追逃問題的運動學分析

陳 龍，趙 民，康永來，韓 松，高華宇

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追逃問題的運動學分析

陳 龍1，趙 民2，康永來2，韓 松1，高華宇1

（1. 北京宇航系統工程研究所，北京，100076；2. 中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

從運動學角度闡述追逃問題，建立描述追逃雙方運動狀態的數學模型，結合運動學原理得到追逃問題中的重要結論，根據結論給出追逃雙方相應的追擊、逃逸策略，最后通過仿真實例驗證追逃結論的合理性。

追逃；策略；運動學

0 引 言

追擊-逃逸博弈（PE game），即“PE博弈”問題，于1967年由美國數學家Issacs提出。追逐-逃逸博弈實際上是博弈論在具體場景中的應用和擴展，在該博弈過程中，逃逸方通過各種策略努力使某一支付值（如脫靶量等）最大化，而追逐方則正好相反，它通過各種策略努力使同一支付值最小化，如果雙方的策略存在一個平衡點，那么該點可稱為“鞍點”，類似于博弈論中的“Nash平衡”點。“追擊-逃逸博弈”是博弈論的一種擴展[1,2]，研究博弈方如何通過不同的策略選取使自己的收益最大化，是利益沖突雙方調和的一種方法，是一個典型的最大值最小值優化問題，體現了二人零和博弈思想。

PE博弈問題對涉及對抗的問題有普遍適應性，在軍事技術的對抗中，飛機與防空導彈的對抗[3]、彈道導彈與反導導彈的對抗、干擾機與雷達之間的電磁對抗都是追逃問題的不同體現。本文主要從運動學角度研究兩個運動物體之間的追逃問題，對于防空、反導、突防等領域有一定的借鑒意義[4，5]。

1 追逃問題基本模型

為分析追逃問題，首先建立描述追擊、逃逸對象運動狀態的坐標系，稱為追逃坐標系，如圖1所示。選取平面為當地水平面。

圖1 追逃雙方在追逃坐標系下的位置、速度關系

L—追擊方；T—逃逸方；—速度；—航跡傾角，定義為速度矢量與平面夾角；—航跡偏角，為速度矢量在平面內的投影與軸的夾角；—視線傾角，為視線矢量與平面的夾角；—視線偏角，為視線矢量在平面內的投影與軸的夾角；，，—位置坐標

根據幾何模型，易得視線向量與位置坐標的幾何關系：

追逃過程中，雙方需要控制力來改變自身的運動狀態，從而實現追擊和逃逸，因此控制力是追逃雙方存在的力；另外當前運動對象的追逃問題多在地球引力范圍內，所以地球引力也是雙方所受的力；為簡化問題，不考慮追逃過程中的空氣動力。

基于以上假設，追擊方動力學模型可寫為[6]

2 追逃過程理論分析

根據上面模型，從運動學角度看，決定追逃結果的因素可歸結為追逃起始點處的視線矢量和相對速度矢量；兩個矢量決定一個平面，故可在一個平面內分析兩者的關系（見圖2）。

圖2 視線矢量和相對速度矢量的幾何關系

追逃雙方的對抗過程從運動學角度可看作兩個正交方向的運動過程：一是沿初始視線方向（軸方向）的相對運動，該相對運動速度為，其作用是使追擊方沿著初始視線的方向一直逼近逃逸方；另一方面是垂直于初始視線的方向（軸方向）上的運動，該相對運動速度為，其作用是在初始視線的法向上拉大雙方距離，使追擊方在初始視線法向上遠離逃逸方。

基于上述討論，可以得到以下重要結論：

a）忽略重力作用，在逃逸方不主動逃逸的情況下，從理論上分析追擊方存在著理想的初始追擊狀態，該狀態下的為0，此時追擊方可以不需要控制力機動就能追擊到目標。

b）初步確定雙方的機動策略：追擊方利用法向過載機動的目標是將引起的在方向的相對運動距離變為0，使逃逸方和追擊方的相對運動只沿方向。逃逸方逃逸的目標是調整推力方向與一致，加大引起方向的相對運動距離。

c）在逃逸方不主動機動的情況下，假設追擊方推力所能提供的可用過載為，單位為m/s2；追逃過程持續時間的條件下，則追擊方成功追擊的條件為；其物理意義是追擊方的可用過載能在追逃過程一半的時間內將變為0，此處方向的相對距離最大；用剩下的一半時間將方向的相對距離變為0。

上面只是理論分析，沒有考慮追擊、逃逸雙方獲取對方信息的探測誤差和改變自身運動狀態的控制誤差等因素帶來的隨機影響，離實際情況還有一定距離，但理論分析為下文的追擊策略、逃逸策略提供了理論基礎。

3 追擊方的機動策略——擴展比例導引律

追擊方的擴展比例導引律為[7，8]：在鉛垂平面內，航跡傾角的變化率正比于視線傾角變化率；水平面內，航跡偏角變化率正比于視線偏角變化率，即：

式中1，2為導引系數。

可以得到：

代入導引律公式，即可得到追擊方的擴展比例導引律。

4 逃逸方的逃逸策略

逃逸方的逃逸參數包括機動過載大小、機動的方向、機動時間段；機動過載可以在可用過載范圍內自由調整，因此與另外兩個參數相結合，就能找到一個消耗最小的最優值，在該值下，剛好保證無法實現方向的相對運動距離為0。然而這一條件是建立在逃逸方準確知道追擊方過載的情況下而實現的；一方面逃逸方不能保證準確地得到追擊方的機動過載，另一方面，即使得到了準確的情報信息，這種情況下的逃逸結果也是處于逃逸是否成功的邊界值上，無法實現大逃逸脫靶量。因此，更合適的做法是逃逸的過載直接采用逃逸方的可用過載。

至于機動的時間段，原則上說，越早機動越好；考慮到逃逸方能用于逃逸的能量有限，因此在逃逸過程起始點處開始機動是一個不錯的選擇。為了節省能量，也可以在雙方更近的距離上機動，但同機動過載的分析類似，這樣會帶來很大的風險；另外整個攻防對抗過程只有幾秒鐘的時間，即使采用了優化的方法找到了最優的機動時間段，其所節省的能量也有限。

綜上所述，逃逸方最優的逃逸策略為從逃逸過程起始點開始，以最大過載沿著方向機動。

5 逃逸過程仿真實例

假定追擊方可用過載為80 m/s2；選定追逃起始點處，逃逸方位置坐標為（26.7 km，28.6 km，1074.2 km），速度為5 963.1 m/s，航跡傾角為-22.99°，航跡偏角為220.24°；追擊方的位置坐標為（0，0，1065.4 km），速度為7 544 m/s。

通過優化的方法得到其理想狀態下的航跡傾角為4.46°，航跡偏角為51.89°；追逃過程時間為3.01 s，根據前面的結論，在逃逸方不機動情況下，只要80×3.01/2=120 m/s，即可成功追擊，反之則會失敗。在逃逸方機動的情況下，需要近似滿足，即可追擊成功。理想狀態下的追擊過程如圖3所示。

圖3 理想狀態下的追擊過程

逃逸方不機動，追擊方航跡傾角和航跡偏角取不同值時的仿真結果如表1所示。

分析表1數據，可以發現以下規律：

a）第1組數據代表理想狀態，可見在忽略重力的情況下，選擇理想狀態可以實現零過載成功追擊；對比第2組數據，發現在理想狀態下考慮重力，追擊所需的代價（平均需用過載）也是最小。因此證明理想狀態的重要性。

b）第3、4組數據表現出實際航跡偏角相對理想狀態航跡偏角具有對稱性，在理想狀態偏角左右加減0.89°，對仿真結果基本沒有影響。

c）第5、6組數據表現出航跡偏角的臨界值，第5組數據當航跡偏角為52.81°時，對應的= 119.97 m/s <120 m/s，所以能夠追擊成功；而第6組數據的航跡偏角為52.82°，對應的=121.28 m/s>120 m/s，所以結果是脫靶，這跟前面的理論完全吻合；還可以看出航跡偏角方向的動態范圍是理想狀態加減0.92°。

d）第7組數據顯示了當航跡偏角繼續增大時，導致脫靶量急劇增大。

e）第8、9組數據表現出實際航跡傾角相對理想狀態航跡傾角的對稱性，但因為鉛垂平面內還受重力影響，因此這兩組數據的對稱性沒有航跡偏角那么理想，但從這兩組數據的比較來看，重力加速度的影響非常微小，這是因為起作用的重力加速度是其在方向上的投影部分。

f）第10、11組數據表現出了航跡傾角的臨界值，第10組數據當航跡傾角為5.38°時，對應的=119.45 m/s<120 m/s，所以能夠追擊成功；而第11組數據的航跡傾角為5.39°，對應的=120.76 m/s >120 m/s，導致脫靶，這跟前面的理論完全吻合。其航跡傾角方向的動態范圍是理想狀態加減0.92°。

當追擊方初始狀態為理想狀態，但逃逸方有機動時，不同機動過載對追逃結果的影響如表2所示。

表2 理想狀態下逃逸方不同機動過載對追逃結果影響

對表2的數據分析可以發現，在理想初始條件下，逃逸方要躲過攔截，至少需要50 m/s2的過載；可用過載越大，脫靶量越大。另外還發現追擊方的平均需用過載永遠不會到達80 m/s2，這是因為初始狀態是理想狀態，因此在開始一段時間內，追擊方的過載需要有一個從0 m/s2上升到80 m/s2的過程，因此平均下來永遠不會達到80 m/s2。

當初始條件不是理想狀態，取表1中的第8組數據，追擊方的航跡傾角為4°時，仿真結果如表3所示。

表3 非理想狀態下逃逸方不同機動過載對追逃結果影響

分析表3數據，可以發現，與表2相比，相同的逃逸方可用過載下，初始條件不在理想狀態需要比理想狀態下多付出很多代價（平均需用過載）。另一方面，在理想狀態下，逃逸方最低需50 m/s2的過載才能成功逃逸，而在初始條件不理想的情況下，逃逸方最低只需41 m/s2的過載就可成功逃逸。

6 結束語

本文討論了追擊逃逸對抗的模型、模型分析、追擊、逃逸的策略；并重點針對追逃對抗初始條件，提出了追逃雙方相對速度在視線法平面內的投影這一物理量，根據這一物理量確定雙方的追逃策略，給出了追擊成功應近似滿足的條件，并通過實例仿真，驗證了該條件的合理性。

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Kinematics Analysis of Pursuit-evasion Game

Chen Long1, Zhao Min2, Kang Yong-lai2, Han Song1, Gao Hua-yu1

(1. Beijing Institute of Aerospace Systems Engineering, Beijing, 100076;2. China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

Pursuit-evasion Game as viewed from kinematics was describes in the paper, math model to depict the state of both sides was established. According to kinematics principle, the paper get a series of important conclusions. Based on the conclusions, the paper get the maneuver tactics of both sides. Lastly, the rationality of the conclusions was validated by simulation experiment .

Pursuit-Evasion; Tactics; Kinematics

1004-7182(2016)02-0013-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20160203

V412

A

2014-12-03；

2015-01-14

陳 龍（1989-），男，碩士研究生，主要研究方向為運載火箭總體設計