整環上的w－凝聚性

尹華玉， 陳幼華

整環上的w－凝聚性

尹華玉， 陳幼華

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

利用w－算子理論，結合無撓模對整環上的相關w－凝聚性進行細致的討論，證明整環R是WFC整環當且僅當R的任意2個主理想的交是有限型的，當且僅當R的每個2－生成理想是有限表現型的，當且僅當每個2－生成無撓R－模是有限表現型的．此外，引入擬凝聚整環的w－拓展，并給出其相應的等價刻劃．

w－算子;凝聚整環;WFC整環;w－擬凝聚整環

1 預備知識

眾所周知，經典的Noether環理論是交換代數的重要內容，而凝聚環是其中一個很好的推廣．隨著20世紀80年代星型算子工具的引進，整環上的凝聚性也引起了許多環論學者的關注，例如擬凝聚整環、FC整環、w－凝聚整環、WFC整環等．本文恒設R是具有單位元的交換整環但不是域，K是R的商域，所涉及的模類均為R－模．設A是K的R－子模，若存在非零元素a∈R，使得aA R，這等價于說存在非零元素c∈K，及R的非零理想I，使得A= cI，則稱A為R的分式理想．用F(R)表示R的所有非零分式理想的集合，所謂整環R上的星型算子，指的是從F(R)到自身上的一個映射*:A→A*，對 A，B∈F(R)，a∈K－0，滿足以下條件:

1)(a)*=(a)，(aA)*=aA*;

2)若A B，則A*B*;

3)A A*，且(A*)*=A*．

設A是K的R－子模，令A－1={x∈K|xA R}，定義

At=∪{Bv|B取遍A的一切有限生成子分式理想}，以上d－、v－與t－算子即是較常見的三類星型算子，但它們只能刻劃K中的R－子模，其研究具有較大的局限性．F．G．Wang等［1］引入了一個新的星型算子，即w－算子，它可以對整環上的無撓模類進行研究與刻劃．設M是無撓R－模，定義

使得Jx M}，其中，GV(R)={J|J是R的有限生成理想，且J－1=R}，稱之為M的w－包絡．若Mw=M，則稱M為w－模．若M是R的理想，且Mw=M，則稱M為R的w－理想．易知w:F(R)→F(R)也是一個星型算子，稱之為w－算子．關于星型算子的知識與w－模理論及文中的相關概念與符號可參見文獻［1－9］．

基于w－算子在模類上的拓展，本文將利用w－算子理論，結合無撓模對整環上的相關w－凝聚性進行細致的討論．

2 凝聚整環、FC整環與擬凝聚整環

設R是整環，若R的每個有限生成理想是有限表現的，則稱R為凝聚整環．若對任意x∈K－0，(R:x)={r∈R|rx∈R}都是R的有限生成理想，則稱R為FC整環．若對R的每個非零有限生成理想I，I－1是有限生成分式理想，則稱 R為擬凝聚整環［2］．為了直觀地區分此3類整環的凝聚性，給出它們的一些等價刻劃．

定理2．1 對整環R，以下各條件等價:

1)R是凝聚整環;

2)R的任意2個有限生成理想的交是有限生成的;

3)R的任意n(n∈Z+)個有限生成理想的交是有限生成的;

4)每個有限生成無撓模是有限表現的．

證明 1) 2) 4)參見文獻［2］，而2) 3)是平凡的．

定理2．2［2］對整環R，以下各條件等價:

1)R是FC整環;

2)R的任意2個主理想的交是有限生成的;

3)R的每個2－生成理想是有限表現的;

4)每個2－生成無撓模是有限表現的．定理2．3 整環R是擬凝聚的當且僅當R的任意n(n∈Z+)個主理想的交是有限生成的．

證明 設R是擬凝聚的，a1，a2，…，an∈R－0，則

是有限生成的．

反之，設R的任意n個主理想的交是有限生成的，且I=Ra1+Ra2+…+Ran是R的非零有限生成理想，則

是有限生成的，故R是擬凝聚的．

3 FC整環與擬凝聚整環的w－拓展

對任意星型算子*，M．Fontana等［10］引入了* －凝聚整環的概念，但一般的* －凝聚整環無法對無撓模進行刻劃，而王芳貴［5］引入的w－凝聚整環則克服了此問題，且在文獻［5，11］中得到了w－凝聚整環與凝聚整環相對應的結果．在文獻［11］中，FC整環也得到了w－拓展．所謂的WFC整環，是指對任意x∈K－0，(R:x)={r∈R|rx∈R}都是R的有限型理想．盡管文獻［11］對WFC整環進行了研究，但尚未討論其對應于FC整環的凝聚性(見本文定理2．2)．此外，擬凝聚整環還未得到w－拓展，本節將對它們進行細致的刻劃．

引理3．1 設R是整環，A、B是無撓R－模，f:A→B是滿同態．若A是有限型的，則B也是有限型的．

證明 設A是有限型的，則存在A的有限生成子模A'，使得Aw=A'w．記B'=f(A')，則B' f(A) =B是B的有限生成子模．下證BwB'w，從而Bw= B'w，即B是有限型的．

設x∈Bw，則存在J∈GV(R)，使得Jx B．由于f是滿同態且Jx是有限生成的，故存在A的有限生成子模A″，使得f(A″)=Jx．又A″ A Aw=A'w，故存在J'∈GV(R)，使得J'A″ A'．于是J'Jx= J'f(A″)=f(J'A″) f(A')=B'，從而x∈B'w，因此，BwB'w．

定理3．2 設R是整環，A、B是無撓R－模，f: A→B是同構，則有:

1)A是有限型的當且僅當B是有限型的;

2)A是w－模當且僅當B是w－模．

證明 1)由引理3．1可得．

2)先設A是w－模．設 y∈Bw，則存在J∈GV(R)，使得Jy B，且有，其中S=R－0．記y=，其中b∈B，s∈S．對任意d∈J，由dy∈B可得dy=，其中b'∈B．由于f是滿同態，故存在a，a'∈A，使得

于是BwB，故有Bw=B，即B是w－模．

反之，設B是w－模．由于 f－1:B→A也是同構，故同理可證A是w－模．

定理3．3 對整環R，以下各條件等價:

1)R是WFC整環;

2)R的任意2個主理想的交是有限型的;

3)R的每個2－生成理想是有限表現型的;

4)每個2－生成無撓模是有限表現型的．

由文獻［2］的定理2．4．6，存在h:N→(x)∩(y)，使得左邊方圖成為交換圖，顯然g是同構，從而由文獻［2］的定理2．4．1，h也是同構．由于(x)∩(y)是有限型的，故由定理3．2，N也是有限型的．因此，由文獻［5］的定理2．1，M是有限表現型的．

4) 3)顯然．

推論3．4 設R是整環，則R是WFC整環當且僅當對任意a，b∈R－0，(a，b)－1是有限型的．

證明 由(a，b)－1=(a)∩(b)及定理3．3即得．

下面引入擬凝聚整環的w－拓展，并給出其相應的等價刻劃．

定義3．5 設R是整環，若對R的每個非零有限生成理想I，I－1是有限型分式理想，則稱R是w－擬凝聚整環．

定理3．6 對整環R，以下各條件等價:

1)R是w－擬凝聚整環;

2)R的任意n(n∈Z+)個主理想的交是有限型的;

3)設0→A→F→B→0是正合列，其中rank(A) =1，F是有限生成自由模，且B是無撓模，則A是有限型的．

證明 1) 2)根據定義3．5，類似于定理2．3可證．

1) 3)取對偶模，可得正合列0→B*→F*→C→0，其中C是對應的上核，從而有圖2所示行為正合列的交換圖．

于是由文獻［2］的定理2．4．1，C→A*是單同態．由文獻［2］的定理2．9．2與例3．4．7有

因此，C是秩為1的有限生成無撓模，故可將C嵌入R，即可將C看作R的非零有限生成理想．再取一次對偶模，可得圖3所示行為正合列的交換圖．

由文獻［2］的定理3．4．10，B→B＊＊是單同態，再由文獻［2］的定理2．4．1，A→C*C－1是同構，于是由定理3．2，A是有限型的．

3) 1)設I是R的非零有限生成理想，則有正合列0→A→F→I→0，其中F是有限生成自由模，于是又有正合列0→I－1→F*→B→0，其中B A*是無撓模，故I－1是有限型的，因此，R是w－擬凝聚整環．

參考文獻

［1］WANG F G，MCCASLAND R L．On w－modules over strong Mori domains［J］．Commun Algebra，1997，25(4):1285－1306．

［2］王芳貴．交換環與星型算子理論［M］．北京:科學出版社，2006．

［3］GILMER R．Multiplicative Ideal Theory［M］．New York:Marcel Dekker，1972．

［4］WANG F G，MCCASLAND R L．On strong Mori domains［J］．J Pure Appl Algebra，1999，135(2):155－165．

［5］王芳貴．有限表現型模和w－凝聚環［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2010，33(1):1－9．

［6］張俊，王芳貴．幾類w－模的Krull－Remak－Schmidt定理［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2011，34(5):601－604．

［7］趙松泉，王芳貴，陳翰林．交換環上的平坦模是w－模［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2012，35(3):364－366．

［8］喬磊，王芳貴．w－模范疇上的2個函子及其應用［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2015，38(4):481－486．

［9］YIN H Y，WANG F G，ZHU X S，et al．w－Modules over commutative rings［J］．J Korean Math Soc，2011，48(1):207－222．

［10］FONTANA M，PICOZZA G．Prüfer －multiplication domains and －coherence［J］．Ricerche di Matematica，2006，55: 145－170．

［11］王芳貴．Milnor方圖中的w－凝聚性［J］．數學學報，2012，55(1):65－76．

The w-coherence over Domains

YIN Huayu， CHEN Youhua

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，we discuss carefully the relevant w-coherence over domains by utilizing w-operation theory and with the supplement of torsion-free modules．It is proved that an integral domain R is a WFC domain if and only if the intersection of two principal ideals of R is of finite type，if and only if every two generated ideal of R is of finitely presented type，if and only if every two generated torsion-free R-module is of finitely presented type．Moreover，we introduce the w-expansion of quasicoherent domains and show the equivalent descriptions about it．

w-operation;coherent domain;WFC domain;w-quasicoherent domain

O153．3

A

1001－8395(2016)05－0639－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．004

(編輯 鄭月蓉)

2015－05－20

國家自然科學基金(11171240)、教育部博士點基金(20125134110002)和四川省教育廳科研基金(14ZB0035和15ZB0030)

尹華玉(1982—)，女，講師，主要從事交換環與星型算子理論的研究，E－mail:hyyin2010@163．com

2010 MSC:13A15;13G05