FP－投射模的刻畫(huà)

周德川，吳雅麗，王芳貴

FP－投射模的刻畫(huà)

周德川，吳雅麗，王芳貴*

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

R－模M稱(chēng)為FP－投射模是指對(duì)所有的有限表現(xiàn)模N，都有Ext1R(M，N)=0．證明每個(gè)模是FP－投射模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)有限表現(xiàn)模是內(nèi)射模，也證明當(dāng)R是左Noether環(huán)時(shí)，則每個(gè)模是FP－投射模當(dāng)且僅當(dāng)R是半單環(huán)．而當(dāng)R是左凝聚環(huán)時(shí)，每個(gè)模是FP－投射模當(dāng)且僅當(dāng)R是VN－正則環(huán)且是左自?xún)?nèi)射環(huán)．然后進(jìn)一步揭示了FP－投射模的子模的性質(zhì)，引入了左FP－遺傳環(huán)的概念．證明R是左FP－遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)有限表現(xiàn)模的內(nèi)射維數(shù)至多為1．

FP－投射模;左G－半單環(huán);左FP－遺傳環(huán)

本文提到的環(huán)R都是有單位元的結(jié)合環(huán)，所有的模均指左模．

投射模是環(huán)與模范疇與同調(diào)代數(shù)理論的重要概念之一，它的理論和研究方法影響到代數(shù)和其他數(shù)學(xué)學(xué)科．但是在應(yīng)用中人們也看到了投射模作為研究工具的局限性，故出現(xiàn)了很多關(guān)于投射模概念的推廣．蔣方明［1］引入并研究了f－投射模;苗佳晶［2］引入了P－投射模的概念;黃影［3］引入了FP－投射模的定義．模M稱(chēng)為FP－投射模，是指對(duì)所有的有限表現(xiàn)模文獻(xiàn)［3］給出了FP－投射模的一些基礎(chǔ)性質(zhì)．隨后，黃影［4］又給出FP－投射維數(shù)的概念和一些基礎(chǔ)討論．本文在文獻(xiàn)［3－4］的基礎(chǔ)上，接著對(duì)FP－投射模進(jìn)行討論．文獻(xiàn)［4］提到:是否能用FP－投射模和FP－投射維數(shù)來(lái)刻畫(huà)遺傳環(huán)、凝聚環(huán)等環(huán)類(lèi)．故本文的主要目的旨在進(jìn)一步刻畫(huà)研究FP－投射模的性質(zhì)，并借助FP－投射模對(duì)環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行刻畫(huà)．值得指出的是，還有一種FP－投射模的定義．L．X．Mao等［5］通過(guò)FP－內(nèi)射模給出FP－投射模的概念．設(shè)M是R－模．若對(duì)每個(gè)FP－內(nèi)射模N，都有則M稱(chēng)為FP－投射模．模N稱(chēng)FP－內(nèi)射模，是指對(duì)任意的有限表現(xiàn)模．這2種關(guān)于FP－投射模的定義是不等價(jià)的．本文討論的FP－投射模都是指黃影［3－4］定義下的FP－投射模．

1 FP－投射模

回顧文獻(xiàn)［3］中FP－投射模的定義．對(duì)環(huán)R，R－模M稱(chēng)為FP－投射模，是指對(duì)所有的有限表現(xiàn)模A，都有－投射模關(guān)于直和、直和項(xiàng)封閉．

下面來(lái)看一下FP－投射模的等價(jià)刻畫(huà)．

命題 1．1 設(shè) M是 R－模，則以下各條件等價(jià):

1)M是FP－投射模;

2)對(duì)任何正合列0→A→B→C→0，其中A是有限表現(xiàn)R－模，則誘導(dǎo)序列0→HomR(M，A)→HomR(M，B)→HomR(M，C)→0也是正合列;

3)設(shè)h:B→C是滿(mǎn)同態(tài)．若ker h是B的有限表現(xiàn)子模，則任何同態(tài)f:M→C可以提升到B，即存在同態(tài)g:M→N，使得f=hg;

4)任何形如0→A→B→M→0的正合列分裂，其中A是有限表現(xiàn)R－模．

證明 1) 4) 由文獻(xiàn)［6］的推論7．20可證．

定理1．2 設(shè)R是左凝聚環(huán)．對(duì)R－模M，以下各條件等價(jià):

1)M是FP－投射模;

2)對(duì)任何有限表現(xiàn)循環(huán)模Rx有

3)對(duì)R的任何有限生成左理想I有

證明 1) 2) 顯然．

2) 1) 設(shè)N是由x1，x2，…，xn生成的有限表現(xiàn)模，即N=Rx1+…+Rxn．對(duì)生成元個(gè)數(shù)n用歸納法證明．

n=1時(shí)由條件知斷言成立．設(shè)n＞1，令N1= Rx1+…Rxn－1．于是 N/N1是有限表現(xiàn)循環(huán)模，故．由于R是左凝聚環(huán)，而左凝聚環(huán)的有限表現(xiàn)模是凝聚模，故N是凝聚模，從而N的有限生成子模N1也是有限表現(xiàn)R－模．由歸納假設(shè)有=0．由正合列0→N1→N→N/N1→0有

2) 3) 對(duì)R的有限生成左理想I，有R/I是有限表現(xiàn)循環(huán)R－模，故由條件知

3) 2) 對(duì)任何有限表現(xiàn)循環(huán)模Rx有

其中ann(x)是x的零化子，即

由于Rx是有限表現(xiàn)模，故ann(x)是R的有限生成左理想．由條件知，故

定理1．3 設(shè)R是左凝聚環(huán)，則有限表現(xiàn)FP－投射模是投射模．

證明 設(shè)M是有限表現(xiàn)FP－投射模，取正合列0→K→F→M→0，其中F是有限生成自由R－模．由于M是有限表現(xiàn)R－模，故K是有限生成R－模，又R是左凝聚環(huán)，從而K是有限表現(xiàn)的．由定理1．1知此正合列分裂，故M是自由模的直和加項(xiàng)，從而M是投射模．

推論1．4 設(shè)R是Noether環(huán)，則每個(gè)有限生成FP－投射模是投射模．

定理1．5 設(shè)0→M1→M→M2→0是正合列．若M1、M2是FP－投射模，則M是FP－投射模．反之，若此正合列分裂，則由M是FP－投射模，有M1、M2是FP－投射模．

眾所周知投射模有Schanuel引理，證法類(lèi)似，也可得到FP－投射模也有類(lèi)似的Schanuel引理．

1)0→K1→K2P1→P2→0是正合列;

2)若P2是FP－投射模，K1是有限表現(xiàn)R－模，則K2P1K1P2．

下面討論在交換環(huán)上FP－投射模的另一個(gè)性質(zhì)．

定理1．7 設(shè)R是交換環(huán)，M是FP－投射模．

2)若P是有限生成投射模，則HomR(P，M)是FP－投射模．

證明 1)由同構(gòu)關(guān)系(文獻(xiàn)［7］的定理4．5．9)

即知;

2)由同構(gòu)關(guān)系(文獻(xiàn)［7］的定理4．5．11)

即知．

2 FP－投射模對(duì)環(huán)的刻畫(huà)

文獻(xiàn)［4］提到:是否能用FP－投射模和FP－投射維數(shù)來(lái)刻畫(huà)遺傳環(huán)、凝聚環(huán)等環(huán)類(lèi)，或者能否用FP－投射模來(lái)刻畫(huà)一個(gè)新的環(huán)類(lèi)．本節(jié)主要就是來(lái)討論用FP－投射模來(lái)刻畫(huà)環(huán)的問(wèn)題．

首先來(lái)看一下每個(gè)模都是FP－投射模的環(huán)是什么樣的環(huán)．

定義2．1 設(shè)R是環(huán)．若任何左R－模的有限表現(xiàn)左子模為其直和加項(xiàng)，則稱(chēng)環(huán)R為左G－半單環(huán)．

定理2．2 設(shè)R是環(huán)，以下各條等價(jià):

1)R為左G－半單環(huán);

2)每個(gè)R－模是FP－投射模;

3)每個(gè)有限生成R－模是FP－投射模;

4)每個(gè)循環(huán)R－模是FP－投射模;

5)對(duì)任意R－模E，滿(mǎn)足任意R－模M的有限表現(xiàn)子模K到E的同態(tài)能提升到M到E的同態(tài);

6)每個(gè)有限表現(xiàn)R－模是內(nèi)射模．

2) 5) 設(shè)E、M是任意R－模，K是M的有限表現(xiàn)子模．故有正合列，其中i是包含映射．由條件知M/K是FP－投射模，故由命題1．1知此正合列分裂，故存在

使得gi=1K．對(duì) f∈HomR(K，E)．令h=fg，則hi= fgi=f1K=f，如圖2所示．

5) 1) 對(duì)任意R－模B，A是B的有限表現(xiàn)子模．由3)知對(duì)恒等映射1A∈HomR(A，A)，存在f∈HomR(B，A)，使得fi=1A，其中i:A→B是包含映射．故正合列0→A→B→C→0分裂．從而A是B的直和加項(xiàng)，如圖3所示．

2) 3) 4) 顯然．

4) 6) 設(shè)A是有限表現(xiàn)R－模．對(duì)R的任意左理想I，由條件知R/I是FP－投射模，故

從而A是內(nèi)射模．

6) 1) 對(duì)任意R－模B及其有限表現(xiàn)子模A，有正合列0→A→B→B/A→0，由條件A是內(nèi)射模，故該正合列分裂．從而A是B的直和加項(xiàng)．

VN正則環(huán)即每個(gè)模是平坦模的環(huán)，等價(jià)于每個(gè)主左理想由一個(gè)冪等元生成．在R是左G－半單環(huán)的條件下，VN正則環(huán)與左凝聚環(huán)是一致的．具體來(lái)看下面命題．

命題2．3 設(shè)R是左G－半單環(huán)，以下各條等價(jià):

1)R為VN正則環(huán);

2)R為左半遺傳環(huán);

3)R為左凝聚環(huán);

4)R的每個(gè)主左理想是有限表現(xiàn)R－模．

證明 1) 2) 3) 4) 顯然．

4) 1) 設(shè)I是環(huán)R的主左理想，由條件知I是有限表現(xiàn)R－模．由R是左G－半單環(huán)，故I是R的直和加項(xiàng)，從而I是由一個(gè)冪等元生成的．

定理 2．4 設(shè)R是左 Noether環(huán)，以下各條等價(jià):

1)R是半單環(huán);

2)R是左G－半單環(huán)．

證明 1) 2) 顯然．

2) 1) 設(shè) I是 R的左理想，由于 R是左Noether環(huán)，故I是有限表現(xiàn)的，由定理2．2知I是內(nèi)射模．故正合列0→I→R→R/I→0分裂．從而I是R的直和加項(xiàng)．所以R是半單環(huán)．

在左凝聚環(huán)條件下，每個(gè)模是FP－投射模可以刻畫(huà)一個(gè)比半單環(huán)更弱的環(huán)，即VN正則環(huán)，反之要想在左凝聚環(huán)條件下用VN正則環(huán)來(lái)刻畫(huà)左G－半單環(huán)，需要加上VN正則環(huán)本身是左自?xún)?nèi)射環(huán)，即環(huán)作為自身模是內(nèi)射模．要想得到此等價(jià)刻畫(huà)，需要用到下面引理．

引理2．5［8］環(huán)R是VN正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一R－模是FP－內(nèi)射模．

上述引理中的 FP－內(nèi)射模是 B．Stenstr m［9］提出的，A是FP－內(nèi)射模，是指對(duì)所有的有限表現(xiàn)模M，有=0．A是FP－內(nèi)射模等價(jià)于任意自由R－模F的有限生成子模K到A的同態(tài)能提升到F到A的同態(tài)．朱占敏［10］給出了廣義內(nèi)射模GFP－內(nèi)射模的概念，即:對(duì)R－模A，若對(duì)任一2－表現(xiàn)R－模M，有=0，則稱(chēng) A為GFP－內(nèi)射模．其中R－模M是n－表現(xiàn)的是指，存在一個(gè)正合列Fn→Fn－1→…→F1→F0→M→0，其中每個(gè)Fi是有限生成的自由R－模．

引理2．6［10］環(huán)R是左凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)GFP－內(nèi)射模為FP－內(nèi)射模．

定理2．7 設(shè)R是左凝聚環(huán)，以下各條等價(jià):

1)R是VN正則環(huán)且是左自?xún)?nèi)射環(huán);

2)R是左G－半單環(huán);

3)R是左自?xún)?nèi)射環(huán)且每個(gè)R－模是GFP－內(nèi)射模．

證明 1) 2) 對(duì)任意有限生成理想I，由于R是VN正則環(huán)，由引理2．5知，I是FP－內(nèi)射模．從而I到I的恒等同態(tài)能擴(kuò)張到R到I的同態(tài)，故正合列0→I→R→R/I→0分裂．所以有R/I是R的直和加項(xiàng)，由于R是內(nèi)射模，故R/I是內(nèi)射模，從而對(duì)任意R－模M，．由定理1．2知 M是FP－投射模，從而R是左G－半單環(huán)．

2) 1) 對(duì)任意主左理想I，由于R是左凝聚環(huán)，故I是有限表現(xiàn)模．由定理2．2知I是內(nèi)射模，故正合列0→I→R→R/I→0分裂．所以I是R的直和加項(xiàng)，故I是由一個(gè)冪等元生成，從而R是VN正則環(huán)．R作為自身模是有限生成自由模，從而是有限表現(xiàn)模．又由定理2．2知R作為自身模是內(nèi)射模，故R是左自?xún)?nèi)射環(huán)．

1) 3) 由引理2．5及引理2．6知．

投射模顯然是FP－投射模，但FP－投射模未必是投射模，由上述定理就可以給出FP－投射模不是投射模的例子．

例2．8 設(shè)

其中每個(gè)Ki是域，則R是左VN正則環(huán)且是左自?xún)?nèi)射環(huán)，但 R不是左半單環(huán)，故存在一個(gè) R－模是FP－投射模但不是投射模．

下面討論每個(gè)FP－投射模的子模是FP－投射模是什么樣的環(huán)的問(wèn)題．

定義2．9 若R的每個(gè)FP－投射模的子模還是FP－投射模，則R稱(chēng)為左FP－遺傳環(huán)．

左遺傳環(huán)顯然是左FP－遺傳環(huán)．下面給出左FP－遺傳環(huán)的一些等價(jià)刻畫(huà)．

定理2．10 對(duì)環(huán)R，以下各條件等價(jià):

1)R是左FP－遺傳環(huán);

2)投射模的子模是FP－投射模;

3)自由模的子模是FP－投射模;

4)R的每個(gè)左理想是FP－投射模;

5)每個(gè)有限表現(xiàn)R－模的內(nèi)射維數(shù)至多為1．

證明 1) 2) 3) 4) 顯然．

4) 5) 設(shè)K是有限表現(xiàn)R－模，對(duì)于R的左理想I，有正合列0→I→R→R/I→0，從而有正合列

故l．idRK≤1．

5) 1) 設(shè)M是FP－投射模，A是M的子模，K是有限表現(xiàn)R－模，有正合列0→A→M→M/A→0．可誘導(dǎo)出正合列

推論2．11 設(shè)R是左FP－遺傳環(huán)，M是R－模，則M是FP－投射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意正整數(shù)n及有限表現(xiàn)R－模A，有

證明 必要性 當(dāng)n=1時(shí)，由FP－投射模的定義知，對(duì)任意有限表現(xiàn)R－模A，有0．當(dāng)n＞1時(shí)，由定理2．10知，任意有限表現(xiàn)R－模A的內(nèi)射維數(shù)小于等于1，故

充分性 n取1即知．

推論2．12 設(shè)R是左FP－遺傳環(huán)，0→A→B→C→0是正合列，如果C是FP－投射模，則A是FP－投射模當(dāng)且僅當(dāng)B是FP－投射模．

回顧一下文獻(xiàn)［11］中對(duì)任何R－模M的左FP－內(nèi)射維數(shù)(用l．FP－id(M)表示)的定義inf{n|對(duì)任意有限表現(xiàn)R－模F，Extn+1R(F，M)=0}．

命題2．13 設(shè)R是Noether環(huán)，M是任意R－模，則l．FP－id(M)≤n當(dāng)且僅當(dāng)idRM≤n．

證明 設(shè) R是 Noether環(huán)，M是 R－模，當(dāng)l．FP－id(M)≤n時(shí)=0，其中F是有限表現(xiàn)R－模．對(duì)R的任意左理想I，由于R是Noether環(huán)，故I是有限生成的，從而R/I是有限表現(xiàn)R－模，故=0，從而idRM≤n．反之顯然成立．

引理2．14［9］環(huán)R是左凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)左FP－內(nèi)射維數(shù)小于或等于n的R－模的正向極限的左FP－內(nèi)射維數(shù)小于或等于n．

推論2．15 設(shè)R是左Noether環(huán)，則R是左遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左FP－遺傳環(huán)．

證明 必要性 顯然．

充分性 對(duì)任意R－模M，有

其中N取遍M的所有有限表現(xiàn)子模．由于R是左FP－遺傳環(huán)，由定理2．10知N的內(nèi)射維數(shù)小于等于1，即 idRN≤1．所以可由命題 2．13得到l．FP－id(N)≤1．由R是左Noether環(huán)及引理2．14知l．FP－idR(M)≤1，又由定理2．13知idRM≤1，故gl．dim(R)≤1，從而R是左遺傳環(huán)．

［1］蔣方明．f－投射模的直積和正向極限［J］．南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1993(6):58－60．

［2］苗佳晶．關(guān)于P－投射模［J］．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，28(3):109－110．

［3］黃影．關(guān)于FP－投射模［J］．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，28(1):47－48．

［4］黃影．關(guān)于FP－投射維數(shù)的若干性質(zhì)［J］．沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，26(1):39－41．

［5］MAO L X，DING N Q．FP－projective dimensions［J］．Commun Algebra，2005，33:1153－1170．

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［9］STENSTR M B．Coherent rings and FP－injective modules［J］．J London Math Soc，1970，2(6):323－329．

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［13］王芳貴，汪明義，楊立英．交換環(huán)上的極大性?xún)?nèi)射模［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，33(1):1－9．

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The Properties of FP-Projective Modules

ZHOU Dechuan， WU Yali， WANG Fanggui

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring．An R-module M is called FP-projective if Ext1R(M，N)=0 for any finitely presented module N．In this paper，we prove that every R-module is FP-projective if and only if every finitely presented module is injective．Then it is proved that if R is a left Noether ring，then every R-module is FP-projective if and only if R is a semi-simple ring．However，if R is a left coherent ring，every module is FP-projective if and only if R is a Von Neumann regular ring and R is a left self-injective ring．Finally，in order to discuss the properties of submodules of FP-projective modules，the definition of left FP-hereditary rings is described and it is shown that R is FP-hereditary if and only if the injective dimensions of finitely presented modules are less than 1．

FP-projective module;left G-semi-simple ring;left FP-hereditary ring

O154

A

1001－8395(2016)05－0634－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．003

(編輯 陶志寧)

2015－12－07

國(guó)家自然科學(xué)基金(11171240)

*通信作者簡(jiǎn)介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K－理論的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:13B30;13D30;16D40