平方反比有心力場中粒子運動軌道的相對論修正*

舒新文　王竹平（安徽師范大學物理與電子信息學院，安徽蕪湖241000）

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平方反比有心力場中粒子運動軌道的相對論修正*

舒新文王竹平
（安徽師范大學物理與電子信息學院，安徽蕪湖241000）

摘要：從相對論性粒子的拉格朗日函數出發，推導出相對性粒子在平方反比引力場中運動的軌道微分方程。該方程在低速運動情況下可過渡到經典力學的軌道方程，具有普遍意義，對于解決有心力和軌道關系的力學問題有一定的參考價值。

關鍵詞：相對論；有心力；軌道方程

Abstract:Starting from the Lagrange function of relativistic particles，the paper deduces the orbital differential equation while the relativistic particles move in the inverse and square gravitational field.The equation can be transformed into the orbit equation of classical mechanics under the condition of low speed movement，which has significant reference valuefor solving the mechanics problem related tothere lationship between central force and orbit.

Keywords:theory of relativity；central force；orbital equation

在有心力場中，低速運動粒子的軌道微分方程可由畢耐公式描述。該公式在研究質點有心力作用下的運動軌道有重要地位和應用，如行星繞太陽的運動、微觀粒子散射實驗等。在平方反比力場中，由畢耐公式可以導出粒子的運動軌跡為圓錐曲線（橢圓、拋物線和雙曲線），其具體形式由軌道方程的偏心率（或總能量）決定［1］。在高速運動情況下，粒子具有相對論性。目前對相對論性粒子在有心力場中運動的研究較少［2，3］。文章從構建相對論情況下的拉格朗日函數出發，利用拉格朗日方程建立了受平方反比有心力作用的相對論性粒子的運動軌道方程，得到了粒子的開普勒運動軌道的相對論修正。研究結果對解決有心力和運動軌道的普遍關系這一力學問題有一定的參考價值。

設相對論性粒子的慣性質量為m，現考慮粒子在質量為M所產生的引力場中運動，具有勢能其中k=為相對性運動粒子到M的距離。此粒子的拉格朗日函數為［4］

其中qi為系統的廣義坐標，可取｛qi｝=｛γ，θ｝。將（1）式代入（2）式，并利用極坐標下的速度表達式，可得粒子關于｛qi｝=｛γ，θ｝的運動微分方程分別為：

式（3）類似于低速情況下的運動初積分，動量矩守恒。因此，定義常數，可得

將（5）式和（6）式代入方程（4），得到粒子運動的軌道微分方程

（8）式即為相對論性粒子在平方反比有心力場中的軌道微分方程。式中為粒子開普勒運動軌道的相對論改正項，其值與運動速度有關。當v<

在實際物理問題中，由于λ是隨運動速度（也即θ）變化而變化的物理量，（8）式為非線性二階微分方程。一般來說，數學上不易直接求其通解，但可以通過數值計算的方法，進一步研究相對論粒子具體的運動軌跡特征，以及考察由于相對論性運動引起的軌道實際變化。這對處理相關力學問題具有一定的參考價值。

參考文獻

［1］周衍柏.理論力學教［M］.北京：高等教育出版社（第三版），2009：65-74.

［2］于洛平.相對論性粒子在有心力場中的軌道微分方程［J］.山東師范大學學報（自然科學版），1993，8（2）：107-108.

［3］于洛平，官文櫟.相對論性平面諧振子的軌道［J］.山東師范大學學報（自然科學版），1994，9（1）：31-35.

［4］徐永興，朱珉仁.狹義相對論中自由質點拉格朗日函數的一種推導方法［J］.大學物理，1989，11（1）：49-50.

中圖分類號：O41

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）12-0250-02

*基金項目：安徽省自然科學基金（編號：1608085QA06）資助。

作者簡介：舒新文（1982-），男，安徽懷寧人，安徽師范大學副教授，博士，主要從事大學物理教學和天體物理研究工作。