一級倒立擺模糊控制、LQR控制和PID控制的比較研究

翟彥彥

（河海大學商學院，江蘇南京211100）

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一級倒立擺模糊控制、LQR控制和PID控制的比較研究

翟彥彥

（河海大學商學院，江蘇南京211100）

摘要：基于控制倒立擺平衡性的目的，通過系統分析倒立擺的各個組成部分，進行數學建模并設計了模糊控制器、LQR控制器和PID控制器。最后通過MATLAB對一級倒立擺的三種模型進行仿真分析，結果顯示三種控制器均可很好地控制一級倒立擺，但LQR控制效果最好，仿真角度曲線由小增大并從4開始平穩維持在0.1處，倒立擺仿真位置曲線也在較短的時間內平穩維持在0處，即具有相對較短的調解時間，較小的超調量和較好的動靜態性能。

關鍵詞：一級倒立擺；模糊控制；MATLAB；仿真

倒立擺是典型的重上支下的系統，具有多個特點，包括不穩定性、快速多變性、耦合性等，其系統成本低廉、結構簡單、便于進行實驗室操作。而且倒立擺具有多種功能，能對控制系統進行檢驗、對機器人的行走和火箭發射等進行控制，而且還能影響衛星的飛行姿勢。因此，倒立擺的研究在理論突破和實踐應用等方面具有重要意義。

起擺控制和穩定控制是學術界對倒立擺研究的兩大內容。所謂起擺控制就是倒立擺從初始位置進行運動達到指定工作位置的控制，能量反饋法能夠很好地實現倒立擺的起擺控制［1］。而穩定控制是對倒立擺工作平衡點的控制，其控制規律眾多，較有名的是應用于倒立擺系統平衡穩定控制的二次最優控制及基于方法創新的智能控制［2-3］。

但是大部分關于倒立擺的文獻都限定在一種控制器的研究上［4］，各個控制器之間的優缺點不能有效地體現出來。因此，如何用統一的方法標準對個控制器進行評估將是未來研究的重點。本文將通過MATLAB對3種控制器模糊控制器、線性二次型調節器（LQR控制器）和比例-積分-微分控制器（PID控制器）進行建模評估，進而比較和分析各控制器優缺點，為以后進行倒立擺平衡控制提供理論依據。

1　倒立擺系統的數學建模

倒立擺系統的硬件系統由倒立擺本身、包含運動控制卡的計算機和電控箱3大部件組成。倒立擺本身包括被控的對象、角度傳感器和執行機構，其中被控的對象包括小車和擺桿，執行機構包括伺服電機和傳動裝置。各部件組成了一個循環系統［5］，如圖1所示。

圖1　倒立擺硬件系統

一級倒立擺系統是一個不穩定的系統，需要對其進行機理建模。在研究過程中，應忽略空氣摩擦等，而后可將倒立擺系統進行抽象化，認為其由小車和勻質剛性桿兩部分組成，并對這兩部分進行如圖2所示的受力分析。

圖2　小車與擺桿受力分析

其中，M和m分別為小車的質量和擺桿的質量；b、F和x分別為小車的摩擦系數、施加在小車上的作用力和小車的位置；I和l分別為擺桿的慣量和擺桿轉動軸心到質心的長度；Ф和θ分別為擺桿與豎直向上方向和豎直向下方向的夾角；N和P分別為擺桿作用力的水平與豎直分量。2

可得到擺桿在豎直方向的運動方程：將作用力F用u代替，同時進行線性化，即得到：

其中θ=π+φ。

設系統的狀態方程為：

然后對擺桿和小車進行參數賦值，參數見表1。將參數帶入狀態方程，得到：

表1　擺桿和小車的參數賦值設置

運用MATLAB對系統進行能控性判定，步驟如下：

＞＞A=［0，1，0，0；40，0，0，0；0，0，0，1；-6，0，0，0］；

＞＞B=［0；-2；0；0.8］；

＞＞C=［1，0，0，0；0，0，1，0］；

＞＞n=sjze（A）

n = 4

＞＞tc=ctrb（A，B）；

＞＞nc=rank（tc）

nc = 4

由運行結果可知，4階方程的能控性矩陣的秩也為4，因此系統是能控的。

然后，運用MATLAB對系統進行能觀性判定，步驟如下：

＞＞To=obsv（A，C）；

＞＞no=rank（To）

no = 4

由運行結果可知，4階方程的能觀性矩陣的秩也為4，因此系統也是能觀的。

2　模糊控制

模糊控制（FC）即模糊邏輯控制，它是一種較為先進的計算機控制技術，具有3大基礎：模糊語言變量、模糊集合論和模糊邏輯推理［6］。模糊控制分為3步：第一，確定需要的模糊控制語言值；第二，按照一定比例變換確定的值使其與模糊變量集合中的值相對應，同時依據相應的規則進行模糊運算；第三，模糊數值精準化，便于實際控制［7］。MATLAB仿真所用的模糊控制器的主要設計過程如下：

1）確定模糊控制器結構：選取標準的二維控制結構，根據系統的具體要求按照輸入—輸出的原則，確定輸入量、輸出量模糊集及論域定義。其中e、ec和u分別為輸入誤差、誤差變化和輸出，E、EC和U為相應的模糊量，（NL，NS，Z，PS，PL）為定義角度與位移E、EC的模糊集，如圖3中的（a）與（b）所示。

2）模糊推理決策算法設計：模糊輸出量的決策需要依據一定的模糊控制規律，然后進行模糊推理。角度的控制規律和位移的控制規律分別如表2和表3所示。

根據適應模糊控制器結構框圖，在sjmu1jnk環境下搭建系統仿真結構圖（圖4），并得到最終仿真結果曲線圖5。

3　LQR控制

圖3　模糊控制器結構

表1　角度的控制規律

表1　位移控制規律

圖4　模糊控制器在sjmu1jnk環境下的系統仿真結構圖

圖5　模糊控制器的仿真結果

線性二次型指系統的狀態空間方程是線性或是近似線性化，其指標函數是控制變量和狀態變量的二次型［8］。LQR控制器就是借鑒線性二次最優控制原理的先進理念開發設計而成。控制變量和狀態變量的二次型任務是為了是機體在不消耗過多能量的情況下，對系統中各個變量進行平衡控制，不管系統狀態是否偏離了平衡狀態。基于最優控制LQR控制的倒立擺控制器結構圖如圖6所示。

圖6　基于最優控制LQR控制的倒立擺控制器結構圖

線性二次最優控制LQR基本原理如下，首先根據系統方程：得到最佳的控制向量矩陣K：使性能指標達到最小值：

其中，Q和R分別為正定（或正半定）厄米特或實對稱陣，能量損耗和誤差的相對重要性由矩陣R和Q確定。

最優狀態反饋：u（t）=-R-1BTPx（t）=-Kx（t），K=R-1BTP，其中K為最優反饋矩陣，P為方程PA+ATP+Q-PBR-1BTP=0的解。

然后考慮到期望性能對指標選取的要求，選取Q和R為計算指標，并利用MATLAB命令1qr運算得出K值。

K=1qr（A，B，Q，R），其中A、B、Q、R為上面所定義的矩陣。

而且為了確保輸入量和狀態輪的權重達到平衡，選擇R 和Q兩個參數，其值如下。

通過MATLAB求得：K =［-83.8102 -22.8622 -4.4721 -8.1898］。

仿真的sjmu1jnk模型、LQR控制的小車的位置和角度仿真結果分別如圖7和圖8所示。

4　PID控制

比例-微分-積分控制器簡稱為PID控制器，該控制器操作原理簡單，因此使用起來比較方便，而且適應性很強，在生產制造過程的各個環節得到廣泛應用。由于PID控制具有對被控對象變化反應不敏感的特性，因此，能夠優先應用于自動控制系統。

圖7　LQR控制器sjmu1jnk仿真系統原理圖

圖8　倒立擺LQR仿真結果

控制器中的微分控制作用，不但能夠降低響應過程中的動態偏差，而且能夠減小調節時間；積分作用能夠消除穩態誤差，但增大了響應曲線的動態偏差以及調節時間，因此需要選用PID控制。PID控制，對于系統上不需要進行精確的分析，所以在系統進行控制器參數的設置上可以選擇實驗的方法。

PID控制倒立擺的位置和倒立擺的角度在sjmu1jnk環境下所搭的系統結構如圖9所示，仿真結果如圖10所示。其中角度PID中Kp1=-100，Kj1=-50，Kd1=-2.5；位移PID中Kp2=-4.5，Kj2=-1，Kd2=-0.1。通過MATLAB仿真，PID控制倒立擺擺角和小車位移仿真結果如圖10所示。

5　仿真結果比較

圖9　PID控制倒立擺sjmu1jnk仿真系統原理圖

MATLAB仿真模擬顯示LQR控制效果最好，仿真角度曲線由小增大并從4開始平穩維持在0.1處，倒立擺仿真位置曲線也在較短的時間內平穩維持在0處，即具有相對較短的調解時間、較小的超調量和較好的動靜態性能。PID在20的位置才達到平衡，調節時間較長，超調量較大，而且波動較嚴重。模糊控制方法也取得了較好的效果，在4的位置達到平橫，得到的系統動態響應曲線較好，響應時間短、動靜態性能好，但其開始的波動比LQR稍大，而且模糊控制的這些優點是基于參數整定的比較好，如果沒整定理想，該優點較難實現。

6　結論

文中運用PID、LQR及模糊控制3種方法對倒立擺系統進行仿真模擬，模擬結果表明3種控制方法都能取得較滿意的效果。但LQR控制方法模擬效果最好，具有較短的調節時間、較大的超調量，能夠很好地控制倒立擺擺桿的倒立角度和小車位置，為以后進行倒立擺平衡控制提供很好地參考借鑒。

圖10　倒立擺PID仿真結果

參考文獻：

［1］張欣.單級旋轉倒立擺的二次型最優控制研究［J］.電腦開發與應用，2011，24（12）：28-29.

［2］羅林，李奇安，李悅.自適應變論域模糊系統在倒立擺姿態控制中的應用研究［J］.黑龍江科技信息，2010（21）：43-44.

［3］韋皓，梁明輝，尹江紅.基于模糊RBF神經網絡的自適應PID勵磁控制［J］.企業科技與發展，2014（4）：26-29.

［4］鄭舒人，張曉華.基于動態模糊控制的一級倒立擺［J］.科教導刊-電子版（下旬），2014（3）：142-142.

［5］楊世勇，王培進，徐莉蘋.基于最優控制的倒立擺系統［J］.煙臺大學學報：自然科學與工程版，2007，20（2）：120-122.

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［7］王哲.基于倒立擺系統的模糊控制研究［D］.哈爾濱：哈爾濱理工大學，2012.

［8］黃丹，周少武，吳新開等.基于LQR最優調節器的倒立擺控制系統［J］.微計算機信息：測控儀表自動化，2004（2）：37-38.

A comParatlve study on the fuzzy control，LQR control and PID control of lnverted Pendulum

ZHAI Yan-yan
（Hohai University Business School，Nanjing 211100，China）

Abstract:The system was ana1yzed and mathematjca1 mode1s were used contro1 the ba1ance of the jnverted pendu1um. The fuzzy contro11er，LQR contro11er and PID contro11er were desjgned based on the mathematjca1 mode1. MATLAB was used for the sjmu1atjon study of the jnverted pendu1um. The sjmu1atjon resu1ts of the three contro1 methods jndjcated the jnverted pendu1um can be we11 contro11ed by the fuzzy contro11er，LQR contro11er and PID contro11er，however LQR？had the best effect. Its sjmu1atjon ang1e curve jncreased from a sma11 and began to remajn at 0.1 smooth1y from 4. Sjmu1atjon posjtjon curve of jnverted pendu1um a1so majntajned at 0 wjthjn a short tjme，whjch has a shorter adjustment tjme，？a sma11er overshoot and better dynamjc performance.

Key words:jnverted pendu1um；fuzzy contro1；MATLAB；sjmu1atjon

中圖分類號：TN606

文獻標識碼：A

文章編號：1674-6236（2016）07-0116-04

收稿日期：2015-05-08稿件編號：201505073

作者簡介：翟彥彥（1989—），女，山東濟寧人，碩士研究生。研究方向：人力資源管理。