10是孤獨數的初等數學方法探討

劉　念

(南陽師范學院 數學與統計學院，河南 南陽 473000)

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10是孤獨數的初等數學方法探討

劉念

(南陽師范學院 數學與統計學院，河南 南陽 473000)

[摘要]在數論中，許多正整數已被證明是孤獨數或者是友誼數，但還有許多正整數并未證明其是否是孤獨數，例如10，14，15，20等等，文章通過數學初等方法對正整數的分類討論，篩除，反證來探討10是一個孤獨數的條件。

[關鍵詞]素數；孤獨數；因子函數；整數分解；分類討論

數學中有太多的問題和觀點值得我們去探討和研究，有些問題是極具挑戰性的，例如哥德巴赫猜想，費馬定理等等，這些問題有的用了幾個世紀的時間才把它徹底解出來，而有的至今仍是未解之謎。本文所探討的孤獨數也是諸多數學問題中的一個，下面通過初等數學方法證明數字10是一個孤獨數。

1基本概念與定理

1.1定義

1.2算術基本定理

1.3約數和定理

2初等數學方法證明10是孤獨數

3分類討論

2.當n∈M1且n不能被3整除時，此時則有

K值2K+2的值14384106147169201022…………

(2)當3k-1(k取正整數)為奇數時，k取大于0的偶數，而當k=2時，可以知道n=50，不符合②式；而當k取大于2的偶數時，則有3k-1是奇合數或者素數。若3k-1為素數時，此時n=2×5×(3k-1)，根據①式得：

(3)當3k+1為偶數時，此時與情況(1)相同，這里不在重復敘述。

(4)當3k+1(k取正整數)為奇數時，此時k取大于0的偶數。而此時3k+1又可分為奇合數或者素數。若3k+1為素數時，n=2×5×(3k+1)，根據②式可得：

由①式化簡得：

2.當n∈Q1且不能被3整除時，此時則有

K值2K+1的值25375116138179191123122514291531…………

所以根據2K+1的值將其分為兩類：一類是以5為首項，6為公差的等差數列，即5+6(k-1)=6k-1，第二類是以7為首項，6為公差的等差數列，即7+6(k-1)=6k+1。又因為n能是5的倍數，令Q3={n|n=5×(6k-1)，k∈N+}，Q4={n|n=5×(6k+1)，k∈N+}。

(1)?n∈Q3時，由于n能被5整除，而不能被3整除，所以6k-1一定為奇數。若6k-1為奇素數時：當k=1時，不符合③式；當k≥2時，此時n=5×(6k-1)，由①式可得，

(2)?n∈Q4時，6k+1一定為奇數，此時n=5×(6k-1)。若6k+1為奇素數時：由①式可得，

那么若6k+1為奇合數時，如果存在一個k值使得③式成水，則說明10不是孤獨數；如果找不到這樣的k值，則說明對任意的n∈Q4都不會使③式成立。

至此，我們也將5的正奇數倍全部分類討論，我們5的正奇數倍的分類示意圖為：

下面我們將整個文章對正整數分類討論的過程做一個大致示意圖，如下：

4結論

在對正整數集進行了分類討論，篩除之后我們可以得出一個結論，即在正整數集中，判斷10是否是一個孤獨數，那么這樣的n值只需在集合Q3和Q4中尋找。若在Q3和Q4都不存在這樣的n值滿足③式，則說明10是個孤獨數；反之若在Q3或Q4中找到這樣的n值使得n滿足③式，則說明10不是一個孤獨數。

[參考文獻]

[1]閔嗣鶴，嚴士健.初等數論[M].第三版.北京：高等教育出版社，2005. 14-17.

[2]陳景潤.初等數論(Ⅰ)[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2012. 24-32.

[3]杜德利. 基礎數論[M].哈爾濱工業大學出版社，2011. 41-44.

[責任編輯：弓心水]

[收稿日期]2015-09-05

[作者簡介]劉念，男，主要從事初等數論方面的研究。

[中圖分類號]O15

[文獻標識碼]A

[文章編號]1671-5330(2016)02-0022-05