有關非線性有理差分方程的全局漸近穩定性證明的討論

劉純英

【摘 要】本文主要探討了非線性有理差分方程的全局漸近穩定性的定性性質，并總結了有理差分方程的全局漸近穩定性證明方法。

【關鍵詞】差分方程；全局漸近穩定性；定性性質

差分方程是與微分方程相平行的數學理論，差分方程反映的是關于離散變量的取值與變化規律，就是針對需要解決的目標，引入系統或者過程中的離散變量。根據實際背景的規律、性質、平衡關系等建立離散變量所滿足的平衡關系式，從而建立差分方程，然后通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特別性質，如平衡性、穩定性、振動性、周期性等。從而把握這個離散變量的變化過程的規律，進一步再結合其他的分析，得到原問題的解。近幾十年來，在生態學、物理、化學、醫學等諸多領域的研究中已經提出并運用了大量的時滯微分方程模型來描述研究對象，對這些數學模型的動力學行為的研究具有重要的實際意義和實際前景。

近來，高階有理型差分方程的定性性質引起了大家的極大興趣，研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局漸近穩定性沒有固定的方法，對不同的問題所用的研究方法不同，Lyapunov 泛函方法仍是一種有力的工具，尋找有效的手段研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局漸近穩定性還有待于進一步探索。

比如文獻[3]，G.Ladas 建立方程：

對四階及以上階次的差分方程解的全局漸近穩定性進行研究，這將對差分方程解的定性性質的研究有極大的推動作用。

由于全局漸近穩定性關于平衡解的半環的分布規律的樣式繁多，由于在分析半環的過程非常復雜，因此，我們將用子序列分析法來研究一類高階有理差分方程解的全局漸近穩定性。一些結果被推廣。我們將通過建立輔助方程的方法，并且應用不動點的相關知識，研究一些高階有理差分方程解的全局漸近穩定性。

近年來，隨著計算機的廣泛應用，出現了的大量的差分方程，這是因為一個離散過程的自然模型或者一個連續過程的離散模擬都可以產生差分方程。后者主要出現在常微分方程與偏微分方程的數值求解中。從數學的角度來說，連續的結果與離散的結果是可以相互通達的。因此，把微分方程的結果離散化就可以得到相應的差分方程的結果。由于微分方程解的定性和穩定性的研究比較成熟，結果也比較多。因此，研究微分方程解的動力學行為的一些理論，方法以及工具可以借用到研究差分方程的動力學行為上。故差分方程解的定性和穩定性理論也比較多。然而，差分方程與相應的微分方程也存在許多差異，甚至是本質上的差異。

例如，在1991年W.G.Kelley和A.C.Peterson發表的論文中，連續的Logistic方程：

的每個解都是單調的，但是，它的離散模擬：

xn+1=axn（1-xn），n>n0

在a=4時，卻有一個“混沌解”；S.Mohamad與K.Gopalsamy指出：盡管有許多數值方法去近似連續系統的解。但是，兩種系統（連續系統與相應的離散系統）解的漸近行為是經常不一致的。J.S.Yu和Z.C.Wang發現時滯微分方程與其離散類似在振動性方面存在差異，此類差異不勝枚舉。差分方程與相應微分方程之間差異，以及差分方程本身的廣泛應用表明差分方程值得進一步研究，也表明了其研究的現實意義非常重大。

有理型差分方程也被稱為有理遞歸序列，這種類型的差分方程看起來很簡單而且它的性質和一些猜想可以被計算機模擬，常常被人們誤認為簡單，然而事實上并非如此，遞歸差分方程是近年來研究的主題。

差分方程也經常用于模擬生物學，電子學，生物學，工程學和經濟學等學科中出現的微分方程或時滯微分方程的離散模擬或數值求解。近年來，全局漸近穩定性的定性性質引起了大家的極大興趣，通過對有理差分方程的全局漸近穩定性的研究，通過分析關于平衡解的半環的分布規律來確定平衡解的穩定性，得到了此類有理差分方程解的全局漸近穩定性的一些充分條件。這些性質在生態學，物理，化學，工程，醫學等諸多方面的研究中都有非常重要的應用，因此，它的研究具有重要的實際意義和應用前景。

【參考文獻】

[1]AGARWAL R P. Difference equations and inequalities[M]2nd ed.New York：Marcel Dekker，1992.

[2]LI X.Global behavior for a fourth order rational difference equation[J].Math.Anal.Appl. 2005，312：555-563.

[3]G.Ladas， Open problem and conjecture[J]. Difference Equ. Appl. 1995，1（1）：161-163

[4]LI X. The rule of semicycle and Global Asymptotic Stability for a Fourth-Order Rational Difference Equation [J]. Comput Math. Appl.

2005，49：723-730.

[5]A.M.Amleh，N.Kruse， G.Ladas，D.A. On a class of difference equations with strong negative feedback[J]. Difference Equ.Appl. 1999，5：479-515.

[6]X.Li，D.Zhu，Global asymptotic stability for two recursive difference equations[J]. Appl. Math. comput.2004（150）：481-492.

[7]X.Li，D.Zhu，Two rational recursivs equence[J]. comput.Math.Appl. 2004，47：1487-1494.

[8]X.Li. The rule of semicycle and Global Asymptotic stability for a Fourth-order Rational Difference Equation[J]. comput. Appl. Math. 2005，49：723-730.

[9]X.Li.Qualitative properties for a Fourth-order Rational Difference Equation[J]. Math.Anal.Appl.2005，311：103-111.

[10]X.Li. The rule of trajectory structure and global asymptotic stability[J]. Math.Anal.Appl.2006，458：456-459.

[11]T.Nesemann. Positive solution difference equations： some results and applications[J]. Nonlinear Anal，2001，47：4707-4717.

[12]LI X.Qualitative properties for a fourth-order rational difference equation，[J].Math.Anal.Appl.2005，311：103-111.

[13]LI Zhi，ZHU Deming，Global asymptotic stability of a higher order nonlinear difference equation[J].Appl.Math.Lett，2006，19：926-930.

[責任編輯：湯靜]