一類DGH方程的多辛Preissmann格式

李勝平，王連堂，王俊杰，

一類DGH方程的多辛Preissmann格式

李勝平1，王連堂2，王俊杰1，2

(1．普洱學院數學系，云南普洱665000; 2．西北大學數學系，陜西西安710127)

DGH方程作為一類重要的非線性方程有著許多廣泛的應用前景．基于哈密頓系統的多辛理論研究一類DGH方程的數值解法，利用多辛Preissmann方法對此哈密頓系統進行數值離散，構造一種半隱式的多辛格式．數值算例結果表明該多辛離散格式具有較好的長時間數值穩定性．

哈密頓系統;Preissmann方法;多辛算法;DGH方程

1 預備知識

2001年，R．Dullin，G．Gottwald和D．Holm［1］從Euler方程出發，得到了一類帶線性和非線性色散項的新型淺水波方程，即DGH方程

其中，u(x，t)表示x方向的流體速度，m=u－α2uxx表示動量，γ/c0是區間長度的平方，(其中c0=2w)表示線性波速．利用m=u－α2uxx，可以將DGH方程寫成

DGH方程包含了2類可積孤立波方程．當α→0時，DGH方程變為KdV方程［2－3］

當γ=0時，DGH方程轉化為另一類重要的可積方程，即C－H(Camassa－Holm)方程

方程(1)～(3)引起了國內外學者的廣泛關注［4－15］．文獻［4］在重力作用下，研究淺水層自由表面水波運動規律時，用哈密頓的方法得到C－H方程．迄今為止，已經發現C－H方程的許多性質，例如，對任意的ω，C－H方程具有一個Lax對和雙哈密頓結構，以及無窮個守恒量．對ω=0，C－H方程有尖峰孤立波解和多重尖峰孤波解．文獻［6］研究了C－H方程守恒量和初值問題，文獻［7］研究了C－H方程的對稱性和可積性，文獻［8］研究了C－H方程的可積擾動問題．文獻［5］研究了一類具有完全非線性對流項和色散項的廣義C－H方程，得到該方程具有緊孤立子－compacton解和孤立波解．文獻［9］研究了耗散C－H方程，得到該方程存在全局解和全局吸引子，文獻［10］繼續研究該方程，得到該方程具有行波孤子解及其雙孤子解，并首次引入了凹凸孤立子的概念．文獻［11］研究了一類廣義C－H方程及廣義弱耗散C－H方程，并得到了該方程具有一類新的尖峰孤立子解．文獻［12］研究了DGH方程解的極限行為、散射理論、整體適定性理論、Gauchy問題的局部適定性理論、孤立波的軌道穩定性、新型尖峰孤立波解，同時也給出了DGH方程的散射數據．文獻［13］研究了DGH方程的尖峰孤立波解，文獻［14］研究了DGH方程的局部解和整體解問題，同時討論了方程解的Blow－up，文獻［15］研究DGH方程的散射逼近和反散射問題．

然而，由于問題(1)～(3)的非線性，在實際應用中要求得方程(1)～(3)的初值問題的精確解幾乎不可能，大部分情況下只能用數值方法來模擬方程(1)～(3)．鑒于此，國內外許多學者試圖用數值方法來模擬方程(1)～(3)．而使用傳統的數值方法，例如有限差分法、有限元方法、譜方法，這些算法都不是保結構算法，長時間數值模擬時都會嚴重失真．1984年，我國計算數學大師馮康首次系統提出了哈密頓系統的辛算法，大量實例證實辛算法比傳統的數值方法具有明顯的優勢．然而辛算法在應用求解無窮維哈密頓系統時具有局限性，具體表現在整體守恒的不足．為了克服此缺限性，J．Marsden和T．Bridge從不同的角度對辛算法進行了推廣．T．Liu等［16］得到了哈密頓多辛結構和多辛算法．本文只考慮Bridge意義下的多辛算法．經過十幾年的發展，國內外學者已經建立了KdV方程、薛定諤方程、KP方程、C－H方程的多辛算法，這些多辛算法都證實多辛算法在長時間數值模擬方面的優勢．迄今為止，還沒有學者利用多辛算法對DGH方程(2)進行數值模擬．本文利用多辛算法對DGH方程(2)進行數值模擬．方程(2)經過變形以后可以表示為哈密頓系統．本文通過引入正則動量，驗證DGH方程(2)具有多辛結構，并證實此格式具有多辛守恒律、局部能量守恒律和動量守恒律．給出了DGH方程(2)的離散多辛Preissmann格式，并證實此格式在離散格式下仍保持多辛守恒律．還給出了DGH方程(2)的離散多辛Preissmann格式的誤差分析，此格式具有誤差o(△t2+△x2)．最后給出了2個數值模擬，并驗證了本文的算法不僅簡單，而且有長時間的穩定性．

2 多辛哈密頓偏微分方程的多辛算法

大量偏微分方程都可以寫成下列多辛哈密頓偏微分方程［17－38］的形式

其中，M，K∈Rn×n(n≥3)是反對稱矩陣．S:Rn→R是光滑函數，稱為哈密頓函數，zS(z)為函數S(z)的梯度．系統(5)滿足3個局部守恒律，即多辛守恒律、局部能量守恒律和局部動量守恒律．

定理2．1［17］根據Bridges多辛理論，偏微分方程(5)滿足多辛守恒律

其中，w，k分別表示t和x方向上的辛結構，具體表達式為

定理2．2［17］根據Bridges多辛理論，偏微分方程(5)滿足局部能量守恒律

局部動量守恒律

其中

E為能量密度，F為能量流，I為動量密度，G為動量流．

如果z(x，t)關于x是周期函數或者滿足齊次邊界條件，(5)式滿足整體能量和整體動量守恒律

對于系統(2)，引入正則動量

系統(2)可以表示為下面等價形式

定義狀態變量

可以把方程(10)寫成多辛哈密頓偏微分方程的形式(5)，其中

哈密頓函數為

方程(10)滿足多辛守恒律(6)，其中

方程(10)具有能量守恒律(7)，其中

方程(10)具有動量守恒律(8)，其中

3DGH方程的多辛Preissmann格式及離散守恒律

多辛是哈密頓偏微分方程的一個幾何性質，在構造數值方法模擬多辛偏微分方程時，自然希望能反映這個性質．基于這個想法，T．Bridges和S．Reich提出了能保持多辛守恒律的離散數值方法為多辛算法．

定義3．1 若哈密頓系統(5)的離散格式

滿足如下離散多辛守恒律

其中

為了研究問題方便，首先引入下面符號，向前差分算子

平均算子

上面的算子滿足

及推廣的Leibniz法則

利用上面的算子，對x方向進行離散，得到哈密頓系統(5)的半離散格式

用隱式中點辛格式對半離散格式(15)時間方向進行離散，得到哈密頓系統(5)的全離散格式

首先分析半離散格式(15)和全離散格式(16)的離散多辛守恒律．半離散格式(15)是多辛的并且滿足離散的多辛守恒律

其中

全離散格式(16)是多辛的并且滿足離散的多辛守恒律

其中

下面分析半離散格式(15)和全離散格式(16)的離散局部能量守恒律和動量守恒律．半離散格式(15)滿足局部能量守恒律

局部動量守恒律

其中

A．Islas等［22］證明了如果非線性哈密頓系統(5)的哈密頓函數S(z)不是二次函數，則多辛算法(16)不能精確滿足局部能量守恒律和動量守恒律，為此引入如下定義．

定義3．2 記

稱RE和RM分別是局部能量動量守恒律在Axznj和

處的誤差，記稱εn和ηn分別是整體能量動量守恒律在和

處的誤差，其中

下面應用多辛算法(16)對系統(2)進行數值模擬，并且分析系統(2)的離散多辛守恒律、局部能量和動量守恒律誤差．對系統(2)的等價方程(10)應用多辛算法(16)可得

方程(25)滿足相應的多辛算法(16)的多辛守恒律(18)，其中

因為系統(10)的哈密頓函數是非線性哈密頓函數，利用定義3．2，方程(25)具有局部能量守恒律誤差(21)，其中

具有局部動量守恒律誤差(22)，其中

4 誤差分析

假設z是充分光滑函數，將函數 z在離散點(ti，xj)處分別關于t和x進行泰勒展開的

其中

方程組(26)經過變形得到

代上面的方程到哈密頓系統(5)得

利用M和K，則方程(10)離散格式可以寫成

由(28)式的第一個方程得

對(29)式求導可得

把(30)和(31)式代入(28)式的第二個方程

由(28)式的第三、四、五個方程得到

對上面的方程求導得到

代方程(33)～(35)到方程(32)得到

可以看出本文的算法具有精度o(△t2+△x2)．

5 數值例子

為了說明多辛Preissmann算法的諸多優點，下面利用多辛Preissmann算法離散DGH方程(2)對應的多辛哈密頓方程(10)消去輔助變量 、w、Φ和ψ，得到DGH方程(2)的多辛Preissmann三層格式

在利用上面三層格式進行數值模擬時，可用下面二層格式計算上面三層格式第二層上的初值

下面給出2個數值模擬．

5．1孤立波解 取參數α=1，ω=1，γ=1，考慮下面DGH方程(2)的孤立波的初值問題

由文獻［39］，可以得到問題(37)有孤立波解

對計算區域進行均勻剖分△x=0．01，取時間步長△t=0．01，計算到T=50，計算結果見表1、圖1和圖2．表1給出了有限差分法、多辛Preissmann方法和精確解計算問題(37)的比較．圖1給出了DGH方程的初值問題(37)隨時間的演化圖．圖2給出了DGH方程的初值問題(37)的局部能量和動量守恒律誤差．

5．2尖峰孤立波解 取參數α=1，ω=1，γ=1，考慮下面DGH方程(2)的尖峰孤立波的初值問題解計算問題(38)的比較．圖3給出了DGH方程的初值

對計算區域進行均勻剖分△x=0．01，取時間步長△t=0．01，計算到T=50，計算結果見表2、圖3和圖4．表2給出了有限差分法、多辛Preissmann方法和精確

由文獻［39］可以得到問題(38)有尖峰孤立波解問題(38)隨時間的演化圖．圖4給出了DGH方程的初值問題(38)的局部能量和動量守恒律誤差．

表1 問題(37)有限差分法、多辛Preissmann方法和精確解的比較Table 1 The comparison of finite difference method，multi-sympletic preissmann method and exact solution for question(37)

表2 問題(38)有限差分法、多辛Preissmann方法和精確解的比較Table 2 The comparison of finite difference method，multi-sympletic preissmann method and exact solution for question(38)

本文利用多辛Preissmann方法對一類DGH方程的初值問題進行了數值模擬，圖1和圖3說明本文的算法能夠很好的保持孤子解的基本幾何性質，并具有良好的長時間數值行為．從圖2和圖4說明本文的算法的局部能量守恒律和動量守恒律誤差可以控制在10－6．

致謝 普洱學院創新團隊基金(CXTD003)對本文給予資助，謹致謝意．

參考文獻

［1］DULLIN R，GOTTWALD G，HOLM D．An integrable shallow water equation with linear and nolinear dispersion［J］．Phys Rev Lett，2001，9:4501－4504．

［2］廖歐，舒級，曾群香．一類混合KdV方程的精確孤立波［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2015，38(4):493－496．

［3］趙海云．非線性耦合Schr dinger－KdV方程的新精確解［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2013，36(2):236－239．

［4］CAMASSA R，HOLM D．An integrable shallow water equation with peaked solitions［J］．Phys Rev Lett，1993，11:1661－1664．

［5］LI X，JIU L．New compacton solutions and solltary solutins of fully noniinear generalized Camassa－Holm quations［J］．Chaos，Soliton and Fractals，2004，20:289－299．

［6］FISHER M，SEHIFF J．The Camass－Holm equation:conserved quantities and the initial value problem［J］．Phys Lett，1999，A2593:371－376．

［7］CLARKSON D A，MANSFIEL E L，PRIESLTLE Y T J．Synunetries of a class of noulinear third－order partial differeniial equations［J］．Math Comput Modell，l997，25:195－212．

［8］KRAENKEL R，SENTHILVELSN M，ZENEHUK A．On the integrable periurbations of the Camassa－Holm quation［J］．J Math Phys，2000，41(5):3160－3169．

［9］DAN P，LI X．The attractor in dissipative Camassa－Holm equation［J］．Acta Math Appl Sinica，2004，27:536－545．

［10］LI X，GANG X，ZENG T．The coneave or convex peaked and smooth solutions of Camassa－Holm equatlon［J］．Appl Math Mech，2002，23(5):557－567．

［11］LI X，XIU Y．New peaked solitary wave solutions of the generalized Camassa－Holm equation［J］．Chaos，Solutions and Fractals，2004(3):621－637．

［12］LI X，GUI L，YUE L．On the well－Posedness problem and the scattering problem for DGH equatlon［J］．Commun Math Phys，2005，2573:667－701．

［13］GUO B，LIU Z．Peaked wave solutions of CH－gamma equation［J］．Sci China，2003，A334:325－337．

［14］ZHAO Y．Well－Posedness，blow up and global existence for an Integrable shallow waterequation［J］．Discrete Cont Dyn Syst，2004，11:393－411．

［15］LIN J．On solution of the Dullin－Gottwald－Holm equation［J］．Intre J Nonl Seience，2006，1:43－48．

［16］LIU T，QIN M．Multi－symplectic geometry and multi－symplectic preissmann scheme for the KP equation［J］．J Math Phys，2002，43(8):4060－4077．

［17］TIAN Y，QIN M，ZHANG Y，et al．The multi－symplectic numerical method for Gross－Pitaevskii equation［J］．Comput Phys Commun，2008，178(6):449－458．

［18］WANG Y，WANG B，QIN M．Concatenating construction of multi－symplectic scheme for 2+1 dimensional sine－Gordon equation［J］．Sci China，2004，A47(1):18－30．

［19］ESCHER J，LECHTENFELD O，YIN Z．Well－posedness and blow－up phenom－ena for the 2－component Camassa－Holm equation［J］．Discrete Cont Dyn Syst，2007，19:493－513．

［20］KONG L，LIU R，ZHENG X．A survey on symplectic and multi－symplectic algorithms［J］．Appl Math Comput，2007，186:670－84．

［21］LEIMKUHLER B，REICH S．Simulating Hamiltonian Dynamics［M］．Cambridge:Cambridge University Press，2004．

［22］ISLAS A，SCHOBER C．Backward error analysis for multisymplectic discretization of Hamiltonian PDEs［J］．Math Comput Simulation，2005，69:290－303．

［23］MOORE B，REICH S．Backward error analysis for multi－symplectic integration methods［J］．Numerische Mathematik，2003，95:625－652．

［24］張宇，鄧子辰，胡偉鵬．Sine－Gordon方程的多辛Leap－frog格式［J］．應用數學與力學2013，34(5):437－444．

［25］王雨順，洪佳林．哈密爾頓偏微分方程多辛算法［J］．應用數學與計算數學學報，2013，27(2):163－230．

［26］WANG Y，HONG J．Multi－symplectic algorithms for Hamiltonian partial differential equations［J］．Commun Appl Math Comput，2013，27:163－230．

［27］CAI J，WANG Y，LIANG H．Local energy－preserving and momentum－preserving algorithms for coupled nonlinear Schr dinger system［J］．J Comput Phys，2013，23:930－50．

［28］CELLEDONI E，GRIMM V，McLACHLAN R，et al．Preserving energy resp dissipation in numerical PDEs using the“AverageVector Field”method［J］．J Comput Phys，2012，231(20):6770－6789．

［29］CHEN Y，SONG S，ZHU H．Multi－symplectic methods for the Ito－type coupled KdV equation［J］．Appl Math Comput，2012，218:5552－5561．

［30］LYU Z，WANG Y，SONG Y．A new multi－symplectic integration method for the nonlinear Schr dinger equation［J］．Chin Phys Lett，2013，30(3):1－4．

［31］GONG Y，CAI J，WANG Y．Multi－symplectic Fourier pseudospectral method for the Kawahara equation［J］．Comput Phys Commun，2013，16(1):35－55．

［32］QIAN X，SONG S，GAO E，et al．Explicit multi－symplectic method for the Zakharov Kuznetsov equation［J］．Chin Phys，2012，B21(7):1－6．

［33］WANG J，WANG L．Multi－symplectic Preissmann scheme for a high order wave equation of KdV type［J］．Appl Math Comput，2013，87:4400－4409．

［34］陳璐，王雨順．保結構算法的相位誤差分析及其修正［J］．計算數學，2014，36(3):271－290．

［35］蔡文君．幾類無窮維哈密頓系統的保結構算法研究［D］．南京:南京師范大學，2014．

［36］王俊杰，王連堂．一類廣義Cammassa－Holm方程的多辛Preissmann格式［J］．系統科學與數學，2013，33(11):1321－1331．

［37］王俊杰．彈性波方程的多辛Preissmann格式計算［J］．地球物理學進展，2014，29(4):1758－1765．

［38］王俊杰，王連堂．一類二次KdV類型水波方程的多辛Fourier擬譜方法［J］．數值計算與計算機應用，2014，35(4):241－254．

［39］殷久利，田立新．一類非線性色散方程中的新型奇異孤立波［J］．物理學報，2009，58(6):3632－3636．

Multi-symplectic Preissmann Methods for DGH Equation

LI Shengping1，WANG Liantang2，WANG Junjie1，2

(1．Department of Mathematics，Puer College，Puer 665000，Yunnan; 2．Department of Mathematics，Northwest University，Xi’an 710127，Shannxi)

DGH equation which is a typical nonlinear wave equation，has broad application prospect．In this paper，the equation is studied based on the multi-symplectic theory in Hamilton space．The symplectic Preissmann method is used to discretize the formulations，and a semi-implicit scheme with certain discrete conservation laws is constructed to solve the DGH equation．The numerical experiments are given，and the results verify the efficiency of the multi-symplectic scheme．

Hamilton system;Preissmann method;multi-symplectic theory;DGH equation

O29

A

1001－8395(2016)05－0696－09

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．015

(編輯 李德華)

2014－12－14

云南省教育廳自然科學重點基金(2015Y490)

李勝平(1957—)，男，教授，主要從事微分方程的研究，E－mail:pexylsp@163．com

2010 MSC:35F21;37K05