關于不定方程x3-1 = Dy2

楊雅琴

（齊齊哈爾大學 理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

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關于不定方程x3-1 = Dy2

楊雅琴

（齊齊哈爾大學 理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

摘要：利用參數法將不定方程x3-1 = Dy2（D＞0）分解成一元一次方程和一元二次方程組成的方程組，對這個方程組的解用參數表示，通過設定此參數的值得到該不定方程的非平凡解.分別討論D不可約和D可約時，不定方程x3-1 = Dy2非平凡解的求解方法.

關鍵詞：參數法；不定方程；非平凡解

1 引言及預備知識

關于不定方程x3-1 = Dy2（D＞0）已經有不少的研究成果.當D無6k + 1的素因數時，其全部整數解已由曹珍富［1］等得到.但當D有6k + 1的素因數時，方程的求解較為困難，許多學者對其進行了研究［2-8］.本文將不定方程x3-1 = Dy2分解成一元一次方程和一元二次方程組成的方程組，對這個方程組的解用參數表示，通過設定此參數的值得到該不定方程的非平凡解.分別討論D不可約和D可約時，不定方程x3-1 = Dy2非平凡解的求解方法，給出不同D值對應的不定方程x3-1 = Dy2的非平凡解.

對于任意的D＞0，不定方程x3-1 = Dy2都有平凡解（1，0）.討論當D＞1時，不定方程x3-1 = Dy2非平凡解的存在情況.

引理［3］20設p是一個素數，則不定方程u2-4 Dv2=± p 至多有一個解.

定理1 當D為偶數時，不定方程u2-4 Dv2= - 3無整數解.

為非零整數，則（u2+3）≡0（mod4），那么，u必為奇數.

如果v為偶數，則存在整數s，使得v=2 s，那么，不定方程u2-4 Dv2= - 3可寫成u2-16 Ds2= - 3 .由定理1可知，不定方程u2-16 Ds2= - 3中（u，s）無整數解，與已知矛盾.所以，v必為奇數.再由引理可知，如果不定方程u2-4 Dv2= - 3有整數解（u，v），則此不定方程只存在唯一一組整數解. 證畢.

2 D不可約時，不定方程x3-1 = Dy2的非平凡解

（1）21x- = Du，221 x+x+v=，y= uv；

（2）21x- = u，221 x+xD+v=，y= uv；

（3）213x- = u，2213 xxDv + + =，y=3 uv；

（4）213x Du - =，2213 xxv++=，y=3 uv .

綜上可知，不定方程x3-1 = Dy2（D是不可約的正整數）的非平凡解（x，y）滿足方程組

（t為奇數參數）或

（t為奇數參數）證畢.

例1 求不定方程x3+1 = 307y2的非平凡解.

例2 求不定方程x3+1 = 271y2的非平凡解.

解 因方程組有解，則不定方程x3+1 = 1801y2的非平凡解為（28，±9）.

3　構建x3-1= Dy2并求解

4　D可約時，不定方程x3-1= Dy2的非平凡解

設存在非零整數m，n，使D= mn .此時不定方程x3-1 = Dy2有2種可能的分解：

（1）x-1 =mu2，x2+ x +1 = nv2，y = uv 或x-1 = nu2，x2+ x +1 = mv2，y = uv ；

（2）x-1 =3mu2，x2+ x +1 = 3 nv2，y=3 uv 或x-1 = 3 nu2，x2+ x +1 =3 mv2，y=3 uv .

當D可約時，由給定不定方程的非平凡解可以推出其他不定方程的非平凡解.如不定方程x3-1 = 124y2的非平凡解為（5，±1），由于124= 31×+4，則x3-1 = 31y2的非平凡解為（5，±2）.

參考文獻：

［1］ 曹珍富.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，1989：209-213

［2］ 段輝明.關于丟番圖方程x3+1 = 37y2［J］.高師理科學刊，2009，29（5）：22-25

［3］ 柯召，孫琦.談談不定方程［M］.上海：上海教育出版社，1980：18-35

［4］ 潘承洞，潘承彪.初等數論［M］.2版.北京：北京大學出版社，2003：271-303

［5］ Kenneth H R.初等數論及其應用［M］.北京：機械工業出版社，2009：98-103

［6］ 高潔，袁進.關于Diophantine方程x3+1 = py2［J］.純粹數學與應用數學，2010，26（4）：687-690

［7］ 高潔，梁勇.關于Diophantine方程x3-1 = py2［J］.科學技術與工程，2010，10（18）：4461-4462

［8］ 牟善志，戴習民.關于丟番圖方程x3±1= py2［J］.安徽大學學報：自然科學版，2008，32（1）：18-20

On the Diophantine equationx3-1 = Dy2

YANG Ya-qin
（School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China）

Abstract：Use parameter method，gave decomposition of the diophantine equationx3-1 = Dy2（ D ＞0）to one simple equation and one consisting of a quadratic equation equations.The parameters is used in the solution of equations，set the parameter to obtain the non-trivial solution of indeterminate equation.Discusses the method for solving non-trivial solution ofx3-1 = Dy2when D is irreducible or reducible.

Key words：parametric method；Diophantine equation；non-trivial solution

中圖分類號：O156.1

文獻標識碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.001

文章編號：1007-9831（2016）05-0001-04

收稿日期：2016-01-10

作者簡介：楊雅琴（1971-），女，吉林洮安人，副教授，碩士，從事組合數學研究.E-mail：yyqcpy2008@126.com.