談高數情懷之極限

周雪

【摘 要】很多學生甚至老師還在為極限一些沒有意義的地方在糾結和耗時.借此我來談談我的數學情懷，希望可以給還在糾結的人一些啟發和新的學習高數的感悟！

【關鍵詞】高數情懷；極限；無限接近

談到高數情懷，這是一種什么情懷，也許是高數里那些智慧結晶的一種贊嘆，也許是對數學家用生命研究數學的一種感恩，也許是高數滲透的那些經典的哲理的一種吸引，也許是高數讓我們看到生活真諦的一種沉靜.不知道你們也有我這樣的情懷嗎？在過去教學一度時間中，我總是在問自己，老師到底在高數課堂上要教學生什么，我一直在尋找答案，每次上完課都總感覺不盡興，總感覺學生不應該這么學習高數。就在一次備課“極限”內容，突然讓我找到了答案，我為什么不把我這種高數情懷也讓學生知道呢？我為什么不把這種高數情懷貫穿到我的課堂上呢？從現在開始我就要在我高數課堂上的談高數情懷，從極限開始。

一、極限的爭議

例1：阿基米德追烏龜。

這是由古希臘哲人芝諾提出的一個經典悖論。假設烏龜在阿基米德前面100米的地方，烏龜的速度1米/s，阿基米德的速度是10米/s，阿基米德跑完100米的時候，烏龜又跑了10米，阿基米德再跑那10米，烏龜又跑了1米，阿基米德跑完1米，該死的烏龜又跑了0.1米……按這個推理，好像阿基米德永遠也追不上烏龜，烏龜始終都領先阿基米德一點點。這個問題大家普遍是這么回答的，因為烏龜跑10米要10s，跑1米要1s，0.1米是0.1s，0.01米是0.01s……這樣把時間加起來10+1+0.1+0.01+0.001+……這樣一直加下去是一個無限的數列，但是這個數列的值是可以求出來，等比數列求和即 s，時間在 s的時候阿基米德就追上了烏龜。但是人們又開始疑惑另一個問題，極限的概念告訴我們：極限是無限的接近但是不到達，就算加起來是確定的時間值，但是按極限概念確是達不到啊，還是沒追上不是？于是就又出來類似問題，例如例2的問題。

例2：。

0.9到底和1相等嗎？按照極限的概念，0.9應該是無限接近，但是沒有達到，所以不等于1.但是還是有一些人不死心，一直在追究0.9到底等不等于1，如果不相等，那例1中的阿基米德不就永遠追不上烏龜了嗎？

二、極限的“堅持”

針對以上的兩個例子，讓我反思的不是例子的答案是什么？而是為什么極限的學習總有一些人在思考類似的這些問題。思考過后，這些問題就算有了答案，你得到了什么呢？你是一個學生？還是老師？你是數學業余愛好者，還是專業數學家？即使你是專業數學家，這樣的問題更沒有意義，何況前三種人。為什么沒有意義，簡單的說，極限定義就是“無限接近”注意是“無限”接近，至于達到沒達到，我可以說這不歸極限管。極限就是用來解決無限接近的。你們有那么多精力放在不歸極限管的領域里面，怎么不用心來感受下極限真正的價值所在。“極限”的定義能把“無限接近”這么淺顯易懂，但是你用漢語又解釋不清的一個概念用純粹的數學符號翻譯成如此嚴密思維和邏輯。“ε-N”定義，“ε-X”定義，“ε-δ”定義，如此驚嘆的數學語言的翻譯，難道這不應該贊嘆一下嗎？贊嘆“極限”這種非凡的能力——“無限接近”，它不僅可以看到你用肉眼看不到的地方——“領域”，它還可以一直堅持做一件永遠做不完的事情，這是何等的超能力，這是多么的值得學習的地方。接下來我們來看例3。

例3：這個數列的極限是兩個重要的極限之一，利用準則Ⅱ單調有界數列必收斂已經證明了這個極限值一定存在，那這個值是多少？很多學生認為當 n→∞的時候， ， 所以1∞=1，所以，顯然這個答案是錯的，應該是e。你可以把n=1.n=2，n=3，……n=16，……帶入此式計算出Xn，觀察下Xn無限接近e，所以這個極限的正確答案應該是，這個極限告訴我們什么：首先你看這個，答案就是1，這兩個極限的區別是什么？我這個時候再來解釋下，如果你起點開始擁有的資本是1，如果你每天做一點點點點（+ ），次方100意思就是做了100天，結果你的資本還是1，但是如果你做了n→∞天，那你的資本就變成了e≈2.7… 翻了2倍多，這是多么驚嘆！原因其實就是n→∞，這時候n其實不在叫n，而應該叫“堅持”，而又是誰讓你看到這堅持以后帶來的巨大改變，它就是“極限”，這就是極限的意義，這就是我從高數里感受的情懷，堅持是多么的厲害！ 于是趁熱打鐵趕緊問等于多少，也就是你每天少做一點點點點，結果，你原來1資本變成了 這個損失何其大啊！這不正是人生真諦嗎？——貴在堅持！

所以無論是你前面四種的哪一種人，甚至就是一個普通老百姓或媽媽奶奶級別的人，這才是我們要學習和值得去花時間思考和感嘆的問題，這也正是我們學生急需從高數課堂里面獲得的知識。

三、極限的精神

可能有人要反問我，極限如此厲害，如此有意義，為什么例1和例2解釋不了，那么極限的定義都是錯的，就別談它的價值所在了，其實前兩問的一個根本原因是n→∞，在實際操作和生活當中∞有嗎，或者我反問你，你可以把一個線段給我切成無窮多個點嗎？你確定你切完了嗎？你真的可以把一把1米的尺子不停的取二分之一嗎？你真的可以在阿基米德追烏龜的路上找到∞多個點嗎？事實上沒有辦到！這個時候極限該笑了，你連n→∞都不能給我，你還要我幫你去無限接近，這不是可笑之極！所以我要說的是例1悖論的推翻理由根本就不需要極限登場，哪來的無窮項相加？而同樣例二也需要無窮多的9，你有本事給我無窮個9先！再者，你要0.99循環等于1干什么？0.99999999999999999999999的精確度就足夠讓火箭飛天了。這個時候又會有人反問我那極限的產生就更沒意義了？沒有意義嗎？你難道還沒有感受到例3極限的那份堅持？你難道還沒沒感受到0.9那種永不停息，一直努力地在往自己小數點后面加9的那份執著？你難道不應該感嘆極限一直在不停的“無限接近”的這種精神嗎？這其實就是“經典數學”。“經典數學”是不用迎合“應用數學”，它不僅可以解釋物理現象，它更勝于超越生活的領域。這就是我們學習極限的價值和感受高數情懷的地方！

高數情懷不僅可以在極限體會，它的所有概念，你都應該試著去找找那份情懷的存在，所以我的高數課堂的情懷之路漫漫而道遠！希望我能帶著越來越多的學生一起走上這條路！

參考文獻：

[1]高等數學.同濟大學數學系編.6版.北京.高等教育出版社.2007.6