行“模”道 悟“?！毙?/h1>
2016-06-21 02:21:24王素旦
江西教育B 2016年5期
王素旦
數(shù)學的生命力在于它能有效地解決現(xiàn)實世界向我們提出的各種問題，而數(shù)學模型正是聯(lián)系數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁。引導學生建構數(shù)學模型的過程，就是數(shù)學化的過程，也是思維訓練的過程，這將有助于提高他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學、“創(chuàng)造”數(shù)學、運用數(shù)學的能力和數(shù)學素養(yǎng)。
“模型思想”作為十大核心概念之一的重要地位，以及基于建模教學的現(xiàn)實價值，建模教學成為研究的熱點問題。建模教學不僅僅是教學的新授環(huán)節(jié)，還應該有整體的視野、兒童的視角、系統(tǒng)的視域，讓學生模型建立的過程行之有“道”。
一般而言建立數(shù)學模型的新授課包含兩類，即全新型新授課和延伸型新授課兩類。所謂全新型新授課是指在學生數(shù)學認知結構中，首次學習的全新知識。如“9加幾”中的“湊十法”、乘法的初步認識、商的性質（變與不變）、長方形面積計算公式、單式統(tǒng)計表（圖）等。學生學習這類知識，往往是以自己的生活經(jīng)驗（也需要學習經(jīng)驗）為基礎，通過觀察、實驗、比較、推理和交流，構建新的數(shù)學模型。所謂延伸型的新授課是指在學生數(shù)學認知結構中，新知識和已有相關知識聯(lián)系緊密。如“8加幾”中的“湊十法、分數(shù)基本性質、正方形和平行四邊形面積計算公式、復式統(tǒng)計表（圖）等。學生學習這類知識，往往是以已有相關知識（也需要生活經(jīng)驗和學習經(jīng)驗）為基礎，通過猜想、驗證、推理和交流，實現(xiàn)知識的“同化”或“順應”，構建新的數(shù)學模型。
結合新課程提出的新授課的教學模式和對于教材解讀，筆者認為對于教學全新型新授課教學往往需要經(jīng)歷四個環(huán)節(jié)：“一導?！薄岸！?“三用?！?“四化?！?/p>
所謂“導?！保侵笍慕滩膭?chuàng)設的情境問題中導出數(shù)學問題，從多個數(shù)學問題中選擇本課的學習主題，并及時將數(shù)學問題轉化為數(shù)學算式。學生往往通過觀察與分析教材上的圖和式，并與已有知識進行對比、質疑，才能“導”出數(shù)學問題和學習主題。所謂“建模”是指剖析問題抽象與概括及建模，在多數(shù)情況下，學生通過對數(shù)學算式（圖形）的分析與綜合、比較與分類，找出具有共性的特征（即本質特征），運用歸納推理（或不完全歸納推理），構建數(shù)學模型。所謂“用模”，是指運用剛剛構建的數(shù)學模型，以演繹推理的思維方式去解釋并解決問題，并從中驗證和完善數(shù)學模型。所謂“化?！保侵讣由罨蜓由炫c主題有關的知識，學生是運用類比推理完成學習任務的。這要根據(jù)學情而靈活安排，不必每節(jié)新授課都要“化?！?。
小學生有限的生活經(jīng)驗、學習經(jīng)驗和數(shù)學認知結構決定他們在數(shù)學建模的過程中，往往要經(jīng)歷“由模糊到清晰”“由繁瑣到簡約”“由粗放到精確”“由具體到抽象”的認知過程，不可能一蹴而就，這需要教師給他們有較多的思考時空和耐心的引導、等待，以使他們的“個性化建?！表樌剡^渡到“規(guī)范化建?！?。
結合《9加幾》一課闡述 “一導?！薄岸！?“三用?！?“四化模” 的四個教學環(huán)節(jié)。
（一）導模——從情境問題中導出學習主題
在導模環(huán)節(jié)，從問題情境中提煉學習主題可分為兩種情形，一種單一型問題情境圖（如《9加幾》蘇教版教材）另一種為開放型問題情景圖（如《9加幾》人教版教材）。作如下詳細闡述。
1.提出數(shù)學問題直奔本課主題
出示手偶“小猴靈靈”，教師表演并配音：小朋友，我是小猴靈靈，今天我來和大家一起學習，好嗎？我們先來做一個游戲：請小朋友從袋子里先取9個桃（實物圖），再從袋子里隨便取出一些桃。你能提出什么問題？（一共取了幾個桃）會列算式嗎？
根據(jù)學生回答板書：9+1、9+2、9+3、9+4、9+5、9+6、9+7、9+8、9+9、9+10。（有順序地排成一豎排）
小猴靈靈：大家列出的算式真多，這些算式有什么共同的特點呢？（揭示課題：9加幾）
1.要適時地引導學生選擇用加法計算的問題。
2.在加法計算的問題中，暫且擱置已經(jīng)學習過（或還未學習）的諸如列式為“6+3”“8+7”……問題。
3.直奔本課的主題“9+4”“9+3”……問題。
當然也可以班本化實施本節(jié)課的教學，整合學生潛在經(jīng)驗，激活潛在經(jīng)驗，設計9加幾的學習單。
找一找：你能找一找我們生活中的9加幾的問題嗎？（可以寫一寫或者畫一畫）
我找到的生活中的9加幾的問題是：
（二）建?！饰鰡栴}，抽象與概括及建立模型
《義務教育課程標準》（2011）版指出：“要從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型，并進行解釋與應用的過程……”建構主義認為，數(shù)學學習是學習者進行主動建構的過程。因此建模教學是對接學生已有經(jīng)驗，不斷抽象剝離概括構建數(shù)學模型的過程。
案例A：
1.復習1O的組成，或lO以內口算，初步感知為“湊十法”作鋪墊
師：剛才口算的這些題，你發(fā)現(xiàn)有什么共同的地方？
生：都是10加幾的。
生：得數(shù)都是十幾。
師：計算這些題，你為什么這么快？
生：都是10加幾，就能很快算出得數(shù)是十幾。
2.計算：9+4=□。學生可能沿用“數(shù)數(shù)法”和“接數(shù)法”等算法。應及時引導學生學習“湊十法”，要求學生“擺一擺”學具，怎樣先“湊成10”。用左邊算式表示思考過程，請學生用自己的話“說一說”：
生1：“我看到9，就想到1，因為1和9合起來是l0，我把4分成1和3，9加1等于10，10加3等于13?！?/p>
生2：“看到9，想到1，把4分成1和3，9加l等于1O，1O再加3等于l3?！保ê唵瘟诵ㄋ惴ǖ牡谝淮纬橄螅?/p>
3.計算：9+3=□。同樣要學生說一說是怎樣計算的。
4.小結：在經(jīng)過多個“9加幾”算式的計算后，引導學生比較其異同，找出算式的相同點（一個加數(shù)是9，即本質特征）抽象概括經(jīng)歷，不完全歸納出“湊十法”的法則：“看大數(shù)拆小數(shù)，湊成十，再加幾。”……（算法的第二次抽象）
案例B：
或者用大問題引發(fā)思考
想一想：怎樣解決這個問題？
我是這樣列式的：
我這樣思考：
記一記：我的方法是（畫一畫、圈一圈、連一連、寫一寫……）
（三）用?！脭?shù)學模型解釋并解決問題（經(jīng)歷具體化，演繹推理）
“湊十法”的法則是不是通用，需要學生在同類題目的計算中進行驗證。
1.觀察與判斷：9+6=□，9+8=□（屬“9加幾”，用“湊十法”）
2.計算與說理：9+6=15，9+8=17
用模過程就是需要把學習中建立的已有模型在解決問題的過程中運用鞏固，從而使得新建的數(shù)學模型不斷得以完善，同時在運用的過程中深化對數(shù)學模型的理解，形成基本的運用能力和問題解決能力。
（四）化模——加深或延伸與主題相關知識（類比推理）
模仿是小學生學習現(xiàn)象中的常見模式。簡單化的用模，易于造成思維定式，成為數(shù)學思維的桎梏。因此在化模中必須活化模型，實現(xiàn)簡單知識記憶應用走向問題深層剖析的思維提升。
1.“看大數(shù)，拆小數(shù)，湊成十，再加幾”的法則。（“8加幾”“7加幾”“6加幾”……時出現(xiàn)）
2.探索“9加幾”的規(guī)律：9+1=10，9+2=11……9+9=18。即9+n=10+（n-1）
3.探索“十幾減9”的規(guī)律：n-9=（n-10）+1。（2、3可視情況而定）
學習“湊十法”的計算法則，為之后學習“8加幾”“7加幾”……以至用“湊整”（加法或乘法）方法的簡便計算作了良好的鋪墊，也使學生感受了數(shù)學的無窮魅力。
基于建模思想下教學過程突出了基本數(shù)學模型的構建，并深刻體驗運用數(shù)學模型，為后續(xù)的教學打下伏筆，以期能駕輕就熟。同時通過四個環(huán)節(jié)的層層推進，在學生對“湊十法”透徹認識的同時，歷經(jīng)分析綜合抽象概括等思維活動。
此外，在建模教學實施過程中需要關注建模教學的幾個特性：一是注重知識的漸進性，不斷完善豐滿構建學習模型。二是尊重學生的差異性，最終能利用差異，發(fā)展差異。三是必須體現(xiàn)過程的結構性，在學習中不斷主動地進行模型的構建、感悟、運用。
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“模型思想”作為十大核心概念之一的重要地位，以及基于建模教學的現(xiàn)實價值，建模教學成為研究的熱點問題。建模教學不僅僅是教學的新授環(huán)節(jié)，還應該有整體的視野、兒童的視角、系統(tǒng)的視域，讓學生模型建立的過程行之有“道”。
一般而言建立數(shù)學模型的新授課包含兩類，即全新型新授課和延伸型新授課兩類。所謂全新型新授課是指在學生數(shù)學認知結構中，首次學習的全新知識。如“9加幾”中的“湊十法”、乘法的初步認識、商的性質（變與不變）、長方形面積計算公式、單式統(tǒng)計表（圖）等。學生學習這類知識，往往是以自己的生活經(jīng)驗（也需要學習經(jīng)驗）為基礎，通過觀察、實驗、比較、推理和交流，構建新的數(shù)學模型。所謂延伸型的新授課是指在學生數(shù)學認知結構中，新知識和已有相關知識聯(lián)系緊密。如“8加幾”中的“湊十法、分數(shù)基本性質、正方形和平行四邊形面積計算公式、復式統(tǒng)計表（圖）等。學生學習這類知識，往往是以已有相關知識（也需要生活經(jīng)驗和學習經(jīng)驗）為基礎，通過猜想、驗證、推理和交流，實現(xiàn)知識的“同化”或“順應”，構建新的數(shù)學模型。
結合新課程提出的新授課的教學模式和對于教材解讀，筆者認為對于教學全新型新授課教學往往需要經(jīng)歷四個環(huán)節(jié)：“一導?！薄岸！?“三用?！?“四化?！?/p>
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1.提出數(shù)學問題直奔本課主題
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找一找：你能找一找我們生活中的9加幾的問題嗎？（可以寫一寫或者畫一畫）
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（二）建?！饰鰡栴}，抽象與概括及建立模型
《義務教育課程標準》（2011）版指出：“要從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型，并進行解釋與應用的過程……”建構主義認為，數(shù)學學習是學習者進行主動建構的過程。因此建模教學是對接學生已有經(jīng)驗，不斷抽象剝離概括構建數(shù)學模型的過程。
案例A：
1.復習1O的組成，或lO以內口算，初步感知為“湊十法”作鋪墊
師：剛才口算的這些題，你發(fā)現(xiàn)有什么共同的地方？
生：都是10加幾的。
生：得數(shù)都是十幾。
師：計算這些題，你為什么這么快？
生：都是10加幾，就能很快算出得數(shù)是十幾。
2.計算：9+4=□。學生可能沿用“數(shù)數(shù)法”和“接數(shù)法”等算法。應及時引導學生學習“湊十法”，要求學生“擺一擺”學具，怎樣先“湊成10”。用左邊算式表示思考過程，請學生用自己的話“說一說”：
生1：“我看到9，就想到1，因為1和9合起來是l0，我把4分成1和3，9加1等于10，10加3等于13?！?/p>
生2：“看到9，想到1，把4分成1和3，9加l等于1O，1O再加3等于l3?！保ê唵瘟诵ㄋ惴ǖ牡谝淮纬橄螅?/p>
3.計算：9+3=□。同樣要學生說一說是怎樣計算的。
4.小結：在經(jīng)過多個“9加幾”算式的計算后，引導學生比較其異同，找出算式的相同點（一個加數(shù)是9，即本質特征）抽象概括經(jīng)歷，不完全歸納出“湊十法”的法則：“看大數(shù)拆小數(shù)，湊成十，再加幾。”……（算法的第二次抽象）
案例B：
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2.計算與說理：9+6=15，9+8=17
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1.“看大數(shù)，拆小數(shù)，湊成十，再加幾”的法則。（“8加幾”“7加幾”“6加幾”……時出現(xiàn)）
2.探索“9加幾”的規(guī)律：9+1=10，9+2=11……9+9=18。即9+n=10+（n-1）
3.探索“十幾減9”的規(guī)律：n-9=（n-10）+1。（2、3可視情況而定）
學習“湊十法”的計算法則，為之后學習“8加幾”“7加幾”……以至用“湊整”（加法或乘法）方法的簡便計算作了良好的鋪墊，也使學生感受了數(shù)學的無窮魅力。
基于建模思想下教學過程突出了基本數(shù)學模型的構建，并深刻體驗運用數(shù)學模型，為后續(xù)的教學打下伏筆，以期能駕輕就熟。同時通過四個環(huán)節(jié)的層層推進，在學生對“湊十法”透徹認識的同時，歷經(jīng)分析綜合抽象概括等思維活動。
此外，在建模教學實施過程中需要關注建模教學的幾個特性：一是注重知識的漸進性，不斷完善豐滿構建學習模型。二是尊重學生的差異性，最終能利用差異，發(fā)展差異。三是必須體現(xiàn)過程的結構性，在學習中不斷主動地進行模型的構建、感悟、運用。
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