基于數學模型的太陽影子定位問題研究

周　千，李文勝

(西安航空學院 理學院，陜西 西安 710077)

基于數學模型的太陽影子定位問題研究

周千，李文勝

(西安航空學院 理學院，陜西 西安 710077)

摘要：針對太陽影子的定位問題，通過分析影響影子長度的各個參數，建立了影子變化的數學模型。同時，根據某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數據，通過建立數學模型確定了直桿所處的地點以及視頻拍攝的時間。該模型在實際生活中有著極為廣泛的應用，具有一定的實際意義。

關鍵詞：太陽影子定位；數學模型；太陽高度角

0引言

隨著數字視頻在生活中的廣泛應用，對于所拍攝的視頻，在特殊情況下，需要確定視頻的拍攝地點和拍攝日期，太陽影子定位技術[1-2]就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點和日期的一種方法。本問題源自于2015年全國大學生數學建模競賽A題。原問題要求建立影子變化的數學模型，并分析影子長度關于各個參數的變化規律，同時，根據某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數據，通過建立數學模型確定直桿所處的地點以及視頻拍攝的時間。本文探討了相關的問題，并給出了相應的數學模型。

1影子變化模型的建立與求解

假設地球為球體，建立空間直角坐標系如圖1所示。以地球球心為坐標原點，z軸正方向指向N極，xOy坐標平面與赤道面重合，則可得球面方程：

x2+y2+z2=α2

將球面方程轉化為曲面的參數方程：

(1)

圖1　緯度和時角示意圖

(2)

太陽赤緯δ，即太陽直射點的緯度，計算公式[3]：

(3)

由于中國采取的是北京時區的區時作為所在的東八區時間，但北京時間并不是北京(東經116.4°)地方的時間，而是東經120°地方(約為陜西蒲城)的地方時間。故

(4)

所求地方時=已知地的地方時±地方時差

(5)

根據直桿與影長的幾何關系，由三角函數公式可得；

L=Hcoth

(6)

結合公式(2)(6)化簡可得：

(7)

下面分析影子長度L與各參數(φ，δ)之間的變化關系：

(1)當δ=23°26′N,t=0°時，可以得到北半球夏至日影長L隨緯度φ的變化規律，如圖2所示：

圖2　影長隨緯度變化圖

由圖可以看出，夏至日影長從赤道到太陽直射點(北回歸線)逐漸變短，從太陽直射點到北極影長逐漸變長。

(2)當φ=39°54′26″N,t=0°時，可以得出影子長度L隨太陽直射點緯度(赤緯)δ的變化規律，如圖3所示：

圖3　影長隨太陽直射點緯度的變化圖

由圖可以看出，當太陽直射點由南回歸線(冬季)到達北回歸線(夏季)時，正午的影長由長變短。

2直桿所在地點、日期的模型建立與求解

以直桿底端為原點，水平地面為xOy平面，建立直角坐標系，但是由于實際問題中通常并未給定x軸，y軸的正方向，在夏季正午時，影子的方向為正北方向，故不妨定義一個Y軸偏角[4]的概念。Y軸偏角是指直角坐標系y軸與正南方向的夾角。如圖4所示：

圖4　Y軸偏角示意圖

為計算Y軸偏角α的大小，利用坐標點進行多項式擬合，發現二次曲線擬合的修正決定系數(Adjusted R-square)已經達到1，所以采用二次擬合，做出影子的軌跡如圖5所示：

圖5　影子的擬合軌跡

影子軌跡擬合方程：

y=-0.02583x2+0.2206x+0.2965

為尋找最短影長的軌跡坐標點，用曲線到原點的距離公式：

對上式求一階導數，求出L極小值所對應的坐標點：(x0,y0)=(-0.0632,0.2825)

圖6　影子向量示意圖

可由公式：

求得：α=12.6306°

引入太陽方位角的概念[5]。太陽方位角是指太陽光線在地平面上的投影與當地經線的夾角，可近似地看作是豎立在地面上的直線在陽光下的陰影與正南方的夾角。

因此，可得出影子軌跡的參數方程：

(8)

由(8)式可推導出公式：

(9)

建立地平面坐標系，通過太陽高度角θ和太陽方位角A來確定太陽位置。如圖7所示：

圖7　太陽高度角示意圖

太陽方位角A方程如下：

(10)

由(10)式通過三角變換可以得到：

(11)

由(2)(11)可以得到：

(12)

化簡可得：

(13)

3模型的評價與推廣

文中討論了影子長度關于各個參數的變化規律，并通過建立數學模型[6]確定了直桿所處的地點以及視頻拍攝的時間。

同時，引入了Y軸偏向角的概念，更加接近于實際問題。文中給出的確定直桿所處地點及拍攝時間的方法，可以推廣至有關部門確定圖片或視頻的拍攝時間或地點問題。模型仍然存在一些不足之處，由于忽略了泰勒展開式中三次以上的項，采用二次曲線擬合影子變化規律，與實際方程存在一定誤差。

參考文獻

[1] 陳曉勇，鄭科科.對建筑日照計算中太陽赤緯角公式的探討[J].浙江建筑，2011,28(9):6-8,12.

[2] 屈名,王征兵,王德麾.基于交比不變性的太陽定位算法的研究[J].硅谷,2013(19):53-55.

[3] 李飛,白艷萍.用遺傳算法求解旅行商問題[J].中北大學學報(自然科學版),2007,28(1):49-52.

[4] 王小平,張麗杰,常佶.基于單高斯背景模型運動目標檢測方法的改進[J].計算機工程與應用,2009,45(21):118-120.

[5] 李保來.基于高精度算法的太陽動態跟蹤技術研究[D].合肥：合肥工業大學，2012.

[6] 司守奎.數學建模算法與應用[M].北京：國防工業出版社，2011.

[責任編輯、校對：梁春燕]

Research into the Sun Shadow Location Based on Mathematical Model

ZHOUQian,LIWen-sheng

(School of Science,Xi′an Aeronautical University,Xi′an 710077,China)

Abstract：Facing the problem of sun shadow location,the mathematical model of shadow change is established by analyzing the parameters affecting the length of the shadow.At the same time,according to the data of the solar shadow vertex coordinates of a fixed straight bar on the horizontal ground,the mathematical model is established to determine the location and the time of video shot.The model has wide applications in practical life,so it has a certain practical significance.

Key words：sun shadow location;mathematical model;solar elevation angle

收稿日期：2016-04-20

基金項目：陜西省教育廳專項科研計劃項目(15JK1379)；西安航空學院科研基金資助項目(2016KY1214，2014KY1210)

作者簡介：周千(1981-)，男，山西大同人，講師，從事基于偏微分方程的圖像處理研究。

中圖分類號：O242

文獻標識碼：A

文章編號：1008-9233(2016)03-0076-04