半線性Timoshenko系統(tǒng)解的爆破性

張桂霞

(三門峽市教師進(jìn)修學(xué)校，河南 三門峽 472000)

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半線性Timoshenko系統(tǒng)解的爆破性

張桂霞

(三門峽市教師進(jìn)修學(xué)校，河南 三門峽 472000)

[摘要]研究了一類半線性Timoshenko系統(tǒng)初邊值問題解的爆破性.利用凸性方法分三種情況給出了具任意初始能量和適當(dāng)?shù)某跏紬l件下，Timoshenko系統(tǒng)初邊值問題解的爆破性條件.

[關(guān)鍵詞]Timoshenko系統(tǒng)；初邊值問題；凸性方法；爆破性

1引言

本文研究如下一類半線性Timoshenko系統(tǒng)初邊值問題解的爆破性

utt-uxx+k(u+vx)=(p+1)|v|q+1|u|p-1u，

00，

(1.1)

vtt-k(u+vx)x=(q+1)|u|p+1|v|q-1v，

00，

(1.2)

u(0，t)=v(0，t)=u(1，t)=v(1，t)=0，

t>0，

(1.3)

u(x，0)=u0(x)，ut(x，0)=u1(x)，

0

(1.4)

v(x，0)=v0(x)，vt(x，0)=v1(x)，

0

(1.5)

其中k>0為正常數(shù)，p，q>1 ，初始值u0，u1，v0，v1是給定的.當(dāng)方程(1.1)，(1.2)的右邊非線性項(xiàng)是零時(shí)，即

utt-uxx+k(u+vx)=0，

(1.6)

vtt-k(u+vx)x=0

(1.7)

它是著名的Timoshenko梁方程[1]，這里其中，t表示時(shí)間變量，x表示位置變量，梁的長(zhǎng)度是1，v表示梁的橫向位移，u是旋轉(zhuǎn)角.由于它的廣泛應(yīng)用，在過去的幾十年中，Timoshenko梁方程引起了人們的極大興趣.方程(1.6)，(1.7)在各種邊界條件下，其解的存在性和漸近性已有許多好的結(jié)果， 例如，Kim和Renardy[2]用乘子技巧在邊界條件

下得到了問題的能量指數(shù)衰減.Raposo等[3]則用半群方法在具有線性摩擦阻尼項(xiàng)和齊次Dirichlet邊界條件下得到了問題的能量指數(shù)衰減估計(jì).Soufyane和Wehbe[4]利用局部分布反饋給出問題的一致穩(wěn)定的充要條件.還有許多文獻(xiàn)研究了具有記憶項(xiàng)等情況，這里不再一一列舉.下面我們僅提一下對(duì)半線性Timoshenko系統(tǒng)的研究情況.Parente等[5]研究了如下問題

utt-uxx+k(u+vx)+f(u)=0，

(1.8)

vtt-k(u+vx)x+g(v)=0

(1.9)

vtt-k(u+vx)x=g(v)，

解的衰減估計(jì)和吸收集的估計(jì)，其中外力項(xiàng)f(u)，g(v)滿足局部Lipschitz連續(xù).Messaoudi和Soufyane[9，10]在高維情形邊界記憶項(xiàng)非線性Timoshenko系統(tǒng)的一般衰減估計(jì)

然而，據(jù)作者所知，很少有人研究帶有源項(xiàng)的Timoshenko系統(tǒng).最近，Pei等人[11， 12]利用位勢(shì)井理論研究了ReissnerMindlin-Timoshenko板系統(tǒng)解的整體適定性和長(zhǎng)時(shí)間行為，他們主要聚焦于非線性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的相互作用問題.

本文將研究帶有源項(xiàng)的Timoshenko系統(tǒng)整體解的不存在性.雖然我們用的是經(jīng)典的凸性方法[13]，但本文也遇到了出現(xiàn)范數(shù)‖u+vx‖如何處理的困難，為此，我們給出了一個(gè)等價(jià)不等式.另外，我們避免引入位勢(shì)井而證明了對(duì)任意初始能量解的爆破問題.我們分初始能量小于、等于和大于三種情況對(duì)初始值要求不同的條件證明爆破結(jié)果.特別是，對(duì)初始能量大于零的情況，我們的方法不同于已有文獻(xiàn)[14，15].

第二節(jié)中將會(huì)給出一些概念和準(zhǔn)備，第三節(jié)中將給出解爆破的證明.

2準(zhǔn)備知識(shí)

‖u‖s≤C*‖ux‖.

(2.1)

E(t)=E(0)，

(2.2)

其中

(2.3)

(2.4)

再引入如下泛函

(2.5)

為以后處理‖u+vx‖的需要，我們給出如下引理.

α1(‖ux‖2+k‖u+vx‖2)≤‖ux‖2+‖vx‖2≤α2(‖ux‖2+k‖u+vx‖2).

(2.6)

證明注意到

|vx|2=|u+vx-u|2≤2(|u+vx|2+|u|2)，

利用(2.1)得

‖ux‖2+‖vx‖2

≤‖ux‖2+2‖u+vx‖2+2‖u‖2

≤(1+2C*)‖ux‖2+2‖u+vx‖2

‖ux‖2+k‖u+vx‖2

≤‖ux‖2+2k‖vx‖2+2k‖u‖2

≤(1+2kC*)‖ux‖2+2k‖vx‖2

≤α1-1(‖ux‖2+‖vx‖2)

其中α1-1=max{1+2kC*，2k}，從而得結(jié)論.

3解的爆破

下面分E(0)<0、E(0)=0和E(0)>0三種情況討論解的爆破條件.對(duì)E(0)≤0我們用經(jīng)典的凸性方法[13]，而對(duì)E(0)>0，我們的方法不同于已有文獻(xiàn)[13，14，15].

(u0，u1)+(v0，v1)>0，

證明首先討論E(0)<0的情況，構(gòu)造輔助函數(shù)

φ(t)=‖u‖2+‖v‖2+b(t+T2)2，

(3.1)

其中b和T2是待定的正常數(shù).易得

φ′(t)=2(u，ut)+2(v，vt)+2b(t+T2)，

(3.2)

φ″(t)=2‖ut‖2+2‖vt‖2+2(u，utt)+2(v，vtt)+2b

=2‖ut‖2+2‖vt‖2-2I(u，v)+2b.

(3.3)

再利用E(t)的表示式知

φ″(t)=(p+q+4)(‖ut‖2+‖vt‖2)+(p+q)(‖ux‖2+k‖u+vx‖2)-2(p+q+2)E(t)+2b.

因?yàn)镋(0)<0，取常數(shù)b滿足0

-2(p+q+2)E(t)+2b>(p+q+4)b，

這意味著

φ″(t)≥(p+q+4)(‖ut‖2+‖vt‖2+b).

顯然，有

φ″(t)≥0，t∈[0，T1).

(3.4)

進(jìn)一步，可取充分大的T2和適當(dāng)?shù)腷使

φ′(0)=2(u0，u1)+2(v0，v1)+2bT2>0，

于是對(duì)每一t∈[0，T1)有φ(t)>0和φ′(t)>0，從而t∈[0，T1)有φ(t)和φ′(t)在t∈[0，T1)上嚴(yán)格增.由Cauchy-Schwartz不等式，易得

(3.6)

于是對(duì)每一t∈[0，T1)

(3.7)

下面討論的E(0)=0且(u0，u1)+(v0，v1)>0情況.這時(shí)，定義

G(t)=‖u‖2+‖v‖2

直接計(jì)算知

G′(t)=2(u，ut)+2(v，vt)，

(3.8)

G″(t)=2‖ut‖2+2‖vt‖2-2I(u，v).

(3.9)

易知，

由(3.9)則

G″(t)>0，

(3.10)

注意到G′(0)=2(u0，u1)+2(v0，v1)>0則有

G′(t)>0，

(3.11)

于是由(3.10)，(3.11)知，G(t)和G′(t)在t∈[0，T1)上嚴(yán)格增.進(jìn)一步，

G″(t)=(p+q+4)(‖ut‖2+‖vt‖2)+(p+q)(‖ux‖2+k‖u+vx‖2)-2(p+q+2)E(0)

注意到E(0)=0知

G″(t)≥(p+q+4)(‖ut‖2+‖vt‖2)，

因G(t)>0，由Cauchy-Schwartz不等式，易得

余下類似E(0)<0的情況得結(jié)論.

E(0)>0，

(3.12)

I(u0，v0)<0，

(3.13)

(u0，u1)+(v0，v1)>0，

(3.14)

(3.15)

證明分兩步證明.首先證明對(duì)t∈[0，T1)

I(u(t)，v(t))<0，

(3.16)

(3.17)

用反證法證明(3.16). 假設(shè)(3.16)對(duì)某一t∈[0，T1)不成立，即存在T>0使得

T=min{t∈[0，T1)，I(u(t)，v(t))≥0}，

(3.18)

則由I(u(t)，v(t))關(guān)于t的連續(xù)性，

I(u(T)，v(T))=0.

(3.19)

令G(t)=‖u‖2+‖v‖2有

G′(t)=2(u，ut)+2(v，vt)，

(3.20)

G″(t)=2‖ut‖2+2‖vt‖2-2I(u，v).

(3.21)

注意到由(3.18)的定義知對(duì)每一t∈[0，T)

I(t)=I(u(t)，v(t))<0，

(3.22)

可知在t∈[0，T)上有G″(t)>0.再由(3.13)知，對(duì)t∈[0，T)上有G′(t)>0.從而有在t∈[0，T)上在G(t)和G′(t)嚴(yán)格增.再由(3.15) 對(duì)t∈[0，T)則

‖u‖2+‖v‖2

(3.23)

因u(t)，v(t)關(guān)于t連續(xù)，從(3.18)得

(3.24)

另一方面，由(2.2)和E(t)的定義

<2E(0)，

(3.25)

由(3.19)知

此式結(jié)合(3.25)得

‖ux(T)‖2+k‖(u+vx)(T)‖2

(3.26)

由(3.26)結(jié)合(2.2)知

G(T)=‖u(T)‖2+‖v(T)‖2

≤C*(‖ux(T)‖2+‖vx(T)‖2)

≤C*α2(‖ux(T)‖2+k‖(u+vx)(T)‖2)

(3.27)

顯然，(3.24)和(3.27)矛盾，于是得結(jié)論(3.16).由上述討論可見，若I(u(t)，v(t))<0和(3.14)成立，G(t)在t∈[0，T)上嚴(yán)格增，由(3.16)易知(3.17)成立.

最后證明爆破性.簡(jiǎn)單的計(jì)算知

(3.28)

由(3.28)及Cauchy-Schwartz不等式得

余下類似E(0)<0的情況得結(jié)論.

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[責(zé)任編輯：張懷濤]

Blow up for a semilinear Timoshenko system

ZHANG Gui-xia

(Sanmenxia Teachers Training School， Sanmenxia 472000，China)

Abstract:This paper discusses the initial boundary value problem of the semilinear Timoshenko system. By the convexity method，based on three cases，some blow-up results for the solution to the Timoshenko system is obtained under arbitrary initial energy and appropriate initial datum.

Key words:Timoshenko system; convexity method; initial boundary value problem; blowup

[收稿日期]2015-12-05

[基金項(xiàng)目]河南省基礎(chǔ)與前沿研究項(xiàng)目(1323004100360)

[作者簡(jiǎn)介]張桂霞(1963-)， 女，高級(jí)講師，主要從事微分方程方向的研究。

[中圖分類號(hào)]O172.27

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1671-5330(2016)02-0007-05