雙重向量積定理的一個新證法

呂振環，惠淑榮，張闞，豐雪

（沈陽農業大學理學院，遼寧沈陽110866）

孫秀娟1，金民鎖2，王新霞1

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雙重向量積定理的一個新證法

呂振環，惠淑榮，張闞，豐雪

（沈陽農業大學理學院，遼寧沈陽110866）

摘要：在解析幾何中，雙重向量積是向量的一種運算，但它的證明方法都比較復雜.給出雙重向量積定理的一種新的證明方法，相對其他證法，該證明方法更加簡潔、易懂.

關鍵詞：雙重向量積；線性表示；數量積

參考文獻：

［1］呂林根，許子道.解析幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社，2006

［2］李養成.空間解析幾何［M］.北京：科學出版社，2007

［3］劉桂仙，胡貴新.雙重向量積公式的一種證明方法［J］.高師理科學刊，2013，33（5）：9-10

［4］魯春銘，豐雪.線性代數［M］.北京：中國農業出版社，2013

一堂高等數學微課設計研究與實踐

孫秀娟1，金民鎖2，王新霞1

微課程并不是指為微型教學而開發的微內容，而是運用建構主義方法化成的、以在線學習或移動學習為目的的實際教學內容［1］.微課程現在作為一種新興的學習方式，它主要指適用于教育教學中的短而精的視頻課程.

1　高等數學微課教學選題

一次微課視頻時間較短，要達到短時高效，就要恰當地選擇知識點題目，選題要能夠激發學生求知欲，實現師生互動，與多媒體課件有機結合.如對于高等數學上冊的教學，教師可以選取數列極限的描述性定義、重要極限及其在求極限中的應用舉例（如切線問題和速度問題等）、可微的概念、羅爾定理的應用、拉格朗日定理及其幾何意義、曲率的概念等應用性較強的題目，根據知識點再選取一些實際案例［2］，用PPT軟件進行課件制作，然后通過多媒體技術等軟件制作視頻.

2　高等數學微課教學過程

一般整個教學過程控制在10～15 min左右，甚至更短，但要完整地講解出一個知識點或應用問題，要保證過程完整性.由實際問題引出微課課題，教師提出一些有針對性的未知問題，引發學生去思考，進入新知識點講解，應用知識點解決所提出的問題，緊扣主題，最后簡潔明了地總結本節微課教學內容，使學生明確本節課學習思路，鞏固知識點應用.微課制作過程中可以插入圖片、聲音、短視頻和音樂等，不局限于單一的PPT課件的應用，這樣更能充分地吸引學生注意力.這種生動形象的教育方式的教學效果遠遠地超出了傳統的單一語言教學的教學模式.

3　高等數學微課教學的實施

以高等數學上冊可分離變量微分方程知識點講解為例，給出本節微課設計及具體教學實施過程.

3.1教學背景（1）可分離變量微分方程的地位與作用.微分方程發展的古典時期，研究的主題是：盡可能設法把當時遇到的一些類型的微分方程求解問題化為積分（求原函數）問題，這類方法，習慣上稱為初等積分法.初等積分法中，最基本而重要的就是分離變量法.可分離變量的微分方程是最簡單、最基本的一類一階微分方程，是求解齊次方程和可降階的二階微分方程等的基礎.（2）教師的準備.教師通過互聯網上“百度百科”、期刊文獻等途徑，對微分方程積累了一定的多媒體課件素材；課余閱讀數學文化方面的書籍，積累一定量的將數學思想方法與數學文化融入課堂教學之中的經驗.在分析和整合關于可分離變量微分方程的教學主體內容后，完成本節課的教學設計以及PPT制作.（3）教學方法.案例教學法與問題情境教學法相結合.（4）教學手段.通過多媒體動畫、視頻、圖片與板書演示相結合錄制成15 min左右視頻教學.

3.2教學內容安排（1）運用核廢料處理問題案例［3］，創設情境，引入課題；（2）分析探究，講解可分離變量微分方程及其求解；（3）解決核廢料處理問題案例，達到學以致用；（4）歸納總結，通過思考練習使學生掌握可分離變量微分方程解法及應用［4-5］.

3.3微課視頻的錄制與后期處理教師在錄制視頻前，準備好本節課教學設計，如教學背景了解、教學板書設計、教學內容PPT素材設計及教師的著裝.只有做好錄制前期工作才能保證錄制視頻的效果，要選擇明亮的專門錄播室錄制，保證播放質量，后期可以用Camtasia Studio軟件對錄制的視頻進行編輯視頻、添加聲音、PPT摳圖、添加背景音樂、添加解說詞和轉場動畫等技術制作，這就要求教師還要有一定的計算機軟件技術基礎.

［1］楊雯靖.基于微課的高等數學教學模式研究［J］.開封教育學院學報，2015，35（10）：118-119

［2］盛晟.微課的設計與制作［J］.計算機光盤軟件與應用，2014（24）：263-264

［3］同濟大學應用數學系.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2007：260-261

［4］李心燦.高等數學應用205例［M］.北京：高等教育出版社，1997：105-107

［5］孫秀娟，王新霞，王春.高等數學案例教學法［J］.高師理科學刊，2012，32（3）：88-89

（作者單位：黑龍江科技大學，1.理學院，2.信息網絡中心，黑龍江哈爾濱150022）

A new proofing method for double cross product theorem

Lü ZHEN-huan，HUI Shu-rong，ZHANG Kan，FENG Xue
（School of Science，Shenyang Agricultural University，Shenyang 110866，China）

Key words：double cross product；linear expression；dot product

Abstract：In analytic geometry，double cross product is a arithmetic，its proof method are more complex.Given a new proof method for the double cross product theorem.It looks very simple and convenient compared with many other methods.

中圖分類號：O182.2

文獻標識碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.002

文章編號：1007-9831（2016）05-0005-02

收稿日期：2015-12-30

作者簡介：呂振環（1970-），女，遼寧沈陽人，副教授，碩士，從事數學教學及數學模型研究.E-mail：lvzhenhuan@163.com

基金項目：黑龍江省高等教育學會“十三五”期間教育科學研究規劃課題；黑龍江科技大學教學研究項目