基于Laplace變換與模式搜索法改進的GM（2，1）模型

周振國　張宇陽

【摘 要】通過查閱相關的資料了解到GM（2，1）模型主要存在的缺陷是強行定義邊界以及緊鄰均值序列預測公式和累加生成序列預測公式相互混淆。針對GM（2，1）模型存在的這兩大缺陷提出相應的改進措施；同時對傳統的GM（2，1）模型中求解白化方程的方法進行了改進，提出利用Laplace變換求解白化方程，這樣可以省去對微分方程的特征值進行分類判斷的繁瑣步驟。在MATLAB上進行的數值試驗表明改進后的GM（2，1）模型可以提高預測精度。

【關鍵詞】GM（2，1）；Laplace變換；模式搜索法；MATLAB

The Improved GM（2，1） Model Based on the Laplace Transform and Pattern Search Method

ZHOU Zhen-Guo ZHANG Yu-Yang

（College of Science， China University of Petroleum， Qingdao Shandong 266580， China）

【Abstract】Through accessing to large amounts of papers， we found that the two main shortcomings existed of GM（2，1）model are definiting borders unreasonably and garble about the prediction formulas of 1-IAGO and 1-AGO. We focus on the two shortcomings above and propose appropriate measures for improvement.Meanwhile we improve the method， used in solving albino equations of the traditional GM（2，1） model， and raise a new way that solve the same equations by Laplace transform.In this way， we can bypass those tedious steps to classify and judge the eigenvalues of ordinary differential equations（ODE）. After the numerical experiments we did in MATLAB， we can show that improved GM（2，1） model prossesses a high accuracy.

【Key words】GM（2，1）； Laplace Transform； Pattern Search Method； MATLAB

0 引言

GM（2，1）模型作為灰色理論系統的重要組成部分以其較高的精度以及在中長期預測中的優勢而被應用在實際生產生活中的很多方面，但是在實際應用中GM（2，1）模型的精度有時候并不能達到人們所要求的精度，因此改進GM（2，1）模型是很有必要的。文獻[1]指出GM（2，1）模型存在的缺陷，本文提出有針對性的改進措施，同時提出利用Laplace變換求解常微分方程來簡化模型。

1 Laplace變換以及模式搜索法簡介

Laplace變換是工程數學中常用的一種積分變換，又名拉氏變換。拉氏變換是一個線性變換，可將一個關于實數t（t≥0）的函數通過關系式■e■f（t）dt（式中st為自然對數底e的指數）轉換為一個關于復數s函數。對一個實變量函數作拉氏變換，并在復數域中做運算，再將運算結果作拉氏逆變換求得實數域中的相應結果，往往比在實數域中求得同樣的結果容易得多。因為其顯著的優點，在工程中有廣泛的使用。

模式搜索法在計算時不需要目標函數的導數，所以在解決不可導的函數或者求導異常麻煩的的函數的優化問題時十分有效，模式搜索就是尋找一系列的點，這些點都越來越靠近最優值點，當搜索進行到終止條件時則將最后一個點作為本次搜索的解。在求解最優化問題有較好的效果。

2 傳統GM（2，1）的構造原理及一般步驟

為了方便使用Laplace變換，我們設定序列的下標都是從0開始的。

5 數值實驗

為了驗證本文改進的GM（2，1）模型對預測精度的提高，選取兩個實例建立GM（2，1）模型，比較其與傳統GM（2，1）模型和文獻[3]所給出的基于最小二乘法改進模型以及文獻[2]所給出的基于加權組合和最小二乘法改進的GM（2，1）模型的預測精度。

由上述兩個數值試驗可以看出雖然在少數的點上本文提出的方法的精度不及其他方法，但總體平均誤差本文提出的改進方法是占上風的，因此該方法是有效的而且可靠的。

6 結論

本文參考已有的對GM（2，1）模型改進的文獻，提出了利用Laplace變換以及模式搜索法來對GM（2，1）模型的缺陷進行改進的方法，省去了在求解白化微分方程中的繁瑣過程，數值試驗也表明本文所提出的改進方法能夠提高預測精度。

【參考文獻】

[1]趙新蕖，陳紅林.GM（2，1）模型預測公式的改進研究[J].武漢理工大學學報，2006，28（10）.

[2]牛思先，陳鵬宇，蘇玉剛.基于加權組合和最小二乘法改進的GM（2，1）模型[J].統計與決策，2010，22：28-30.

[3]沈繼紅，趙希人.利用最小二乘法改進GM（2，1）模型[J].哈爾濱工程大學學報，2001，22（4）.

[4]吳賢華.實現模式搜索法快速收斂和全域最優解的方法[J].溫州師范學院學報（自然科學版），1994（6）.

[責任編輯：楊玉潔]