高考數學中三角函數、立體幾何以及數列問題分析

沈慧

為了更加有效地幫助學生提高高考成績，促進學生對三角函數、立體幾何、數列問題的學習效果，有必要針對高考數學中三角函數、立體幾何以及數列問題進行深入分析。

一、解答高考中三角函數問題的策略

高中三角函數知識中的難點較多，很多學生都難以理解深刻，因此學生對三角函數知識的掌握效果普遍不佳，而三角函數又是高考中主要考查的知識點之一，教師必須幫助學生攻克難關。我認為，教師應該著重引導學生分散難點和轉化難點，當學生遇到陌生而復雜的三角函數式子時，首先要認真審題，弄清本道題考查的知識點是什么，之后要利用三角函數的性質，并充分運用倍角公式、降冪公式、化二為一公式來把該式將式子變形，分散和轉移難點，再利用所學知識進行解答。

例如，在求函數y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值時，假如學生對此式子感到陌生，此時教師就可以引導學生來分散和轉移難點，該題可以利用倍角公式降冪，再利用配方變為復合函數，通過教師一步步的引導，最終學生可以將y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x轉化為y=（1-sin2x）2+6，這樣一來此題就容易解答了，因為函數z=（u-1）2+6在[-1，1]中的最大值為Zmax=（-1-1）2+6=10，最小值為Zmin=（1-1）2+6=6，因此該題最終答案即是“當sin2x=-1時y取得最大值10，當sin2x=1時y取得最小值6”。

二、解答高考中立體幾何問題的策略

很多高考學生在解答立體幾何問題時出現錯誤，都是因為對知識掌握不牢固，或者是因為學生頭腦中缺乏空間感和立體感，也有個別學生由于書寫不規范導致沒能取得理想的成績。教師應該帶領學生進行易錯題練習，教師在平時的日常教學過程中，一定要善于總結，歸納出學生容易產生錯誤的題型，進而針對性地進行訓練，并且在訓練過程中要帶領學生進行總結，分析每道題中容易出現錯誤的環節，讓學生引以為鑒。

例如，在下面這個圖形中：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長等于b，斜三棱柱的底面為正三角形，正三角形的邊長等于a，AB和AC是底面兩條鄰邊，AB、AC與側棱AA1都成45°角，求斜三棱柱的側面積。

在解答這道題時，一些學生沒有給出任何證明而直接計算結果，也有一部分學生在作直截面時出現了錯誤，過BC作平面AA1垂直于M，還有一些學生由∠A1AB=∠A1AC？圯AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線，沒有給出結論，這些都是學生比較容易出現的錯誤，針對這些問題，教師應該先引導學生找到正確答案，引導學生過點B作BM⊥AA1于M，之后再啟發學生連結CM，最后一步步指引學生找出正確的解題思路：在△ABM和△ACM中，AB=AC，同時∠MAB=∠MAC=45°，并且MA為公用邊，所以可以證明△ABM≌△ACM，進而又可以證明∠AMC=∠AMB=90°，因此AA1⊥面BHC，根據上述步驟就可以證明平面BMC為直截面，在此基礎上通過BM=CM=ABsin45°=a，又可以證明△BMC的周長等于2×a+a=（1+）a，已知條件中給出了棱長等于b，所以最終S側=（1+）ab。

高中學生在解答立體幾何問題時，常常由于缺乏立體感和空間感而出現錯誤，因此教師還應該加強學生的立體感和空間感。

例如以下這道題：一個密封的正方體盒子中有一個小球，正方體盒子的棱長為6 cm，小球的半徑為1 cm，無論怎樣搖動這個正方體盒子，盒子中都有一部分空間是小球不能到達的，求小球在盒子中不能到達的空間的體積。

這道題的題目只有文字敘述，沒有圖形，因此需要學生在大腦中形成立體圖形，個別學生在解答過程中，誤以為小球就是正方體的內切球，直接用正方體的體積減去內切球的體積，這樣就出現了錯誤，而出現錯誤的一個主要原因就是學生想象力不足，缺乏立體感和空間感，教師應該多通過類似的練習題來提升學生的立體感和空間感。

另外，書寫是否規范也對學生的成績有一定影響，因此教師還要幫助學生鍛煉書寫能力，使學生能夠熟練做好“作”“證”“算”各個步驟，幫助學生正確地表述，糾正他們的邏輯錯誤，使他們可以將自己想表達的內容完整、有序地表達出來。

三、解答高考數列問題的策略

在解答數列問題時，教師應該幫助學生明確以下幾條思路：

（1）在處理數列的計算問題時，應充分、靈活地利用等比以及等差數列的通項公式、前n項和的公式，同時要妥善利用數列的性質；

（2）在處理等比以及等差數列的證明問題時，要充分運用定義；

（3）在遇到數列方面的難題時，應進行轉化，將數列問題轉化為數學問題，這樣就可以通過數學知識來解答問題；

（4）想要順利地處理數列問題，就要熟練掌握一些數學思想，包括分類討論思想、函數方程思想、整體解決問題思想等等，因此教師要幫助學生強化數學思想。

此外，教師應該帶領學生在平時的學習過程中多積累知識，首先應該讓學生勤看課本，課本中的范例難度適中，有助于幫助學生加深對立體幾何知識的印象。當學生熟練掌握課本內容之后，再帶領學生進行習題訓練，教師一定要注意，開展習題練習不能盲目采取題海戰術，習題練習不僅需要“量”，更需要“質”，一定要明確學生的學習難點，有針對性地進行訓練。

在高中數學知識中，三角函數、立體幾何、數列問題是三個重要的知識點，在多年的高考試題中，都要涉及這三個知識點，本文分別探討了解答這三種問題的策略，希望對教學工作有所借鑒。

編輯 薄躍華