定積分的幾何意義在定積分計算中的應用

楊磊，景宇哲

（1.大連財經學院基礎部，遼寧大連116000；2.大連經濟技術開發區第一中學，遼寧大連116000）

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定積分的幾何意義在定積分計算中的應用

楊磊，景宇哲

（1.大連財經學院基礎部，遼寧大連116000；2.大連經濟技術開發區第一中學，遼寧大連116000）

摘要：利用定積分的幾何意義計算定積分，使計算化繁為簡，拓寬了解題思路.

關鍵詞：定積分；幾何意義；不等式

1　定積分的幾何意義

定積分起源于求不規則圖形的面積和體積等實際問題.古希臘的阿基米德用“窮舉法”，我國的劉徽用“割圓術”，都曾計算過一些幾何體的面積和體積，這些均為定積分的雛形.直到17世紀中葉，牛頓和萊布尼茲先后提出了定積分的概念，并發現了定積分與微分之間的內在聯系，給出了定積分計算的一般方法，從而才使定積分成為解決有關實際問題的有力工具.

定積分的概念是一個教學難點，因為定積分是一個特殊的極限過程，與之前的數列極限和函數極限有很大區別.闡述定積分概念的經典引例是求曲邊梯形的面積，而這個引例很好地闡述了定積分的幾何意義.通過定積分的幾何意義，把一個抽象的定積分運算與形象的幾何圖形結合在一起，使學生對概念的理解更加深刻.因為定積分的性質都可以用它的幾何意義進行很好的解釋，所以繁瑣的定積分計算和定積分的抽象證明，都可以試著從它的幾何意義這個角度來考慮問題，往往會得到簡便快捷的解題方法.

圖1定積分的幾何意義

由定積分的幾何意義可以看出，定積分的值等于由被積函數所圍圖形面積的代數和.如果已知被積函數的圖像，由此曲線所圍的圖形是規則的或是可以通過“割補法”湊成規則圖形，那么定積分也可以從被積函數所圍的幾何圖形的面積中求得.

2　利用定積分的幾何意義求定積分

例1［2］設a＞1，求證：.

方法1求證的等式左側直接通過積分的計算方法，利用牛頓-萊布尼茲公式可以得到等式右側的結果.

方法2等式左側第1個積分的被積函數為y=lnx（1≤x≤a），積分變量是x，第2個積分的被積函數為x=ey（0≤y≤lna），積分變量是y.通過觀察，這2個被積函數互為反函數，它們的圖像是同一條曲線，并且積分上、下限均對應彼此的定義域（見圖2）.根據定積分的幾何意義，由曲線lnx，x=1，x=a及x軸所圍的圖形與由曲線ey，y=0，y=lna及y軸所圍的圖形正好組合成一個矩形，而矩形的面積等于這2個定積分的和.

證明陰影矩形的面積等于aln a，矩形被分成A和B 2部分（見圖2），A的面積等于，B的面積等于，于是得到=alna.

可以將這個具體的結論推廣到一般情形.

命題［3］設函數y=f（x）在區間［a，b］（0＜a＜b）上非負且單調增加，反函數為x=f-1（y），則有（y）dy=bf（b）-af（a）.

證明因為f（x）與f-1（y）互為反函數，而［a，b］和［f（a），f（b）］分別是函數f（x）的定義域和值域（或反函數f-1（y））的值域和定義域），函數f（x）與f-1（y）的圖像是同一條曲線（見圖3）.因此，f（x）與f-1（y）在各自區間上定積分的和等于陰影部分的面積，陰影圖形的面積等于bf（b）-af（a），即（y）dy=bf（b）-af（a）.

這一類定積分的特點是被積函數單調遞增，存在反函數.函數f（x）與其反函數f-1（y）的定積分的和可以轉化成求規則圖形的面積.

圖2例1題解圖示

圖3命題圖示

圖4例2題解圖示

3　利用定積分的幾何意義證明不等式

在不等式的證明中，可以根據不等式中函數的特點，結合定積分的幾何意義，提供一些解題技巧，使證明變得簡單.

例4［4］若a＞b＞0，求證：ln a-ln b .

圖5例3題解圖示

圖6例4題解圖示

圖7例5題解圖示

可以看出，定積分的幾何意義可以將復雜、抽象的函數關系變得簡單、直觀.而解決不等式證明的關鍵就在于將不等式的一端函數轉化成曲邊梯形的面積，另一端函數轉化成規則圖形的面積（如矩形、三角形和直邊梯形等），然后再利用熟悉的方法來解決問題.根據函數表達式的特點，利用定積分的幾何意義可以把問題的數與形很好地結合在一起［5-8］.

參考文獻：

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［5］吳贛昌.高等數學［M］.北京：中國人民大學出版社，2009：152-153

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The application of the geometric meaning of definite integral in the definite integral calculation

YANG Lei，JING Yu-zhe
（1. Department of Basic Course，Dalian University of Finance and Economics，Dallian 116000，China；2. No.1 Middle School of Dalian Economic and Technological Development Zone，Dalian 116000，China）

Abstract：Researched the calculation of definite integral using the geometric meaning of the definite integral，it make the calculation simple，increase the problem solving methods.

Key words：definite integral；geometric meaning；inequation

中圖分類號：O175.12∶G642.0

文獻標識碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.015

文章編號：1007-9831（2016）05-0051-04

收稿日期：2016-03-04

基金項目：黑龍江省高等教育教學改革項目（JG2014010966）

作者簡介：楊磊（1979-），女，黑龍江哈爾濱人，講師，碩士，從事計算數學研究.E-mail：dfxyjcbyl@126.com