一類廣義KdVKS方程初值問題的不適定性

王宏偉，尚蒙娟，徐國雄

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 安陽 455000)

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一類廣義KdVKS方程初值問題的不適定性

王宏偉，尚蒙娟，徐國雄

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 安陽 455000)

[摘要]研究了一類廣義KdVKS方向的初值問題. 通過構造合適的初值， 在Sobolev空間Hs(R)(s<-1)中證明了這類方程的解映射不是C3的， 得到了這類初值問題的不適定性.

[關鍵詞]初值問題;KdVKS方程;不適定性

1引言

本文研究如下一類具有立方非線性項的KdVKS方程的初值問題:

(1)

其中u=u(x，t)是未知函數(shù). 方程(1)是很多物理問題的數(shù)學模型， 如它可以描述斜面上粘性流體長波流[1]和等離子體中的漂移波[2].

如果方程(1)的解是存在唯一的， 并且解映射是光滑的， 則稱方程(1)是適定的. 如果其中至少有一個條件不成立， 就稱方程是不適定的.Biagioni[3]在非線性項是(ux)2和uxxu的條件下研究了KdVKS方程的適定性問題， 在Hs(R)(s≥1)中證明了方程的整體適定性，Pilod[4]在Hs(R)(s≥-1)證明了方程的局部適定性. 對非線性是(u3)x的適定性問題， 目前還沒有相關結果. 本文利用Molinet[6]的方法來研究方程(1)的不適定性問題. 主要結論如下：

2初步結果

方程(1)對應的線性方程是

ut+uxxx-(uxxxx-uxx)+(u3)x=0，

u(0)=φ0

(2)

它的唯一解可以用半群W(t)來表示

(3)

根據(jù)Duhamel原理， (2)的解可以表示為積分方程

(4)

引理1α，β是任意實數(shù)，t>0， 下列積分不等式成立

(5)

下面的定理在不適定性結論的證明過程中起著關鍵的作用.

(6)

(7)

(8)

下面我們?nèi)『线m的φ來證明(8)是不成立的.

取初值φ定義如下

這里Ψ+(ξ)≥0是一個支集包含在[5/6，1]中的光滑函數(shù)， 且對任意的ξ∈[21/24，23/24]，Ψ+(ξ)=1，Ψ+(ξ)=Ψ-(ξ). 注意到對任意的實數(shù)s，‖φ‖Hs～1.

下面我們來計算f(x，t)的Hs范數(shù)， 其中

對空間變量x作Fourier變換， 得到

(9)

由于對任意的

其中第一項的支集在[5N/2，3N]內(nèi)，g(t，ξ)的支集在[-3N，7N/6]內(nèi). 定義

λ1=ξ13+ξ23+(ξ-ξ1-ξ1)3，β=λ1-ξ3，

于是有下列估計

=N-3s-3/2exp(t(iξ3+ξ2-ξ4))iξ×

(10)

我們用引理1估計上式中的最后一個積分. 如果ξ1∈[5N/6，N]，ξ2∈[5N/6，N]，ξ∈[5N/2，3N]，則α>0，α～N4，|β|～N3.由引理1可以得到

令N充分大，t充分小， 有

(11)

(11)式代入(10)， 可得

≥C|ξ|N-3s-3/2N-4e-N4t

(χ[21N/24，23N/24]*χ[21N/24，23N/24]*χ[21N/24，23N/24])(ξ)

注意到

=2exp(-11iNξ/12)·sin(Nξ/24)/ξ，

于是

=23exp(-11iNξ/4)·(sin(Nξ/24)/ξ)3，

進一步， 有

(χ[21N/24，23N/24]*χ[21N/24，23N/24]*χ[21N/24，23N/24])(ξ)

=C∫Rexp(ixξ)exp(-11iNx/4)·(sin(Nx/24)/x)3dx.

對充分小的正數(shù)γ， 利用變量變換可以得到

(χ[21N/24，23N/24]*χ[21N/24，23N/24]*χ[21N/24，23N/24])(11N/4+γN)

= CN2∫Rcos(γu)(sin(u/24)/u)3du

這就證明了對充分小的正數(shù)γ存在不依賴于Ν的常數(shù)C， 使得

≥C|ξ|N-3s-3/2N-2e-N4tχ[11N/4-γN，11N/4+γN](ξ)

由此我們可以得到‖f(t)‖Hs的下界

∫11N/4+γN11N/4-γN(1+|ξ|2)s|ξ|2dξ

≥CN-3(2s+1)N-4e-2N4tN2sN3.

進一步， 有

(12)

(12)式說明s<-1當時(8)式是不成立的， 這就證明了定理2.

3主要結論的證明

最后， 我們來證明本文的主要結論.

定理1的證明對φ∈Hs(R)， 考慮Cauchy問題

(13)

其中0<ε<1是一個參數(shù). 如果u(x，t，ε)是(23)的一個解， 那么

(14)

=W(t)φ(x):=u1(x)

進一步， 有

如果從Hs(R)到C([0，T];Hs(R))的解映射是C3的， 一定有

但是上面的估計就是(8)， 在定理2的證明過程中我們已經(jīng)知道它是不成立的， 這就證明了定理1.

[參考文獻]

[1]H.A. Biagioni， J.L. Bona， R. Iorio， M. Scialom， On the Korteweg-de Vries-Kuramoto-Sivashinsky equation， Adv. Diff. Eq. 1:1-20， 1996.

[2]J. Topper， T. Kawahara， Approximate equations for long nonlinear waves on a viscous fluid， J.Phys. Soc. Japan 44:663-666， 1978.

[3]B. I. Cohen， J. A. Krommes， W. M. Tang and M. N. Rosenbluth， Nonlinear saturation of the dissipative trapped-ion mode by mode coupling， Nuclear Fusion， 16:971-992， 1976.

[4]D. Pilod， Sharp well-posedness results for the Kuramoto-Velarde equation， Comm. Pure. Appl. Anal. 7 (4): 867-881， 2008.

[5]X. Zhao， On low regularity of the Ostrovsky， Stepanyams and Tsimring equation[J]， J. Math. Anal. Appl. 378:687-699， 2011.

[6]Molinet L， Ribaud F， On the low regularity of the Korteweg-de Vries-Burgers equation[J]， Int. Math. Res. Not. 37: 1979-2005， 2002.

[7]Esfahani A， Sharp well-posedness of the Ostrovsky， Stepanyams and Tsimring equation， Math. Commun. 18: 323-335， 2013.

[8]Ostrovsky L A， Stepanyams Y A， Tsimring L S， Radiation instability in a stratified shear flow[J]， Int. J. Non-Linear Mech. 19:151-161， 1984.

[責任編輯：張懷濤]

The Ill-posedness for Initial Value Problem of Generalized KdVKS Equation

WANG Hong-wei，SHANG Meng-juan，Xu Guo-xiong

(School of Mathematics and Statistics，Anyang Normal University,Anyang 455000,China)

Abstract:This paper studies the initail value problem of KdVKS equation. By constructing proper initial data，it proves the solution map of KdVKS equation is not C3 in Sobolev space Hs(R)(s<-1). It also get the ill-posedness result of this initial data problem.

Key words:Initial data problem;KdVKS equation; Ill-posedness

[收稿日期]2015-12-06

[基金項目]國家自然科學基金(批準號: 10771166)資助項目; 河南省教育廳科學技術研究重點項目(14B110028); 安陽師范學院大學生創(chuàng)新基金項目(ASCX/2015-Z102)。

[作者簡介]王宏偉(1977-)，男，講師，博士，主要從事偏微分方程和調(diào)和分析研究。

[中圖分類號]O175

[文獻標識碼]A

[文章編號]1671-5330(2016)02-0001-03