有限維空間中擾動變分不等式解的存在性

王昱嵐，何詣然

有限維空間中擾動變分不等式解的存在性

王昱嵐，何詣然*

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

主要討論在有限維空間中變分不等式問題的擾動分析，假設一個強制性條件成立，對變分不等式涉及的映射F及相應的集合K都做了擾動后，證明擾動后的變分不等式解集非空．與已有文獻相比，該擾動分析沒有假設映射F的單調性．

變分不等式;上半連續;集值映射;擾動

變分不等式問題GVI(F，K)指的是求x∈K使得存在ξ∈F(x)滿足

其中，KRn是非空閉凸集，F:K→Rn是有非空緊凸值的集值映射．在本文中用GVI(F，K)和Sol(F，K)分別表示變分不等式問題(1)和它的解集．

變分不等式是非線性分析領域研究的主要內容之一．近年來，許多專家學者深入研究了變分不等式問題(1)［1－17］．特別地，許多文獻介紹了變分不等式問題的擾動分析［2，13－15］，其中，文獻［2］介紹了自反Banach空間中具有偽單調映射的變分不等式的擾動分析，分別從僅僅擾動變分不等式所涉及的映射和只擾動相應的集合2個方面做了研究．文獻［13］在自反Banach空間中研究了具有極大單調映射的變分不等式的擾動分析．文獻［14］在文獻［2］的基礎上研究了同時擾動變分不等式問題中的映射和集合時，對偶變分不等式解集的變化情況，其中定理3．2假設映射是真擬單調的，證明了擾動后的對偶變分不等式解集非空且有界，定理3．3假設映射是偽單調的，研究了擾動后的廣義變分不等式解的存在性及有界性．文獻［15］引入了 －偽單調的定義，在自反Banach空間研究了具有 －偽單調映射的混合對偶變分不等式的擾動分析．

然而，以上文獻在研究變分不等式問題的擾動分析時，都假設了映射具有一定的單調性．最近，文獻［4］在有限維空間中研究了當映射不具有任何單調性時，集值變分不等式的擾動分析，其中，定理3．1在擾動相應映射的情況下，說明了擾動后的變分不等式有解并且解有界，定理3．3研究了只擾動其中映射時，擾動后的變分不等式的解集非空．

但是，文獻［4］的研究僅限于只擾動相應映射時，擾動變分不等式解的存在性結論．本文在假設映射F不具有任何單調性的情況下，研究了當一個強制性條件成立，同時擾動變分不等式所涉及的映射F及相應集合K時，擾動后的變分不等式解集非空．本文的定理1介紹了同時擾動映射F和集合K時，擾動后的變分不等式具有非空有界的解，定理3研究了同時擾動映射F和集合K時，擾動后的變分不等式的解集非空．

1 預備知識

設r＞0，Kr={x∈K:‖x‖≤r}，(0，r)={x∈Rn:‖x‖≤r}，B(0，r)={x∈Rn:‖x‖＜r}，barr(K):={ξ∈Rn:〈ξ，x〉＜∞}表示K的閘錐．K∞:={d∈Rn:tn↓0和xn∈K，使得tnxn→d}表示K的收縮錐．

定義1 稱集值映射F:K→Rn在K上是上半連續的，如果對任意Rn中的開集M，集合{x∈K: F(x) M}是K中的開集．

定義2 稱映射F在K上具有變分不等式性質，如果對每一K中的非空有界閉凸子集D，變分不等式VI(F，D)的解存在．

定義3 設{An}是Rn中的集合列，有如下的定義:

命題 1［16］以下幾類映射具有變分不等式性質:

1)每一個上半連續具有非空緊凸值的集值映射;

2)如果F:K→Rn是上半連續具有非空緊凸值的集值映射，q:K→Rn是連續映射，那么F+q有變分不等式性質．

本文考慮以下強制性條件:

(A) r＞0使得對 x∈KKr，y∈K，且‖y‖＜‖x‖滿足

(B) r＞0使得對 x∈KKr，y∈K，且‖y‖＜‖x‖滿足

(C1) r＞0使得對 x∈(K－r珔B)Kr，y∈ Kr，滿足

(C) r＞0使得對 x∈KKr，y∈Kr，滿足

(D) r＞0使得對 x∈KKr，y∈Kr，滿足

(E) y0∈K，使得集合x〉＞0}在非空時是有界集;

(F) y0∈K，使得集合x〉≥0}是有界集．

2 解的存在性結果

在本章中介紹了本文的主要結果，分別從2方面討論了同時擾動變分不等式問題中的映射F和集合K時，擾動后的變分不等式解的存在性結果．

KRn是非空閉凸集，DRn是有界閉凸集并且D包含原點，F:K→Rn是一個有非空緊凸值的集值映射．B(0;ε，Km)表示所有滿足對任意的x∈Km有‖q(x)‖＜ε成立的連續函數q:Km→Rn，記

定理1 假設存在μ＞0，使得F:K(μ)→Rn是上半連續有非空緊凸值的集值映射，如果條件(B)成立，那么對每一個m＞r，都存在ε＞0使得

證明 設m＞r，假設結論不成立，那么對任意的ε＞0，存在qε∈B(0;ε，K(ε)m)，且θε∈(0，ε)，使得易知K(θε)m:={x∈K(θε):‖x‖≤m}是有界閉凸集．因為F是上半連續有非空緊凸值的集值映射，qε是連續映射，那么存在xε∈K(θε)m，使得

因為xε∈K(θε)m，所以‖xε‖≤m．

(i)如果對某一ε＞0，有‖xε‖＜m，那么對任意的y∈K+θεD，存在t∈(0，1)，使得

這是因為K(θε)的凸性．因此，由(2)式可得

因為y∈K+θεD是任意的，所以xε是GVI(F+qε，K+θεD)的解，故

(ii)如果對每一個ε＞0有‖xε‖=m．不失一般性，可以假設，那么‖d‖ =m．因為xε∈K+θεD，所以存在x'ε∈K使得0，因此d∈K．強制性條件(B)成立，故存在y0∈K，且‖y0‖＜‖d‖=m使得

因為xε∈K(θε) K(ε)，且‖xε‖=m，所以xε∈K(ε)m．

由qε∈B(0;ε，K(ε)m)可知＜ε，故有

因為F是上半連續有非空緊凸值的集值映射，因此

由上極限的定義可知，存在ε1＞0使得

因為‖y0‖＜m，對任意的y∈K+θεD，存在t∈(0，1)，使得z't=y0+t(y－y0)∈K(θε)m，故對任意的ε∈(0，ε1)，可以得到

由(4)式當ε充分小時，xε∈Sol(F+qε，K+θεD)，得到

綜上在任何一種情況下，都得到了矛盾，所以假設不成立．

定理2 假設存在μ＞0，使得F:K(μ)→Rn是上半連續有非空緊凸值的集值映射．如果強制性條件(B)成立，那么對任意的ε＞0和所有的m＞r，存在qε∈B(0;ε，K(ε)m)以及θε∈(0，ε)使得

因為 xn∈ K+θεnD，故 存在使得．由于xn→x0且 K為閉集，因此x0∈K．因為F是上半連續映射并且有非空緊凸值，所以{ξn}是緊的，不失一般性，假設對某些ξ∈F(x0)成立．對任意給定的y0∈K，存在yn∈K +θεnD使得

由(5)式可以得到

因為xn∈K(θεn)且‖xn‖≤m，所以xn∈K(θεn)mK(ε)m，又因為，故

在(6)式中取極限n→∞，則有

對某些ξ∈F(x0)有

因為y0∈K是任意的，所以x0∈Sol(F，K)．

因此

引理1 如果K是Rn中的非空閉凸集，珔B是Rn中的單位閉球，用K(δ)來表示集合K－δ珔B(δ＞0)那么barr(K)=barr(K(δ))．

證明 由閘錐的定義容易得到 barr(K) barr(K(δ))．下證barr(K(δ)) barr(K)．任取ξ∈ barr(K(δ))，那么ξ∈Rn且．因為x∈K(δ)，注意到K(δ)=K－δ珔B，故存在x'∈K和b∈珔B使得x=x'－δb．由于

因此

那么ξ∈barr(K)，由ξ的任意性，則有barr(K(δ)) barr(K)．

所以

在下面的定理中記K(δ)=K－δ珔B(δ＞0)，其中珔B表示Rn中的單位閉球．

定理3 假設int(barr(K))≠ ，存在ρ＞0，使得F:K(ρ)→Rn是一個上半連續具有非空緊凸值的集值映射．如果強制性條件(C1)成立，那么對任意的q∈int(barr(K))，存在ε1∈(0，1/r)且δ1＞0使得

證明 假設結論不成立，那么對任意的m∈N且m＞r，存在εm＞0和δm∈(0，δ1)，εm＜1/m，使得

定義Em:={x∈K(δm):‖x‖≤1/εm}，易知Em是有界閉凸集．因為F是上半連續具有非空緊凸值的集值映射，因此對每一個m∈N，存在xm∈Em使得

(i)如果對某一m，‖xm‖＜1/εm，那么對任意的y∈K－δm珔B，存在t∈(0，1)使得zt=xm+t(yxm)．因為‖zt‖≤1/εm，而且是凸集，所以zt∈Em，那么由(9)式可知

因此，

(ii)如果對每一個m有‖xm‖=1/εm．因為1/εm＞m＞r，故xmKr，再者，因為．強制性條件(C1)成立，故存在ym∈Kr滿足

由于‖ym‖＜r＜1/εm，那么對任意的y∈K－存在t∈(0，1)使得z't=ym+t(y－ym)且‖z't‖≤1/εm，因為是凸的，所以，那么有

由(9)和(10)式可得

由于{ym} Kr，故{ym}是有界的，因此εm〈q，ym〉→0．當m充分大時有

因為y∈K－δm珔B是任意的，所以xm是GVI(F－εmq，K－δm珔B)的解．

因此

綜上，在任何一種情況下都推出了矛盾，故假設不成立．

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Solvability of Perturbed Variational Inequality in Finite Dimensional Spaces

WANG Yulan，HE Yiran

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

This paper discusses the perturbed variational inequalities in finite dimensional spaces．It is shown that if a coercivity condition holds and both the mapping F and the constraint set K of the variational inequality are perturbed，the perturbed variational inequality has a solution．Compared with the existing literature，the perturbation analysis does not assume any monotonicity of the mapping F．

variational inequalities;upper semi-continuous;set-valued mapping;perturbation

O221．2

A

1001－8395(2016)05－0625－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．001

(編輯 鄭月蓉)

2015－06－30

國家自然科學基金(11271274)

*通信作者簡介:何詣然(1973—)，男，教授，主要從事非線性規劃的研究，E－mail:yrhe@sicnu．edu．cn

2010 MSC:47J20;49J40