非交換環上的強余撓模

胡晴，王芳貴，熊濤

非交換環上的強余撓模

胡晴，王芳貴*，熊濤

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

設R是任何環，L是R－模.若對任何平坦維數有限的模M，有Ext1R(M，L)=0，則L稱為強余撓模.證明(F∞，SC)是余撓理論當且僅當l.FFD(R)＜∞，其中F∞和SC分別表示平坦維數有限的模類和強余撓模類.還證明若w.gl.dim(R)＜∞，則強余撓模是內射模.最后證明每一R－模是強余撓模當且僅當R是左完全環，且l.FFD(R)=0.

余撓模;強余撓模;平坦維數;左完全環;環的弱finitistic維數

1 預備知識

本文恒設R是有單位元的結合環，所有的模均指左模.用fdRL和pdRL分別表示R－模L的平坦維數和投射維數;gl.dim(R)和w.gl.dim(R)分別表示環R的整體維數和弱整體維數.

D.K.Harrison［1］為了刻畫非有限的Abelian群的結構性質，引入了余撓模的概念.R－模C稱為余撓模，是指對一切平坦模F，都有Ext1R(F，C)=0.其后E.E.Enochs［2］對余撓模的刻畫做了大量的研究工作.J.Z.Xu［3］系統地討論了余撓模的相關性質，證明了平坦模類F與余撓模類C二者構成了余撓理論，還證明了每個R－模是余撓模當且僅當環R是左完全環.L.Bican等［4］解決了平坦蓋的猜測，即證明了對任何環R，每一R－模都有平坦蓋;等價于說，每一R－模都有余撓包.

余撓模的研究按照平坦維數在進一步發展.S.B.Lee［5］引入弱內射模來刻畫幾乎完全整環.R－模W稱為弱內射模，是指對任何平坦維數不超過1的模M，都有Ext1R(M，W)=0.交換環R稱為幾乎完全環，是指R的任何真商環都是完全環［6］.借助于弱內射模，文獻［7－9］證明了整環R是幾乎完全整環，當且僅當平坦維數不超過1的模的投射維數也不超過1;當且僅當可除模是弱內射模.

E.E.Enochs等［10］按照余撓模的研究思路考察了更一般的情形，他們稱之為n－余撓模.不過n－余撓模的不同的定義在文獻［11］已經出現，熊濤［12］遵循S.B.Lee［5］的思路，把Enochs意義下的n－余撓模稱為Ln－內射模.R－模L稱為Ln－內射模，是指對任何平坦維數不超過n的模M，都有Ex(M，L)=0.

在這些研究的基礎上，討論文獻［3］引入的強余撓模.R－模L稱為強余撓模，是指對任何平坦維數有限的模M，都有Ext1R(M，L)=0.D.Bennis等［13］證明了若R是交換環，則每一R－模是強余撓模當且僅當R是完全環.H.Y.Yan［14］在一般的非交換環上也討論了強余撓模的性質.本文借助環的弱finitistic維數來刻畫強余撓模的相關性質.

2 強余撓模的基本性質

定義2.1［3］設L是R－模.若對任何平坦維數有限的模M有

Ext1R(M，L)=0，則L稱為強余撓模.

例2.21)顯然，內射模是強余撓模;

2)對任何n≥0，強余撓模是Ln－內射模.因此，強余撓模是弱內射模(自然也余撓模).

命題2.3對任何R－模L，以下等價:

1)L是強余撓模;

3)形如0→L→B→C→0的正合列是分裂的，其中fdRC＜∞;

4)若0→A→B→C→0是正合列，其中fdRC＜∞，則

0→HomR(C，L)→HomR(B，L)→HomR(A，L)→0也是正合列.

證明1)?2)設0→A→P→M→0是正合列，其中P是投射模.于是對任何k≥1有

ExtkR(A，L)≌Extk+1R(M，L).

注意fdRA＜∞.于是斷言由對k使用歸納法即證.

2)?1)顯然.

1)?3)由文獻［15］的推論7.20即知.

1)?4)由Ext1R(C，L)=0即得.

4)?1)考慮正合列0→A→P→C→0，其中P是投射模.于是

是正合列.由假設得到正合列

0→Ext1R(C，L)→0，

因此有Ext1R(C，L)=0，即L是強余撓模.

命題2.4設0→A→B→C→0是正合列.若A是強余撓模，則B是強余撓模當且僅當C是強余撓模.

證明設M是R－模，fdRM＜∞，由正合列

并引用命題2.3的2)即得.

命題2.5設{Li}是一簇R－模，則∏iLi是強余撓模當且僅當每一Li是強余撓模.

證明設M是R－模，fdRM＜∞.由同構關系即得所證.

下面給出強余撓模是內射模的一個充分條件.

定理2.6設L是強余撓模.若fdRL＜∞，且fdRE(L)＜∞，其中E(L)是模L的內射包，則L是內射模.

證明考慮正合列0→L→E(L)→C→0，由條件有fdRC＜∞.由命題2.3，此正合列分裂，因此有L是內射模.

因此，可以得到如下推論:

推論2.7若w.gl.dim(R)＜∞，則每一強余撓模是內射模.

在文獻［16］中定義了模的余撓維數和環的整體余撓維數(cot.D(R)).相應地，在文獻［13］中也定義了模的強余撓維數和環的整體強余撓維數S.cot.D(R).由于w.gl.dim(R)＜∞時強余撓模就是內射模，故得到下面的結果.

推論2.8［16］若w.gl.dim(R)＜∞，則

gl.dim(R)=S.cot.D(R).

回顧環R稱為左IF環，是指每一內射R－模是平坦模［17］.由定理2.6，可以得到以下推論.

推論2.9若R是左IF環，L是強余撓模，且fdRL＜∞，則L是內射模.

3 模類F∞與模類SC

設(A，B)是一個模類對.記

A⊥={B∈RM|對任何A∈A，Ex(A，B)=0}，以及

⊥B={A∈RM|對任何B∈B，Ex(A，B)=0}.若A=⊥B，且B=A⊥，則(A，B)稱為一個余撓對或一個余撓理論.J.Z.Xu［3］證明了平坦模類與余撓模類(F，C)構成了余撓理論.S.B.Lee［5］證明了平坦維數不超過1的模類與弱內射模類(F1，WI)構成了余撓理論.更一般地，用Fn表示平坦維數不超過n的模類，Ln表示Ln－內射模類，熊濤［12］證明了(Fn，Ln)構成了余撓理論.用F∞表示平坦維數有限的模類，SC表示強余撓模類.由定義2.1知SC= F∞

⊥，F∞?⊥SC.下面證明一般地有(F∞，SC)不構成余撓理論.

命題3.1

證明第一個等式是顯然的，第二個等式在文獻［10］中已經指出.

定義3.2［18］環R的弱finitistic維數定義為

命題3.3若l.FFD(R)=∞，則存在R－模M，使得fdRM=∞，但對任何L∈SC有

證明由條件l.FFD(R)=∞，有對任何正整數n，存在R－模Mn，使得fdRMn=n.令

則

由于對任何L∈SC，有Ext1R(Mn，L)=0，因此有

推論3.4若l.FFD(R)=∞，則(F∞，SC)不構成余撓理論.

引理3.5設R為環，F∞=⊥SC當且僅當F∞在直和下封閉.

證明參見文獻［14］的命題2.14.

文獻［14］證明了(F∞，SC)構成余撓理論當且僅當F∞在直和下封閉.也可以用弱finitistic維數給出(F∞，SC)何時構成余撓理論的刻畫.為此，需要下面的引理.

引理3.6設n是自然數，M和L是R－模，則:

1)M∈Fn當且僅當對任何

2)L∈Ln當且僅當對任何證明參見文獻［12］.

定理3.7對環R，以下各條等價:

1)l.FFD(R)＜∞;

2)存在自然數n，使得Fn=F∞;

3)存在自然數n，使得Ln=SC;

4)存在自然數n，使得每一Ln－內射模是強余撓模;

5)(F∞，SC)構成余撓理論.

證明1)?2)設l.FFD(R)=n，則當fdRM＜∞時，就有fdRM≤n.由此得到Fn=F∞.

2)?3)顯然，這是因為

3)?4)這是平凡的.

4)?1)設M是R－模，fdRM＜∞，則對任何L∈Ln，由條件，L是強余撓模，故由引理3.6，fdRM≤n.于是有l.FFD(R)≤n＜∞.

2)+3)?5)由文獻［12］，(Fn，Ln)構成余撓理論.

5)?1)由推論3.4可知.

對定理3.7的證明作適當變更，容易得以下定理.

定理3.8設n是自然數，對環R，以下各條等價:

1)l.FFD(R)≤n;

2)Fn=F∞;

3)Ln=SC;

4)每一Ln－內射模是強余撓模.

推論3.9每一余撓模是強余撓模當且僅當l.FFD(R)=0.

推論3.10每一R－模是強余撓模當且僅當R是左完全環，且l.FFD(R)=0.

證明若每一R－模是強余撓模，則每一R－模是余撓模.由文獻［3］的命題3.3.1，R是左完全環.由推論3.9，l.FFD(R)=0.

反之，設R是左完全環，且l.FFD(R)=0.設C是任何R－模，M是R－模，fdRM＜∞.由于

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Strongly Cotorsion Modules over Non-commutative Rings

HU Qing，WANG Fanggui，XIONG Tao
(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring and L an R-module.If Ext1R(M，L)=0 for all R-module M with finite flat dimension，then L is called strongly cotorsion.In this paper，it is shown that(F∞，SC)is a cotorsion theory if and only if l.FFD(R)＜∞，where F∞and SC denote respectively the class of modules with finite flat dimension and the class of strongly cotorsion modules.It is also shown that if w.gl.dim (R)＜∞，then all strongly cotorsion modules are injective.It is finally proved that every R-module is strongly cotorsion if and only if R is left perfect with l.FFD(R)=0.

cotorsion module;strongly cotorsion module;flat dimension;left perfect ring;weak finitistic dimension of a ring

O154

A

1001－8395(2016)03－0314－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.002

(編輯陶志寧)

2014－08－30

國家自然科學基金(11171240)和教育部博士點專項科研基金(20125134110002)

*通信作者簡介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數、同調代數與代數K－理論的研究，E－mail:wangfg2004@163.com

2010 MSC:16D50;16E10;16E30