產出導向：指向未來的數學核心知識教學

【摘要】在“互聯網+”時代，一個人最需要具備獨立獲取知識、批判性思考和問題解決等關鍵能力，以及其他適應未來社會發展和個人發展的必備品格。數學教育應該精選數學核心知識，著眼于學生學習“產出”來組織教學活動，引導學生創生數學知識，聯結數學知識，應用數學知識，促進學生深度理解和靈活遷移，提升其以高階思維能力和學習力為核心的學科素養。

【關鍵詞】數學核心知識；產出導向；創生知識；聯結知識；應用知識

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）21-0012-03

【作者簡介】魏光明，南京市中華中學附屬小學（南京，210019）副校長，高級教師，南京市“基礎教育專家”培養對象，江蘇省數學特級教師，江蘇省“333高層次人才培養工程”培養對象。

“互聯網+”時代已經悄然到來，知識和信息呈幾何級數增加，更新和消亡的速度也明顯加快，我們通過計算機或者移動終端等工具可以輕易地獲得知識和信息。在這樣的時代，每個人最需要的不再是簡單占有大量知識，而是具備獨立獲取知識、批判性思考和問題解決等關鍵能力，以及其他適應未來社會發展和個人發展的必備品格，或者說是核心知識、關鍵能力和必備品格三位一體的核心素養。相應地，當下的教育包括數學教育就應該思考學生需要學習怎樣的知識以及怎樣學習這些知識，才能讓他們憑借學習形成的素養，從容地走向未來、適應未來并擁有一個可持續發展的未來。從這個意義上說，我們應該精選數學核心知識，著眼于學生“產出”學習成果來組織教學活動，促進學生深度理解、靈活遷移和主動應用，提升其高階思維能力和學習力。本文擬結合實例，談談基于“產出”導向的數學核心知識教學的一些做法和思考。

一、基于需要，自然創生數學知識

解決實際問題的需要，解釋生活現象的需要，其他學科發展的需要，都會促使新的數學知識不斷產生。教學數學核心知識，可以創設一個在解決問題或解釋生活現象時遭遇困難、產生沖突的真實情境，促使學生自然而然地產生創生新知識的需要，并基于已有經驗和知識，完整地經歷創生新知識的過程。例如：教學蘇教版四上《認識平均數》一課，可以這樣引導學生建構“平均數”的概念：

出示小紅套圈成績統計圖：小紅三次均套中6個。

師：你能用一個數來表示小紅比賽成績的整體水平嗎？

生1：可以用18來表示。

生2：好像也可以用6來表示。

師：能不能說說你們的想法？

生1：把小紅三次套中的個數加起來就是18。

生2：小紅三次都套中6個，所以我想用6來表示。

師：有道理！看來我們可以用18來表示，也可以用6來表示。

出示小軍套圈成績統計圖：小軍第一次套中3個，第二次8個，第三次4個。

師：你也能用一個數來表示小軍比賽成績的整體水平嗎？

學生的意見幾乎一邊倒，認為可以用小軍三次套中的個數之和15來表示。

師：用8來表示可以嗎？用4或3呢？為什么？

大多數學生認為小軍三次套中的個數不一樣，用其中一次的個數來表示他比賽成績的整體水平不合適。此時，出示小華套圈成績統計圖：小華第一次套中3個，第二次8個，第三次2個，第四次3個。

師：小華說他一共套中16個，比小軍的水平高，他說得對嗎？為什么？

學生一致表示反對。此時，教師呈現兩個問題，引發學生思考、討論和爭辯：（1）能不能也用這樣的數（指著板書的表示小紅整體水平的“6”）來表示小軍的整體水平呢？（2）如果可以，你有什么辦法得到這樣的數？

通過討論和交流，學生很快認識到可以用“5”來表示小軍的比賽成績，并找到了得出這個結果的不同方法。至此，感悟“平均數”的意義、理解求一組數據的平均數的方法水到渠成。

從上述教學可以看出，教師沒有回避學生已有的用“和”來表示一組數據的整體水平的經驗，而是讓學生經歷多次認知沖突，逐步認識到“比賽次數不同，用‘和來表示各自成績的整體水平”不合理，自然而然地產生尋找一個合適的數來表示一組數據的整體水平的需求，并在后續學習中順勢生長出“先求和再平均分”的方法。學習是一種模仿，更是一種創造。事實上，在進入并喻文化特別是后喻文化時代以后，學生已經悄然成為知識的創生者、貢獻者和分享者。我們需要順應這種變化，充分解放學生，讓學生走到前臺，利用已有的知識、經驗、技能和方法，按照自己的理解和習慣去探索、去發現、去表達，進而創造出獨特的、有意義的、屬于學生個體世界的知識，并通過相互交流和教師點撥，建構客觀、完善的精準知識。持續進行這樣的教學，每一個學生都可能成為深度參與的創客和學習者，并在創造的過程中更加深刻地理解知識，學會學習，學會創造。

二、著眼生長，深度聯結數學知識

研究表明：碎片化知識容易受到其他知識的干擾和擠壓而很快遺忘，高度依賴經常復習和反復練習進行強化，而一旦知識之間產生關聯，實現結構化，則能進入長時記憶，且易于激活和提取，便于遷移和應用。因而，數學教學應該引導學生學會根據知識之間的相似性或相關性，借助知識本質、邏輯關系、數學思想和思維方法的一致性，建立多向度、深層次的關聯，促進知識結構化和系統化。這里以蘇教版五下“分數的意義和性質”單元結束后一道習題（對教材原題數據作了調整）的處理為例：

一塊花布長6米，正好可以做5條同樣大小的童褲。每條童褲用布幾分之幾米？（結果用帶分數表示）

明晰思路、解決問題、交流互動之后，教師呈現以下一組習題，讓學生觀察、比較和判斷：（1）一塊花布長60米，正好可以做50條同樣大小的童褲。每條童褲用布幾分之幾米？（2）一塊花布長600米，正好可以做500條同樣大小的童褲。每條童褲用布幾分之幾米？（3）一塊花布長6000米，正好可以做5000條同樣大小的童褲。每條童褲用布幾分之幾米？

師：先讀一讀題目，再想一想，哪種情況下每條童褲用布米數最多？

生1：花布長6000米的時候。

生2：這幾種情況下每條童褲用布米數一樣多。

師：哪一種答案是正確的呢？可以怎樣驗證？

大多數學生傾向于“每條童褲用布米數一樣多”的結論，并通過計算驗證了結論的正確性。

師：不計算，你也能解釋為什么每條童褲用布米數一樣多嗎？

生1：根據商不變的規律。

生2（指著黑板上板書的幾道除法算式）：從上往下看，被除數和除數同時乘10、100、1000，商不變。

師：有道理！用以前學過的知識解釋、證明新知識的合理性是個好習慣。以前在運用商不變的規律進行簡便計算時，我們會發現商相等，但是余數不同。這是不是和大家剛剛發現的“每條童褲用布米數一樣多”相互矛盾呢？誰能來解釋一下？

生：我是這樣想的。剩下的布也必須分完，第一題剩下1米，平均每條褲子還可以分得1/5米，合起來就是11/5米……

在上述教學中，我們由解決一道題目，引出一組題目的比較，借助分數和除法的關系、分數的基本性質，引導學生認識到以前帶有余數表示的并不是除法計算的精確答案，并從新的視角理解了商不變的規律，打通了有余數的除法與一般除法之間的通道。學習最重要的任務之一，就是建立知識之間的深度關聯，形成良好的認知結構。聯結越多，結構化程度越高，知識的活躍度就越高，遷移性就越強，也就越有助于學生解釋、消除先前學習中遇到的疑問，預測、探索和研究后續將要學習的新知識。在教學中，我們應該具有整體視野，引導學生通過觀察、比較、分析和推理，去識別具體情境中不同知識之間的關聯，感悟所學知識與個體經驗、相關背景、具體情境甚至現實生活之間的關聯，明晰解決同一問題的多種方法、多種路徑以及答案的多種表征形式之間的關聯，了解算理和算法、實物操作、表象操作和心智操作之間的關聯。在此基礎上，引發知識借勢生長和有序整理，并依托核心知識的豐富內涵建立多元聯結，實現知識的縱向貫通和橫向聯通，增強認知結構的生長活力和吸附能力，讓學生知道知識從哪里來又到哪里去以及可以怎樣去，學會關聯性和系統化思考，學會從新的視角、采用新的方法建立新的聯結，學會從已知的領域和熟悉的世界出發去推測和探索未知世界，提升可持續發展的學習力和思考力。

三、關注價值，主動應用數學知識

主動應用知識解決問題屬于高階思維活動，也是一種重要的、指向未來的、作為全球公民所必需的可遷移能力，是一個人具有可持續學力的重要標志。對數學教學而言，學以致用、解決問題是一項重要的目標和任務。在教學中，要適度放大知識應用環節，讓學生逐步學會在新情境中或面對新問題時應用所學的知識，或解釋日常生活現象，或推斷事情發展趨勢，或驗證新的猜想和規律，或解決簡單實際問題直至生活中的真實問題。例如：蘇教版五上拓展課程“分段計費”，可以這樣教學：

在探究、建立出租車“分段計費”的模型之后，讓學生獨立解決這道題——某地出租車的收費標準是：3千米以內11元，超過3千米的部分，每千米收費2.4元（不足1千米的按1千米計算）。王老師從家打車去學校，一共付費18.2元。王老師家到學校的路程是多少千米？

生1：先算18.2-11=7.2（元），再算7.2÷2.4=3（千米），最后算3+3=6（千米）。

生2：18.2元包括起步價和超過起步價兩個部分，所以，王老師家到學校的路程也可以分成兩段。

教師順勢在線段圖上標注出兩個“3千米”。這一做法得到絕大多數學生的認可，只有少數學生有些搖擺不定。

師（指著其中一個猶豫不決的學生）：和大家分享一下你的想法，好嗎？

生3：我認為最后1千米也有可能沒有走完。

師（指著線段圖）：為什么最后1千米也有可能沒有走完呢？再讀一讀題目，看看有沒有道理。

不少學生根據“不足1千米的按1千米計算”這一條件，認識到“最后1千米有可能沒有走完”。

師：如果是這樣的情況，你們認為王老師家到學校的路程是多少千米呢？

生1：我認為只要超過5千米就行了。

生2：應該是超過5千米，最多是6千米。

師：看來，用數學知識解決問題必須考慮生活中的實際情況。

生1：等紅燈時間長了，出租車也要計費的。

生2：在路上堵車時間長了，也是要計費的。

生3：超過一定的路程，還要加收返程費用。

學生沒有囿于應用學到的知識求出一個所謂的標準答案，而是發散開去，聯系生活中的一些常識和規定，對問題進行多元分析。我們知道，不與學生的生命、生活發生聯系的教育是缺乏活力的，最好的學習就是以用促學，在實踐和應用過程中學習的知識才是最有力量的知識。在教學中，應該鼓勵學生以已有經驗為支點，以所學知識為工具，主動嘗試從數學的視角去分析和解釋生活現象，借數學工具去探索和解決新的數學問題與實際問題。在具體操作中，可以從解釋簡單的生活現象逐步過渡到解釋復雜的生活現象，從解決簡單的實際問題逐步過渡到解決復雜的實際問題，從解決確定的良構問題逐步過渡到解決不確定的劣構問題，逐步提高學生應用知識的能力，使他們養成主動應用知識的習慣，進而逐步增強他們應對未來挑戰、探求未知領域和陌生世界的能力。

需要注意的是，人都是借助各種感官間接地聯系外部世界，學習“產出”出現偏差、迷思或錯誤在所難免。因此，關注學生反思意識和質疑能力的培養，讓他們對認知過程和思維結果保持一種自覺的、內在的覺察、反省、評估和懷疑，就顯得尤為重要，這是保證“產出”質量和品質的有力保障。

實踐證明，著眼于“產出”的學習，學生的注意力更集中，認知加工更深入，參與程度更高。我們應將學習的主動權還給學生，將知識的“產出權”賦予學生，讓他們在與教材、與生活、與教師、與同伴、與自己對話的過程中，建構并分享知識的意義世界，通過數學學會思維，學會創造，學會接受挑戰，實現知識學習與人的整體發展相統一。

【參考文獻】

[1]文秋芳.構建“產出導向法”理論體系[J].外語教學與研究，2015（7）：547-558.

[2]魏光明.長程設計：關注階段性和一致性[J].江蘇教育（小學教學），2014（5）：57-58.

[3]魏光明.讓質疑真實地發生——試談學生質疑能力的培養路徑[J].江蘇教育研究，2014（2）：43-47.