走進數學建模

張安平

【摘 要】各類數學建模大賽正在如火如荼舉行，為了使更多同學了解數學建模，走進數學建模，本文就數學模型、數學建模、建模步驟及建模能力培養談了一些自己認識。

【關鍵詞】模型；數學模型；數學建模

數學建模是近幾年來在我國大學及普通中學中廣泛開展起來的一項活動，隨著各類數學建模競賽的舉辦以及數學建模向數學教學的不斷滲透，數學建模活動越來越受到學生和數學教師重視，在教學實踐過程中，發現數學建模是創新教育與數學教學最好結合點，數學建模就像一座橋，它將抽象、艱深的數學理論和它在現實生活中豐富多彩的應用連接起來，同學們，嘗試著去走走這座橋吧，它將帶你走入一個充滿挑戰和樂趣的世界！

一、數學模型和數學建模

所謂數學模型是指通過抽象和簡化，使用數學語言對實際現象的一個近似的刻畫，以便于人們更深刻地認識所研究對象，數學模型不是對現實系統的簡單模擬，它是人們用以認識現實系統和解決實際問題工具，數學模型是對現實對象的信息通過提煉、分析、歸納、翻譯的結果。它使用數學語言精確地表達了對象內在特征，通過數學上演繹推理和分析求解，使得我們能夠深化對所研究的實際問題認識。

從這一意義上講，我們以前在物理學和化學中學習過許多公式，都可以看作一個數學模型。隨著數學應用日益廣泛，數學模型也越來越多地出現在社會科學及人文科學許多領域。例如，人口增長問題可以用一個指數函數描述并進行預測，某種新產品銷售量變化，可以通過一個微分方程來進行解釋。

數學建模是指通過對實際問題抽象、簡化，確定出變量和參數，并應用某些規律建立起變量與參數間關系的數學模型，求解該數學模型、解釋、驗證所得的解，確定能否多次循環用于解決實際問題過程，由此可以看出，數學建模是一個創造性的過程，這個過程一般可以分為分析問題、查閱資料、建立模型、求解模型、完善寫作等階段。

二、數學建模一般步驟

建模要經過哪些步驟并沒有一定模式，通常與問題性質、建模目的有關，下面介紹是機理分析方法建模一般過程。

1.模型準備

了解問題實際背景，明確建模目的，搜集必要信息數據，弄清對象主要特征，形成一個比較清晰問題，由此初步確定用哪一類模型。

2.模型假設

根據對象特征和建模目的，抓住問題本質，忽略次要因素，作出必要的合理的假設。對于建模成敗這是非常重要和關鍵一步。假設得不合理或太簡單，會導致錯誤的或無用的模型，假設得過分詳細，會使你很難或無法繼續下一步工作。

3.模型構成

根據所作的假設，用數學語言、符號描述對象的內在規律，建立包含常量、變量等的數學模型，如優化模型、微分方程模型、差分方程模型、圖型模型等。

4.模型求解

可以采用解方程、畫圖形、優化方法、數值計算、統計分析等各種數學方法，特別是數學軟件和計算機技術。

5.模型分析

對求解結果進行數學上分析，如對結果誤差分析、統計分析、模型對數據的靈敏性分析。

6.模型檢驗

把求解和分析結果返回到實際問題，與實際的現象、數據比較，檢驗模型合理性和適用性。

三、數學建模能力的培養

分析問題是完成數學建模關鍵一步，在分析問題過程中，主要培養學生如何將實際問題與自己所學知識聯系起來，學生所學知識都局限于理論知識，理論知識都是在一定理想化條件下得到的，而實際問題很難滿足理想化條件，而很多實際問題與理論知識差距較大，如何發現二者關系，就需要學生具備敏銳的洞察力、良好的想象力以及靈感和頓悟，較強的抽象思維和創新意識，使得學生思維的廣度、深度、創造性、發散性得到鍛煉。

在對問題分析認識基礎上，查閱資料能力已變得無比重要，在此過程中學生的閱讀理解能力、信息檢索能力成為關鍵。結合對問題分析與查閱的資料，就可以建立數學模型，在此過程中，學生的創新能力、創新思維、創新意識得到充分鍛煉。

數學建模最終結果是一篇完整的論文，如何將模型建立、模型求解、算法設計中創新部分有條理表達出來，對提高學生寫作能力有較高幫助，通常經過多次訓練，學生不僅規范了寫作方法，而且激發了他們寫作技巧上的創造潛能。

四、數學建模范例

四條腿長度相等的椅子放在光滑但不平坦的地面上，四條腿能否同時著地？

分析：此問題是來源于日常生活中一件普通的事實，把椅子往不平地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩，然而只需稍挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩了，這個看似與數學無關現象能否用數學語言給以表述，并用數學方法來證實嗎？讓我們試試看。

假設椅子中心不動，用A、B、C、D分別表示每條腿的著地點。把連線CA、DB作為X軸和y軸（如圖），θ表示對角線AC轉動后與初始位置X軸的夾角，y（θ）表示A、C兩腿與地面距離之和，f（θ）表示B、D兩腿與地面距離之和。

以上例子，僅僅是為同學打開了一扇“數學建模”的窗戶，讓你看到了數學應用廣泛性和趣味性一角，數學作為一門理論性很強學科，并不是如許多人所想象的脫離實際的空中樓閣，其實“生活中處處皆數學”，連結生活和數學的橋梁就是數學建模，同學們，走進數學建模吧！

參考文獻：

[1]姜啟源等.數學模型[M]北京：高等教育出版社，2003，第三版；

[2]張又昌等.數學[M] 北京：高等教育出版社，2002，第一版；

[3]孫浩.加強數學建模，推動創新教育[J]高等數學研究，2006（6）。