一類四階非線性系統的李雅普諾夫函數的構造

原新生，呂金城，李　波

(安陽師范學院，河南 安陽 455000)

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一類四階非線性系統的李雅普諾夫函數的構造

原新生，呂金城，李波

(安陽師范學院，河南 安陽 455000)

[摘要]本文用能量度量算法構造了一類四階非線性系統的李雅普諾夫函數從而研究了它們零解的全局漸近穩定性．

[關鍵詞]李雅普諾夫函數；能量度量算法；非線性系統；全局漸近穩定性

1引言

S．Kasprzyk[1]在1972年曾致力于下列三個非線性的三階系統

(1.1)

(1.2)

(1.3)

f(0)=g(0)=0

(1.4)

(1.5)

g(0)=0

(1.6)

(1.7)

f(0)=0

(1.8)

Wall的能量度量算法可歸納為下面六步[9][10]：

第一步，將所描述的系統寫成一階聯立的微分方程組

(1.9)

其中x=(x1，x2，…，xn).

第二步，將微分方程組(1.9)寫成如下形式

(1.10)

第三步，將微分方程組(1.10)寫成

Fj(x)dxi=Fi(x)dxj，j>i

(1.11)

第四步，用適當的代換和加法，將微分方程組(1.11)化為

ω1(x)dx1+ω2(x)dx2+…+ωn(x)dxn=0

(1.12)

第五步，求出V(x1，x2，…，xn)

V(x1，x2，…，xn)=∫0x1ω1(x1，0，…，0)dx1+∫0x2ω2(x1，x2，0，…，0)dx2+∫0xnωn(x1，x2，…，xn)dxn

(1.13)

第六步，求出V(x1，x2，…，xn)的全導數，

(1.14)

2主要結果

考慮四階非線性系統

(2.1)

將其化為等價系統

兩兩分別相除得

(2.3)

即

ydy=zdx

(2.4)

ydz=udx

(2.5)

(dx+f(y)y+bz+au)dx=-ydu

(2.6)

zdz=udy

(2.7)

(dx+f(y)y+bz+au)dy=-zdu

(2.8)

(dx+f(y)y+bz+au)dz=-udu

(2.9)

由(2.4)×(b2-2d)+(2.5)+(2.6)×b+(2.7)×(a2-b)+(2.8)×a+(2.9)×2得

[bdx+bf(y)y+2dz+(ab-1)u]dx+[2dx+y+2f(y)y+(a2+b)z+2au]dz+[adx+(b2-2d)y+af(y)y+abz+(2a2-b)u]dy+(by+az+2u)=0

(2.10)

所以

(2.11)

(2.12)

于是，我們得到下述定理：

定理[8]如果a>0，d>0，abf(y)-f2(y)-a2d>0，則系統(2.2)的零解是全局漸近穩定的.

[參考文獻]

[1]S．Kasprzyk， Stablity in the large of certain nonlinear systems of differential equations of order three， Ann．Polon． Math．，25(1972)，241-247．

[2]P．Hartman and C．Olech， On global asymptatic stability of solutions of differential equations，Trans．Amer．Math．Soc．，104(1962)，154-178．

[3]王聯，王慕秋．一類三階非線性系統李雅普諾夫函數構造之分析[J]．應用數學學報，1983，6(3):309-325．

[4]原新生．兩個三階非線性系統李雅普諾夫函數的構造[J]．安陽師范學院學報，2000，(4):7-9．

[5]原新生．兩個三階非線性系統的全局漸近穩定性[J]．安陽師范學院學報，2002，(5):4-5．

[6]李波，原新生．一類三階非線性系統的全局漸近穩定性[J]．安陽師范學院學報，2004，(5):11-12．

[7]原新生，張懷濤．一類三階非線性系統李雅普諾夫函數的構造[J]．安陽師范學院學報，2011，(5):53-55．

[8]徐靜．一類四階非線性系統的全局穩定性[J]．安徽機電學院學報，2002，17(3):18-19．

[9]E．T．Wall， M．T．Moe， An Energy Metric Algorithm for the Generation of liapunov funtion[J]． IEEE trans． Automat Contr．(corresp)．1968，13(2)：121—122．

[10]E．T．Wall，A modification of the Energy Mertic Algorithm to Include the Routh Hurwitz Criteria[J]． IEEE trans．Automat Contr．(corresp)．1970，15(6):373-374．

[11]秦元勛，王慕秋，王聯．運動穩定性理論與應用[M]．北京：科學出版社，1981．

[12]王聯，王慕秋．非線性常微分方程定性分析[M]．哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，1987．

[13]葉伯英．李雅普諾夫函數能量度量算法的改進[J]．應用數學學報，1987，10(4):457-463．

[責任編輯：張懷濤]

On the Construction of Liapunov Function of a Type of Nonlinear Fourth-Order System

YUAN Xin-sheng，LV Jin-cheng，LI Bo

(Anyang Normal University， Anyang 455000，China)

Abstract：This paper constructs the Liapunov function of a type of nonlinear fourth-order system by the energy metric algorithm to study its globally asymptotic stability．

Key words:Liapunov function； energy metric algorithm；nonlinear system； globally asymptotic stability

[收稿日期]2016-01-05

[作者簡介]原新生(1967-)，男，河南林州人，教授，主要從事微分方程穩定性和高等數學的教學與研究.

[中圖分類號]O175.1

[文獻標識碼]A

[文章編號]1671-5330(2016)02-0004-03