淺談圖形法在數學解題中的作用

趙友成

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）09-0097-01

本文要討論的圖形法解題思想，不但能在解題時化難為易，迅速得出結論，還能發揮想象力、創造力。下面就圖形法解題思想在中學教學不同分支的應用來進行探討。

一、圖形法在解函數與不等式的綜合問題中的應用

在研究某類函數時，一般從其定義域、對應法則、值域及圖像一一展開，通過圖像的直觀性來研究函數的單調性、奇偶性等。

例1.已知函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]時，f（x）=x2，g（x）=log5x，則方程f（x）=g（x）的解的個數為_____。

分析：函數y=f（x）是以2為周期的周期函數，且x∈[-1，1]時，f（x）=x2，在同一坐標系內作出y=f（x）與g（x）=log5x圖像，由圖（1）易知有4個交點。

二、圖形法在不等式中的應用

例2.P：已知c>0，設函數y=cx在R上單調遞減；Q：不等式x+|x-2c|>1的解集為R，如果P和Q有且只有一個正確，求c的取值范圍？

分析：本題難點的核心是原不等式的解集為R。如果用代數方法求解需要大量運算，注意到不等式x+|x-2c|>1的解集為R等價于|x-2x|>-x+1在R上恒成立，畫出y=|x-2c|和y=-x+1的圖像（圖3），從而易得，再綜合P，即得c的取值范圍是（0，]∪ [1，+∞）。

注：可見出題者想考查的是圖形法解題的思想方法，可總結出對于不便化為代數不等式的超越不等式，一般可用圖形法解題。

三、圖形法解直線和圓的方程問題

例3.若直線l：y=kx-與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限，則直線傾斜角的范圍是______。

分析：本題可求兩直線交點，再求k的取值范圍，但運算量較大，可以利用圖形法的直觀性求解。如圖5知A（3，0），B（0，2），直線過點C （0，-），直線斜率kAC=，要使直線l與直線2x+3y-6=0的交點在第一象限，必須k>，故直線l傾斜角取值范圍為（，）。

四、圖形法解圓錐曲線

例4.若5x+12y=60，則的最小值______。

分析：如圖4本題可用代數法求解，代入配方求最小值，這是求最值的常規方法。又可利用圖形法解決，5x+12y=60的幾何表示為一條直線，表示直線上的點到圓點的距離，本題可轉化為求原點到直線5x+12y=60距離的最小值，即原點到直線的距離：

圖形法思想在集合與簡易邏輯，三角函數中都有很好的應用，這里不一一列出了。

圖形法思想其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖行結合起來，使抽象思維與形象思維相結合，通過對圖形的認識，將數與形相互轉化，可以培養思維的靈活性、形象性，使問題化難為易、化抽象為具體。針對高考，本文作者研究了有關圖形法解題的范例，發現圖形法思想的考查一般出現在填空題中，因為其不要寫出解答過程，但在利用圖形法解題時，必須注意論證的嚴密性。通常在以下幾類數學分支中一般可利用圖形法的解題思想：

與函數有關的問題，應優先考慮利用函數的圖像和性質解題；

與解析幾何有關的問題，應優先考慮能否用圖形的直觀性解決；

與方程、不等式有關的問題，應考慮聯系函數的有關知識，利用函數圖像來解決；

與復數有關的問題，應考慮能否利用復數的幾何意義來解決。

圖形法解題思想只是諸多數學思想方法中的一種，數學思維是數學的靈魂，所謂數學思維就是“經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構的思維過程”希望通過本文關于圖形法思想解題的探究，能給讀者在研究、學習中提供一點啟發和參考。