數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)教學(xué)中的內(nèi)涵價值

莊惠芬

從兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來看，數(shù)學(xué)建模不是抽象的比賽，而是在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中建立的數(shù)學(xué)概念、建構(gòu)的數(shù)學(xué)方法、獲得的數(shù)學(xué)思想、形成的數(shù)學(xué)解決問題的能力。因此，有概念模型、方法模型、思想模型等等，是兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”的過程，是兒童運(yùn)用習(xí)得的數(shù)學(xué)模型去觀察分析現(xiàn)實(shí)問題、解決現(xiàn)實(shí)問題的過程，在這過程中獲得數(shù)學(xué)的理解、思維的發(fā)展、經(jīng)驗(yàn)的積累、能力的提升等等。

一、數(shù)學(xué)建模，讓兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程

課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”，這就是“數(shù)學(xué)化”的過程。

案例描述：“間隔排列”（摘自星河小學(xué)三5班蘇暢的數(shù)學(xué)日記）

“舅舅家的農(nóng)家樂店要開張了，想在門前掛5個燈籠，然后同時想讓燈籠和氣球一個隔一個排列，讓大家想一想氣球可能會有幾個？”

我認(rèn)為掛氣球問題其實(shí)就是間隔排列的問題，采用先分類，再畫圖和列表的方式來解決。我覺得氣球和燈籠間隔排列會有兩類情況，一類是燈籠開頭；另一類是氣球開頭；而燈籠開頭中又有一端是燈籠和兩端都是燈籠的情況；氣球開頭也是一樣，有一端是氣球和兩端都是氣球的情況。我用○和□表示氣球和燈籠，它們的排列方式如下表：

這樣一共就有5種可能，那么如果單獨(dú)只看氣球個數(shù)就是有4、5、6這三種可能。所以運(yùn)用這樣的思考，如果我們要在廣場上擺放不同花朵，還是道路兩旁栽種不同的樹木，只要是間隔排列，都可以這樣的方式來解決。

1.數(shù)學(xué)化觀察，發(fā)現(xiàn)問題

兒童對這一生活問題的觀察與發(fā)現(xiàn)，則在教材中的一一間隔排列中得到啟發(fā)，教材中出現(xiàn)了三組場景：手帕和夾子、蘑菇和兔子、籬笆和木樁。從題組場景中可以進(jìn)行系統(tǒng)化的觀察，雖然有不同的生活情境，但是從三組物體的觀察中，可發(fā)現(xiàn)共同的特點(diǎn)：一一間隔排列。并且也逐步建立了兩端物體、一端物體，以及兩端都沒有物體等基本的數(shù)學(xué)模型；這樣的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)為解決張掛燈籠和氣球問題奠定了基礎(chǔ)，尋找到了聯(lián)系，同樣通過系統(tǒng)化的觀察、“數(shù)學(xué)化”的途徑，提取到了要解決問題的信息，將生活問題簡化為數(shù)學(xué)問題。

2.模型的建立，分析問題

兒童從呈現(xiàn)的原型中經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，摒棄非數(shù)學(xué)因素，概括出了各種可能的共同屬性，那就是氣球和燈籠之間建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系，并且依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，提出它們共同關(guān)鍵屬性的種種假設(shè)，建立起燈籠開始與氣球開始的不同模型，確立這兩類中一端有與兩端都有的不同模型，還可能有封閉圖形等模型梳理與建立。學(xué)生摒除具體情境的影響，進(jìn)而從事物的內(nèi)在結(jié)構(gòu)來入手認(rèn)識規(guī)律。

3.模型的解釋，解決問題

數(shù)學(xué)建模是兒童經(jīng)歷對信息的捕捉、發(fā)現(xiàn)、選擇、簡化、整理的過程，是讓兒童經(jīng)歷觀察、分析、比較、歸納、抽象、概括與反思建構(gòu)的過程，是數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決的過程，是數(shù)學(xué)思想、方法、經(jīng)驗(yàn)、能力積累的過程。在燈籠與氣球的排列問題的解決過程中，在構(gòu)建模型的過程中，可以借助一一對應(yīng)的思想進(jìn)行分類，采用畫圖、列表等方式來進(jìn)行模型的建立、解釋和應(yīng)用，在不同的數(shù)學(xué)模型建立的過程中清晰地凸顯事物之間的數(shù)量關(guān)系。

4.模型的拓展，衍生問題

數(shù)學(xué)知識存在自身的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展、變化的內(nèi)在規(guī)律，數(shù)學(xué)知識不同因素之間、數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的小系統(tǒng)之間、數(shù)學(xué)知識的不同層次之間有著內(nèi)在的必然的聯(lián)系和關(guān)聯(lián)，兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常有著對數(shù)學(xué)知識梳理的意識和能力，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行類化歸納，實(shí)行數(shù)學(xué)模型的“整體集裝”。以上問題的解決從一字模型到O字模型，從不封閉圖形到封閉圖形，學(xué)生在辨析中建構(gòu)自己的圖式。如果進(jìn)一步拓展模型，還可以呈現(xiàn)諸如□○○ □○○ □○○…□○○的開放圖式；或者如左圖的封閉圖式。這樣的模型拓展，為學(xué)生提供了更具挑戰(zhàn)性問題場景。

二、數(shù)學(xué)建模，讓兒童擁有結(jié)構(gòu)化眼光

小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，就是要讓兒童在數(shù)學(xué)化的過程中去發(fā)現(xiàn)、抽象、理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，經(jīng)歷從數(shù)學(xué)原型抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，突出建立數(shù)學(xué)模型的過程。在這樣的過程中數(shù)學(xué)思維的關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)思想的滲透、數(shù)學(xué)方法的遷移、數(shù)學(xué)能力的集聚，不斷形成教學(xué)框架的連續(xù)。我們可以想象，每一堂數(shù)學(xué)之旅所呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)、方法層次都將給兒童長久而又持續(xù)的熏陶和浸染，兒童的系統(tǒng)思維能力與核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也必將提高。

1.把握知識結(jié)構(gòu)。兒童每天所進(jìn)行的數(shù)學(xué)課堂的結(jié)構(gòu)在兒童整個數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的學(xué)習(xí)中，是一個片段，是一個微型的結(jié)構(gòu)；要用體系化的視界整體上把握知識結(jié)構(gòu)，對已經(jīng)學(xué)過的知識進(jìn)行分類、梳理、歸納、整合，理清來龍去脈，溝通縱橫聯(lián)系。讓兒童所學(xué)知識能“豎成線”“橫成片”“鏈成球”“立成體”。數(shù)學(xué)模型建立的過程是兒童主動學(xué)習(xí)的過程，也是兒童自我完善和知識結(jié)構(gòu)的過程。

2.形成模型結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)就是規(guī)律，一般具有一定的結(jié)構(gòu)性特點(diǎn)，是能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和模型提煉的。數(shù)學(xué)模型與模型之間可以尋找相應(yīng)的溝通與聯(lián)系，將有關(guān)聯(lián)的或者相似的數(shù)學(xué)模型鏈接構(gòu)建成一個個數(shù)學(xué)模塊，從而形成一個網(wǎng)絡(luò)式的模塊體系，在兒童的頭腦中形成模型框架。在數(shù)學(xué)一個階段、一個單元、一個模塊的學(xué)習(xí)中不斷溝通其內(nèi)在聯(lián)系，形成自己的模型結(jié)構(gòu)。

3.貫通認(rèn)知結(jié)構(gòu)。現(xiàn)代研究表明，數(shù)學(xué)思維的結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)科學(xué)的結(jié)構(gòu)是十分相似的。頭腦中新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立，要依賴于數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的發(fā)展。如一組題鏈，即同一情景下不同形式組成一個知識塊。通過對原題的改變，還原生活本原，列舉各種的可能變化形式，呈現(xiàn)出不同類型而又相互鏈接的題組結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型。教師要研讀教材，把握知識的體系。根據(jù)教材知識的發(fā)展和兒童的認(rèn)知規(guī)律，精心選擇和組織“結(jié)構(gòu)化”知識，引導(dǎo)兒童實(shí)現(xiàn)自我建構(gòu)。

因此，我們以數(shù)學(xué)建模為引擎，從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的特點(diǎn)與兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特質(zhì)出發(fā)，把握數(shù)學(xué)模型建立的規(guī)律、過程與方式，引領(lǐng)兒童感受并把握數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)的模型結(jié)構(gòu)與兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、數(shù)學(xué)建模，讓兒童建構(gòu)系統(tǒng)化思維

從頭腦里提取記憶信息，尋找學(xué)過的數(shù)學(xué)模型，不斷與已知信息之間組織成整體結(jié)構(gòu)，這就是系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維是對事情有一個整體而全面的思考，對事情或問題的產(chǎn)生、展開、發(fā)展及問題的解決、結(jié)論的獲得以及在這個過程中方法的運(yùn)用、用優(yōu)化和對未來的影響等一系列問題作為一個整體系統(tǒng)來研究和綜合地考察認(rèn)識對象的一種思維方法。

1.從事理到數(shù)理，基于經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)知建構(gòu)

從兒童已有的知識和經(jīng)驗(yàn)來看，生活原型是有豐富的活動經(jīng)驗(yàn)作支撐的數(shù)學(xué)事實(shí)或現(xiàn)實(shí)材料，便于喚醒兒童在頭腦中產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題，從生活原型提升為數(shù)學(xué)模型。在兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，積極創(chuàng)設(shè)兒童善于建構(gòu)知識的情景，攝取解決數(shù)學(xué)問題需要的信息與經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)兒童從事理到數(shù)理的轉(zhuǎn)化，完善認(rèn)知建構(gòu)。

2.從法理到學(xué)理，基于能力的方法建構(gòu)

法理即以整個數(shù)學(xué)問題的共同發(fā)展規(guī)律和共同性問題這一數(shù)學(xué)模型為研究對象。在五年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我增加了“認(rèn)識菱形”的內(nèi)容的學(xué)習(xí)，是以此作為研究的對象，貫通起兒童對于圖形的認(rèn)識的系統(tǒng)思維，獲得“菱形的認(rèn)識”是在知識價值、經(jīng)驗(yàn)價值，以及思維價值、應(yīng)用價值、審美價值的過程中獲得認(rèn)識圖形的普適性學(xué)習(xí)方法，即學(xué)理。

在圖形的模型建構(gòu)過程中，學(xué)生自我建構(gòu)認(rèn)識圖形的方法：研究什么？研究圖形的邊、角與特性；怎么研究？可以從不同的角度觀察圖形，可以從圖形的大與小、分與合、剪與拼、割與補(bǔ)進(jìn)行研究，可以從規(guī)則到不規(guī)則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以從觀察猜想——操作驗(yàn)證——比較歸納——得出結(jié)論的過程等方面進(jìn)行方法模型的建構(gòu)。將菱形置于四邊形的大背景中進(jìn)行認(rèn)識，辨析其與四邊形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形的邏輯思維關(guān)系，經(jīng)歷辨析各四邊形之間關(guān)系的過程，增強(qiáng)四邊形認(rèn)識的系統(tǒng)性，提高學(xué)生的邏輯思維能力與推理能力，使學(xué)生形成對四邊形的整體認(rèn)識，形成關(guān)于四邊形的良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有積極意義的。

小學(xué)數(shù)學(xué)建模的主體是學(xué)生，數(shù)學(xué)建模教學(xué)就在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中。在這個過程中，要培養(yǎng)學(xué)生主動建模的意識，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，不斷發(fā)展建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力。