泛函積分方法與三帶Hubbard模型中反鐵磁激發(fā)譜的計算

田紅金，顏駿，楊曉煥，陳海霖

泛函積分方法與三帶Hubbard模型中反鐵磁激發(fā)譜的計算

田紅金，顏駿*，楊曉煥，陳海霖

(四川師范大學物理與電子工程學院，四川成都610066)

根據泛函積分方法推導三帶Hubbard模型中的自由Green函數.由矩陣形式的Dyson－Grokov方程得到正常與反常Green函數;這些Green函數可以描述反鐵磁態(tài)和超導態(tài)的物理性質.在長波近似下計算反鐵磁序矢量共存于銅氧格點時的激發(fā)譜，還討論反鐵磁序矢量對能譜的影響.

泛函積分;溫度Green函數;三帶Hubbard模型;反鐵磁激發(fā)譜

泛函積分方法是研究量子場論和統計物理中各種激發(fā)現象的強有力的數學工具，這一方法已廣泛應用于不同種超導模型中的集體激發(fā)的計算，例如，BCS模型、Boson－Fermion模型、Hubbard模型和T－J模型等［1－8］.這一方法依賴于微擾展開技術，并且非常適合于弱耦合Sine－Gordon－Thirring模型中熱力學量的計算［9］.然而對于強耦合模型還缺乏精確的數學方法和泛函積分的正確定義.在前面的工作中將泛函積分和變分累積展開相組合建立了一種新的非微擾方法［10－11］，在強耦合和弱耦合Sine－Gordon－Thirring模型中的自由能和統計平均值都可以根據這一新方法來計算［10，12］.

另外，采用微擾和非微擾泛函積分方法可以研究Sine－Gordon－Thirring模型中弱耦合和強耦合區(qū)間的相結構，結果表明雜質密度和費米凝聚密度可以形成穩(wěn)定的相結構［13］.另一方面，L.D.Faddeev和V.E.Korepin［14］提出了一種計算孤子質量和散射矩陣的重要方法.這一技術是建立在泛函積分的穩(wěn)定相方法的基礎上，他們在半經典近似下計算了孤子質量和散射矩陣的單圈修正.Faddeev－Korepin方法和變分泛函積分方法具有類似的數學結構，因此這2種方法都可以應用于Sine－Gordon孤子的量子統計物理性質的研究.

對于高溫超導體，三帶Hubbard模型比簡單的單帶Hubbard模型更具有現實的物理意義.K.Malyshev等［15－16］證明了反鐵磁態(tài)和超導態(tài)可以共存于三帶模型之中，他們解釋了處于小摻雜參量的反鐵磁態(tài)可以轉化為大摻雜參量的超導態(tài).當溫度Green函數方法應用于簡單的二維排斥Hubbard模型中，那么同樣可以證明當摻雜參量增大時，反鐵磁態(tài)將產生對稱性破缺.V.N.Popov［17］提出了一種描述晶格上反鐵磁與鐵磁態(tài)的反常Green函數方法，他們應用Dyson－Gorkov方程求解了Hartree近似下的溫度Green函數.

P.E.Brusov等［5］發(fā)展了高溫超導d波配對模型中的二維泛函積分方法，并計算了模型中的各種集體激發(fā)效應.本文將在Popov泛函積分方法的框架下計算三帶Hubbard模型中銅氧反鐵磁序共存時的激發(fā)譜，并進一步分析和討論反鐵磁序對能譜產生的各種影響.

1 泛函積分與三帶Hubbard模型中的作用Green函數

在單帶Hubbard模型中允許配對超導態(tài)的存在，但這種簡單模型只能看作是高溫超導體的玩具模型，而三帶Hubbard模型比單帶模型更具有現實的物理意義.三帶模型中考慮了氧的2px和2py軌道和銅的3dx2－y2軌道之間的雜化，CuO2層可近似看作二維正方晶格，則三帶Hubbard模型中的哈密頓量［16］為

式中

式中

是Grassmann費米場，Ψs(p)是共軛矩陣.動量p= (k，ω)，ω=2πT/(n+1/2)是費米頻率.U1=Ud，U2= U3=Up，Ti(k)=ti(1+eiki)，i=1，2，珔Ti(k)=ti(1+e－iki)是Ti(k)的復共軛，總的態(tài)數是3N.在動量空間中的配分函數可表示為

式中積分測度為

自由Green函數可以由如下的泛函積分導出

結果為

式中

費米能譜可由方程M(p)=0得到，它包含3條未微擾的能帶.作變換iω→E后，未微擾能譜可由方程M(p)=0得出，它包括3個分支:

為了描述三帶模型中的正常態(tài)，可利用如下Dyson－Gorkov方程

式中

自能滿足的方程為

(15)式中沒有對下標α求和.將逆矩陣(12)式代入(15)式可以得到如下方程組

式中

這里s=↑或↓是自旋指標，s'是s的反指標，如果s =↑，則s'=↓，反之亦然.方程組(16)～(18)包含了關于變量x↑、x↓、y1↑、y1↓y2↑、y2↓的6個方程，其中3個是關于自旋向上的方程，3個是關于自旋向下的方程，它們分別是銅格點和氧格點上的重整化化學勢.在正常態(tài)中xs、y1s、y2s的值與自旋s無關，(16)式中只有3個獨立方程.當

則方程組(16)～(18)的解設為xs=x;y1s=y2s=y，并且只有2個獨立方程.這時能譜方程為

由此方程可得到三帶Hubbard模型的能譜為

2 半滿狀態(tài)和低于半滿狀態(tài)系統的解

在銅氧晶格中平均每個晶格上總費米子數為3，則N個晶格對應的狀態(tài)數為6N.下面根據系統方程組的解來說明三帶模型中存在半滿狀態(tài).首先證明方程組(16)～(18)存在一組零解xs=y1s=y2s= 0，滿足這組解的條件為

如果xs=y1s=y2s=0，則方程(16)變?yōu)?/p>

再令

則

所以方程(24)成立.同時方程(17)變?yōu)?/p>

當|T1(k)|《|T2(k)|時，式中第二項為

所以

由于方程(17)和(18)的形式一致，所以這2個方程也完全成立，那么由零解xs=y1s=y2s=0可將能譜(22)式簡化為

這時模型中的費米子平均數應為

式中參量ε→0+，〈〉它剛好對應于總態(tài)數6N的一半，所以三帶Hubbard模型中存在這種半滿態(tài).這種半滿態(tài)具有一定對稱性，但是對于強關聯系統，由于同位排斥作用費米子很難由一種自旋態(tài)躍遷到另一個自旋態(tài)，因此這種半滿態(tài)不太適合描述高溫超導的導電性質，所以用低于半滿狀態(tài)的能帶描述高溫超導體現象更合理，因為這時的費米子躍遷過程更容易實現.下面證明模型中確實存在這種低于半滿的狀態(tài)，這時假設一種新的約束條件

那么方程組(16)～(18)具有另外一組解

如果xs=y1s=y2s=－2t，則方程(16)變?yōu)?/p>

(iω－2t)(|T1(k)|2+|T2(k)|2)］}.(35)令ε+=2t+a+(k)，ε－=2t+a－(k)，當Ud/4》2t并且溫度T《2t時，則有

所以方程(16)可以成立.同理方程(17)變?yōu)?/p>

當Up/8》2t時，(37)式中第二項為

所以

而方程(18)與(17)形式上一致，所以當新的約束條件(33)式滿足時，這2個方程也完全成立.這時系統方程組的解xs=y1s=y2s=－2t可將能譜表示為

此時總費米子數等于

式中，當T《2t時，可將(eβE0+1)－1與(eβE+(k)+1)－1忽略，僅保留最后一項，這是E－(k)能級對應的總粒子數為N，這是一種低于半滿狀態(tài)，所以，用一種Green函數方法解釋了三帶Hubbard模型中可能存在半滿態(tài)和低于半滿的狀態(tài).

3 Dyson－Grokov方程與反常Green函數

在反鐵磁狀態(tài)中的正常Green函數定義為

同時反常Green函數定義為

式中p=(ω，k+π)，反鐵磁狀態(tài)可通過非零的Nell序參量來描述.在Hubbard模型中存在不同類型的反鐵磁秩序，例如Nell序參量可以存在于銅格點上也可以處于氧格點上，對應的反鐵磁平均值可以通過反常Green函數來計算.

下面引入如下六維矩陣Green函數

式中，Gs(p)和Gas(p)是正常和反常Green函數，G0s(p)是自由Green函數.自能部分對應的矩陣設為

矩陣Dyson－Grokov方程具有如下形式

這里對自能部分取Hartree近似，即As(p)、Bs(p)取為常數矩陣，它們與p、s無關，所以有

令δd=δ，δp1=δp，δp2=0，Πi=Ti(k+π)，這表示序參量存在于銅格點和一個氧格點上，另一個氧格點上序參量為零.由Dyson－Grokov方程(47)可以得到如下的正常Green函數

式中

式中符號定義為

Green函數(50)式中的行列式為

由Dyson－Grokov方程(47)可得到反常Green函數

式中

下面將根據正常與反常Green函數矩陣中的行列式來研究模型的激發(fā)譜.

4 銅氧格點上反鐵磁序共存時激發(fā)譜的計算

當行列式Det Λ1=Det Λ2=Det Λ3=0時，可得到如下激發(fā)譜方程組

現在作代換iω→E，并假設t=t1=t2，xs=y1s=y2s=－2t，δ=0，k1=k2→0，則能譜方程(79)～(81)有如下解

這些在長波近似下的解是簡并的，描寫Nell序參量只存在于一個氧格點上時的費米激發(fā).當δ≠0，δp≠0，則能譜方程(79)～(81)有如下普遍解

這些長波近似解也是簡并的，描寫了Nell序參量同時存在于銅氧格點上時的費米激發(fā).下面分析躍遷振幅固定時序參量變化對能譜產生的影響.取t=0.50 eV，δp=1 eV，由(83)式中的第二個能譜公式可以作出如下激發(fā)能隨δ變化的3種數值圖形.其中，E++、E+－、E－－分別對應(83)式中各種±號的取值.

由圖1可以看出，當δ＞δp=1 eV時，E++與δ近似成線性關系，隨著銅格位上Nell序參量增大，費米激發(fā)能逐漸增強.由圖2看出，當5 eV＞δ＞δp=1 eV時，隨著銅格位上Nell序參量增大，費米激發(fā)能E+－迅速增強，當δ達到一定值時，費米激發(fā)能近似不變.由圖3可以看出，當15 eV＞δ＞δp=1 eV時，費米激發(fā)能隨δ的增大而迅速減弱，當δ很大時，費米激發(fā)能趨于零.當t=－0.5 eV，δp=1 eV，可作出費米激發(fā)能的如圖4所示.

由圖4可以看出，當δ＞δp=1 eV時，珔E++與δ近似成線性關系，隨著銅格點上的Nell序參量增大，費米激發(fā)能也增強，和圖1對比E++和珔E++的變化規(guī)律相似，并且珔E++＜E++，所以這時t＜0的費米激發(fā)能更小.

三帶Hubbard模型的求解是一個比較復雜的問題，要獲得模型中能譜的解析解是非常困難的.本文首先根據泛函積分方法推導了模型的自由Green函數，在此基礎上并結合Dyson－Gorkov方程研究了反鐵磁激發(fā)譜的性質.本文首次獲得了反鐵磁序矢量同時存在于銅氧格點時的激發(fā)譜.K.Malyshev等［15－16］曾研究過同一問題中的反鐵磁激發(fā)性質，但他們的工作僅考慮了銅格點上存在反鐵磁序矢量的特殊情況，因此本文的研究結果更具有普遍性.另外，本文還仔細分析了氧格點上反鐵磁序矢量不變時，銅格點上反鐵磁序變化時對能譜產生的影響.而K.Malyshev等［15－16］的研究工作并沒有仔細分析2種鐵磁序共存時反鐵磁激發(fā)譜的變化性質.

泛函積分方法還得到了BEC和He3中的物理實驗的具體驗證.V.N.Popov［17－18］根據泛函積分中的超動力學方法計算了有限溫度下重整化能譜，結果不僅消除了Green函數的紅外奇點，而且理論計算的激發(fā)譜和BEC實驗中的觀測數據較好地吻合［19］.P.N.Brusov等［20］根據泛函積分方法計算了He3超流中A相的clapping激發(fā)頻率，其理論值和實驗觀測頻率只有約2%的誤差，而普通動力學方程理論的計算誤差卻超過6%，這些研究結果表明泛函積分方法具有較高的計算精確度.V.S.Yarunin［21］根據約束系統泛函積分方法重新研究了He4超流中的能譜，通過引入玻色凝聚和δ函數對應的溫度譜參量，推導了有效作用量及其相結構方程組，在此基礎上得到了He4超流中的聲子譜和旋子譜，較好地解釋了超流實驗觀測到的能譜曲線，這正是泛函積分方法在求模型中能譜的解析解方面的另一個顯著優(yōu)點.

5 結論與討論

本文根據量子統計場論中的泛函積分方法研究了三帶Hubbard模型中的反鐵磁激發(fā)譜，通過Dyson－Grokov方程的解證明了模型中可能存在半滿或低于半滿的狀態(tài)，而后一種狀態(tài)可以描寫高溫超導現象，同時計算了銅氧格點上反鐵磁序共存時費米激發(fā)能的變化情況.分別討論了躍遷能t＞0和t＜0時，銅格點上序參量固定的情況下，費米激發(fā)能隨氧格點上序參量變化的規(guī)律.結果發(fā)現當t＞0時激發(fā)能的變化有3種情況:即激發(fā)能單調增加;迅速增加而趨于固定;單調減小而逐漸趨于零.當t＜0時，費米激發(fā)能的變化情況與t＞0中的第一種情況類似，只不過激發(fā)能更小.

目前中子衍射實驗已證實摻雜前的母體化合物是反鐵磁絕緣體.在固體物理中，磁性是組成晶體中原子電子組態(tài)及原子磁矩的綜合體現.在反鐵磁體中，相鄰近的磁矩反平行排列，并且相反的磁矩正好抵消.高溫氧化物可看作準二維強關聯體系，當考慮同一格點附近自旋相反電子(空穴)的庫侖同位關聯后，Hubbard模型可以描寫這一體系的反鐵磁和絕緣性質.

一般銅氧化物的結構比較復雜，但其晶體結構中均含有多個CuO2平面層.可看作一種準二維晶體，在CuO2平面中載流子運動起主要作用，而其余部分可簡化為一種等效的電荷庫存.如果摻雜使電荷庫中電子減少，那么CuO2導電層中將出現空穴，反之，如果摻雜使電荷庫中增加電子，那么CuO2導電層將出現電子載流子，這是摻雜后化合物仍保持電中性的一個推論.

在摻雜的過程當中，除了使氧的電子增加或減少之外，也有可能使銅的電子數目減少.以LaCoO3為例，LaCoO3是很好的絕緣體，因為+3價Co離子只有6個3d電子，它們和氧的2p電子雜化后，只能填充在成鍵軌道:價帶，而導帶內沒有電子.當用Sr+2部分地取代La+3離子后，La1－xSrxCoO3變成很好的導體，這是由于產生了電荷轉移，使參與軌道雜化的Co的3d電子的數目減少，造成了價帶頂部出現了空穴，而提高了它的電導率.

當然，本文的研究結果可以繼續(xù)推廣研究三帶Hubbard模型的高溫超導性質，目前還有文獻在繼續(xù)深入研究Hubbard模型中的各種物理性質［22－28］.近30年泛函積分方法已廣泛應用于凝聚態(tài)物理的研究之中，如磁性雜質問題、普通超導體的物理性質、強關聯電子系統中T－J模型的有效哈密頓量推導、單雜質Anderson模型中磁化率和有效磁矩的計算、高溫超導體中反鐵磁自旋漲落的計算、BEC中的空間分布、高溫超導體和小鐵磁團簇中自旋漲落的研究、巡游電子的反鐵磁性質等［29－39］.最近幾年泛函積分方法還被應用于研究Sine－Gordon－Thirring模型的強耦合性質和相結構，并推廣至黑洞外費米物質能量密度漲落的計算［40－43］，所以除了高溫超導和其他凝聚態(tài)物理之外，泛函積分方法還具備了更廣泛的物理用途.

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Functional Integrals Method and Calculation of the Antiferromagnetic
Excitation Spectrum in the Three-band Hubbard Model

TIAN Hongjin，YAN Jun，YANG Xiaohuan，CHEN Hailin
(College of Physics and Electronic Engineering，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，the free Green’s function of three-band Hubbard model was derived according to the functional integral methods.We obtained the normal and abnormal Green’s function by the matrix form of Dyson-Grokov equations.The Green’s function can describe the physical properties of antiferromagnetic state and the superconducting state.In the long wave approximation，the excitation spectrum was calculated when the antiferromagnetic order vector co-existed in copper and oxygen lattices.Moreover，the influence of antiferromagnetic order vector on the energy spectrum was also discussed.

functional integral;temperature Green’s function;three-band Hubbard model;antiferromagnetic excitation spectrum

O412;O469

A

1001－8395(2016)03－0388－10

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.016

(編輯李德華)

2014－11－15

四川省教育廳自然科學重點基金(11ZA100)

*通信作者簡介:顏駿(1965—)，男，教授，主要從事量子場論和引力理論的研究，E－mail:yanjun5@sina.com