統一。雖然這種分類法對于創作來說較為瑣碎、自由，更趨于在宏觀上的把握，但理論說服力已被世人接受。音級集合理論與興德米特理論研究的材料相同，借用數學的計算方法將音高材料按照基數的不同進行分類。該理論重點闡述各集合（音組）間的關系，在音組分類上潑墨不多。

漢森理論的研究對象同樣是這些音高材料，對所有音組按照映射方法進行梳理的過程便是獲得音組分類的依據。該理論從音程的角度對所有音組進行觀察，從音程屬性入手對各音組的性質進行分析和計算。音程屬性，即六種基本音程所表現出來的各有特色的音響性質。音組屬性，是指根據各種基本音程的數量比例所形成的音程屬性綜合體。在漢森理論中隱藏著諸多分類方法，具體說來，有以下三種：

第一種：漢森的理論著作《音高材料》將這些音組按照單音程映射、三音組映射、兩音程組合映射、對合映射等順序分為四種映射方法，也即分為四類。在單音程映射中，由六個基本音程進行疊加映射所獲得了音組最具該音程的特性；三音組映射是以3為基數的音組基礎上進行該音組結構的疊加映射，獲得的音組最具該音組的音程屬性特點；兩音程組合映射是在某一音上分別映射兩個基本音程，再結合的方法，獲得的音組具有這兩種音程屬性特點；對合映射是以某音為軸向上、下兩個方向進行映射疊加的方法，所獲得的音組與映射的音程有關。通過這四種映射法獲得的音組間有重合的音組，說明該音組同時具有不同的音程屬性。

第二種：根據各音組的基數（即由幾個音組成）分為2-12音音組（理論中只列出2-10音組），這與音級集合理論相似。

第三種：也是漢森的重要分類方法，即根據各音組中音程屬性將各基數組的音組分成了六類或七類。漢森認為，在一個音組中，含有兩個以上的音程并且同時發音時，必定有一種、兩種、三種或四種音程占據主導地位，如在50個六音組中，有26個音組以一種音程占據主導地位；12個音組以兩種音程占主導地位；6個音組以三種音程同時占據主導地位；6個音組以四種音程同時主導，因此，漢森根據各音組的主導音程將所有的音組進行了分類。在2-4音音組和8-10音音組中，每個基數的音組都以六種基本音程為依據分為六組，或者說這六組中的音組都是具有該音程最強烈屬性的，如29個四音組中（1）C-D-G-A（p3，p3ns2，4-23）④、（2）C2D2E3G（p2s2，p2mns2，4-22）⑤、（3）C4E3G2A（p/n，p2mn2s，4-26）、（4）C2D5G4B（p2m ，p2mnsd，4-14）⑥和（5）C4E3G4B（p/m，p2m2nd，4-20）⑦這5個音組是四音組中具有純五度音程屬性最突出的音組，或者說這些音組具有純五度音程屬性傾向，筆者稱之為純五度屬性類（6）d3（ns2d3，4-1）、（7）d2s2（mns2d2，4-2）、（8）d/n（mn2sd2，4-3）、（9）d2m （pmnsd2，4-4）和（10）d/m（pm2nd2，4-7），這5個音組是最具有小二度音程屬性特點或傾向的音組，稱之為小二度屬性類；（11）s3（m2s3t，4-21）、（12）s2n （pmns2d，4-11）和（13）s/n（pn2s2d，4-10）3個音組是最具有大二度音程屬性特點或傾向的音組，稱之為大二度屬性類；（14）n3（n4t2，4-28）、（15）n2p （pmn2st，4-27）、（16）n2d （mn2sdt，4-12）、（17）n2s

（pn2sdt，4-13）、（18）n2m （pmn2dt，4-18）和（19）n/m（pm2n2d，4-17）6個音組是具有小三度音程屬性最突出或具有小三度屬性傾向的音組，稱之為小三度屬性類；（20）m3（pm3nd，4-19）、（21）m2s2（m3s2t，4-24）2個四音組是最具大三度音程屬性特點和傾向的音組，稱之為大三度屬性類；（22）p/t（p2d2t2，4-9）、（23）m/t（m2s2t2，4-25）、（24、25）pmnsdt（pmnsdt，4-z15，4-z29）、（26）p2d （p2msdt，4-16）、（27）p/d（p2md2t，4-8）、（28）p2d2（p2sd2t，4-6）和（29）d2p （pmsd2t，4-5）7個音組為具有三全音音程屬性和傾向的音組，稱之為三全音屬性類。雖然在音級集合理論中從向量可以看出哪些音程占據優勢，但該集合的構成關系卻并不能明確表現出來，這也是漢森理論有別于音級集合理論的地方。

在基數為5-7的音組則分為七組，除了具有六種音程屬性的六組外還有一組是其中具有四種或五種音程屬性相同數量的音組。如基數為5的音組共38個，除類似于四音組的六組外，還有一組五音組：（1）↑p2d2↓（p2m2n2s2d2，5-11）、（2）p2n2（p2m2n2sd2t，5-z18）和（3）n2s2↑↓（p2mn2s2d2t，5-z12），這3個音組中有5項音程數量相同，無法判斷哪一種音程占據主要地位的音組，也難以劃分在以上六組中的任何一組，因此，這三個音組具有了一種折中的屬性，而沒有傾向性，稱之為多音程屬性類。

根據音程屬性進行分類的方法在理論上是行得通的，但其音響效果要根據排列的密集程度、音區、重復音等等形式才可能得以清晰呈示。就音組的屬性來說，也許在某種程度上對于音樂創作可以提供對比和統一的依據，同時也為分析作品中音高材料的使用情況具有一定的幫助作用。

以上分類方式在漢森的《音高材料》附錄“十二平均律音階中的音組映射及相互關系表”中用虛線有所表示，這種分類法為我們從音程本身出發思考創作的問題提供了參考，也提示我們從音樂本身尋找相互關聯的可能性。

基金項目：

本文為2015河南省教育廳人文社會科學研究項目資助《十二平均律資源中的音組關系——霍華德·漢森理論研究》青年項目，項目批準號：2015-QN-440。

注釋：

①見參考文獻[1]，筆者將“Haimonic Materials”翻譯為“音高組合材料”，以便與傳統和聲概念分開，簡稱“音高材料”。

②映射（Projection），指音階或和弦按照同樣的邏輯進行疊加或重復所構成音組的方式。映射包括單向和雙向映射、單音程和多音程映射等方式。映射是該理論最為重要的音組構成方法。參見參考文獻[2]第二章第二節。

③數字表示該音組中各音之間的半音數。

④“p3”為構成式，“p3ns2”為音程分析式，“4-23”為音級集合名稱。

⑤構成式p2s2是在某音上疊加兩次純五度，再在該音上疊加兩次大二度的結合，如（C-G-D）+（C-D-E）=C-D-E-G。

⑥構成式p2m 是以某音為基礎向上下兩個反向進行純五度映射，如以G為基礎，（G-D）+（G-C）+（G-B）=C-D-G-B。

⑦構成式p/m是在基礎音上構成純五度，在上方大三度上再構成純五度，得到（C-G）+（E-B）= C-E-G-B。

參考文獻：

[1]Howrd Hanson.Haimonic Materials 0f Modern Music[M].New York：Appleton Centery Crofts，Inc.1960.

[2]王丹.霍華德·漢森音高理論研究[D].南京：南京藝術學院，2014年.

[3]王丹.音高材料庫——霍華德·漢森理論中的十二平均律資源[J].南京藝術學院學報（音樂與表演版），2013，（03）.

[4][德]興德米特著.作曲技法（理論篇）[J].羅忠镕譯.北京：人民音樂出版社，1990.

[5][美]阿倫·福特著.無調性的音樂結構[M].羅忠镕譯.上海：上海音樂出版社，2009.