廣義正交多項式在動載荷識別中的應用研究*

楊永國　王萬金

(91550部隊　大連　116023)

廣義正交多項式在動載荷識別中的應用研究*

楊永國王萬金

(91550部隊大連116023)

摘要根據正交域理論，基于廣義切比雪夫多項式建立了單自由度系統的動載荷識別模型，對已知參數的一般單自由度系統動力學模型進行了驗證性的動載荷識別，結果表明該模型能夠很好地對單自由度系統動載荷進行識別，可以通過增加多項式階數降低擬合誤差并提高精度。采用該模型對飛行器飛行試驗單處測點進行了動載荷識別，結果可信度較高，對改進飛行器飛行試驗方案和結構設計具有指導意義。

關鍵詞正交多項式; 動載荷; 時域識別

Class NumberTP301

1引言

飛行器飛行試驗過程中動載荷的識別對改進方案和結構設計具有非常重要意義，其是結構動力學響應分析的逆問題，可以通過建模技術和識別方法[1～2]兩種途徑實現。系統數學模型參數的識別是目前系統識別技術的側重點，但在逆問題的分析中模型參數的應用仍然存在一些問題需要去解決。盡管較高精度的數學模型參數可以通過一些系統識別的方法獲得，但誤差一定程度上仍然存在，這將致使模型參數在模擬系統動態特性時存在一定的缺陷，導致逆過程的收斂性和穩定性等問題的出現，如果解決不好將會影響結果的精度。正交域理論在動載荷的識別方面有很好的應用，其識別結果較為穩定、收斂速度快且具有一定的抗干擾性，可以通過增加多項式的階數來提高結果的精度[3]?？紤]廣義正交域理論的良好應用特點，文中通過定頻信號模擬激勵動載荷，應用一維切比雪夫廣義加權正交多項式來解決一維連續分布動載荷的識別問題，采用單自由度系統動力學方程計算系統的加速度響應，結合應用廣義正交多項式進行載荷識別的基本計算模型進行動載荷識別仿真，并將仿真識別結果和激勵動載荷進行比對，驗證上述動載荷識別在理論上的可行性，并將計算模型應用于飛行器滿足單自由度系統的單處測點進行了動載荷識別，計算結果對飛行器飛行方案和結構設計具有一定的指導意義。

2切比雪夫多項式

由于正交多項式可以用級數逼近任意連續單值函數，將其用于動力學分析，可以獲得比較簡單有效的分析模型?？紤]到切比雪夫廣義正交多項式優良的特性，文中采用其來進行動載荷的識別研究，它是時域區間[0,s]上的廣義正交多項式，前5項表達式[4～7]如下：

(1)

(2)

廣義加權一維切比雪夫多項式可以很好地擬合一維函數，具有正交性和收斂較快的特點[3～4]，通過增加多項式階數可顯著降低誤差、提高擬合精度，能夠滿足實際分析需求。

3動載荷識別模型

考慮到上述切比雪夫多項式在函數擬合方面收斂較快，動力學系統的動載荷識別可以通過其來構造基本的計算模型，并用該模型來解決一維連續分布動載荷識別問題。

典型的單自由度系統動力學運動方程[8]為

(3)

(4)

將式(4)代入式(3)，得

(5)

根據正交多項式的加權正交性原理，將式(5)兩邊同乘Ti(t)h(t)并在[0,T]上進行積分，可得：

maj+cbj+kdj=ejj=0,1,2,…,∞

(6)

其中，aj、bj、dj可通過下式求得

(7)

(8)

位移、加速度響應的正交多項式系數可以通過式(8)計算出，即：

(9)

(m[I]+c[Q]+k[P]){a}={e}

(10)

在已知系統加速度的情況下，式(10)給出了在正交多項式取有限階次時的動載荷級數系數計算方法，動載荷的時間歷程可以通過它進行識別。

4示例分析

4.1仿真信號識別

本節根據上文載荷識別的計算模型，結合仿真信號來驗證模型的有效性。假定某單自由度系統質量為3kg，系統阻尼系數為0.02，系統剛度為0.37Nm2，仿真時間為1s，采樣頻率為500Hz，激勵動載荷函數表達式為f(t)=20sin(2.1πt)+1。

圖1為系統的激勵動載荷，圖2為系統的加速度，通過式(3)求得的系統動載荷如圖3所示，圖4表示識別結果和原載荷的相對誤差，這里切比雪夫多項式取前八項。

圖1　激勵動載荷

圖2　系統加速度

圖3　識別的動載荷

圖4　動載荷相對誤差

由識別結果可以看出，上述模型可以對單自由度系統動載荷進行很好的識別，且識別誤差在時間區域邊緣相對明顯，這可以通過增加多項式階數來降低擬合誤差，提高擬合精度。

4.2實測信號識別

鑒于飛行器自身結構和材料特性，飛行段落的整體動載荷識別較為困難。本節只進行簡單嘗試，對其某處測點處的動載荷進行識別。假定單處測點滿足單自由度系統，質量為3000kg，阻尼系數為0.03，剛度為0.42Nm2，測量時段為0.2s，采樣頻率為5000Hz，采用實測信號在測點處進行激勵，并采集測點處一定時段內的振動加速度響應[9～10]。根據測點處的振動加速度響應(如圖5所示)和上述方法進行載荷識別，識別值與在測點處輸入值的對比參見圖6，二者的相對誤差參見圖7，可見上述方法的識別精度是很高的，對于單測點可以達到預期要求。

圖5　測點處加速度響應

圖6　載荷輸入值與識別值對比

圖7　載荷識別的相對誤差

5結論

正交域理論在動載荷識別方面具有很廣的應用，考慮其識別結果的穩定性和收斂較快的特點，文中應用一維廣義正交切比雪夫多項式建立了動載荷識別模型，并采用該模型對已知動載荷激勵函數的加速度響應進行動載荷識別，結果表明上述模型應用于一般單自由度系統動載荷識別是有效性的。在此基礎上將識別模型應用于飛行器飛行試驗單處測點的動載荷識別，識別結果精度可以通過增加多項式的階數來提高且可信度較高，可應用于飛行器飛行試驗結構分析方面。

參 考 文 獻

[1] Kyung-Taek Yang, Youn-sik Park. Joint structural parameter identification using a subset of frequency response function measurements[J]. Mechanical System and Signal Processing，1993,7(6):509-530.

[2] H.Baruh and J.B.Boka. Modeling and identification of boundary conditions in flexible structures[J], The International Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis,1993,8(2):107-117.

[3] 唐近秀.動態力識別的時域方法[J].大連工學院學報,1990,30(1):31-37.

[4] Rice L R.The approximation of functions [M].Reading Massachusetts：Addison-Wesley Pub Company,1964(1):65-90.

[5] 解延年.切比雪夫[J].數學通報,1987(1)：42-44.

[6] 徐傳勝.圣彼得堡數學學派的發展[J].科學技術哲學研究,2010,(5)：82-87.

[7] 王竹溪,郭敦仁.特殊函數概論[M].北京：北京大學出版社,2004:121-135.

[8] 張方.動載荷識別技術研究及應用[D].南京：南京航空航天大學,1996:30-41.

[9] 張力，林建龍，項輝宇等.模態分析與實驗[M].北京：清華大學出版社,2011:45-50.

[10] William T. Thomson, Marie Dillon Dahleh. Theory of Vibration with Applications[M]. Beijing：The tsinghua university press,2005:213-240.

Application of Generalized Orthogonal Polynomials in Dynamic Load Recognition

YANG YongguoWANG Wanjin

(No.91550 Troops of PLA, Dalian116023)

AbstractFor a single degree of freedom system dynamic load identification, based on the generalized field theory chebyshev orthogonal polynomials, a dynamic load recognition model is established, and then a single degree of freedom system dynamics model generally known parameters are validated dynamic nature load recognition simulation, and finally a single degree of freedom system to test the model aircraft measured at a single point constitute dynamic load are identified. The results show that the generalized chebyshev orthogonal polynomials recognition model based on dynamic load can be a good fit single degree of freedom system dynamic load identification problem. For specific questions, the degree of the polynomial fit can be increased to reduce error and improve the fitting accuracy, which has important application value.

Key Wordsorthogonal polynomials, dynamic load, time domain identification

*收稿日期：2015年12月7日,修回日期：2016年1月23日

作者簡介：楊永國,男,高級工程師,研究方向：航天測控軟件研發。王萬金,男,碩士,工程師,研究方向：信號處理及電磁拓撲技術。

中圖分類號TP301

DOI：10.3969/j.issn.1672-9730.2016.06.013