關于復積分的計算

袁邢華，蔣巧云（南通大學 理學院，江蘇 南通 226019）

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關于復積分的計算

袁邢華，蔣巧云
（南通大學 理學院，江蘇 南通 226019）

摘要：通過一個具體復積分實例，討論了復積分的計算問題，總結了復積分的多種計算方法，以此加強學生對相應主要知識點的理解和掌握.

關鍵詞：復積分；柯西積分公式；留數

在復變函數論中，復積分的計算是比較重要的一個內容［1-3］.本文通過一個具體的實例給出它的多種解法，從而讓學生更好地理解和掌握復變函數中幾個重要的知識點，而且通過一題多解，也讓學生對這些知識點之間的聯系有了更加全面的認識.

解法1比較適合被積函數是有理分式且比較容易進行部分分式分解的積分，另外，對所用到的已知結論要比較熟悉.關于如何對有理分式進行分解詳見文獻［4］.

解法2 利用復合閉路定理、柯西積分公式和高階導數公式.

在z =3的內部作正向簡單閉曲線C1，C2，C3，使得-1在C1內部，1在C2內部，-2在C3內部，并且C1，C2，C3互不相交，互不包含，從而

解法2的特點是不用把被積函數部分分式分解，而只需作適當變形讓其滿足柯西積分公式或高階導數公式的要求，進而利用公式即可.

解法3 利用留數定義.

解法3對例1來講計算時不是太簡單，但如果被積函數在積分曲線內部的奇點是本性奇點時就只能用此方法來處理了.

解法4 利用留數定理及關于極點的留數計算規則.

解法4比較適合被積函數的奇點是極點，而且極點級數不超過三級的積分.

留數總和定理［5］如果函數f（z）在擴充復平面內只有有限個孤立奇點，那么f（z）在所有奇點（包括∞點）的留數的總和必等于零. 0 .

解法5比較適合積分曲線內部出現多個奇點，而且有些奇點處留數的計算又比較復雜時的積分，通過留數總和定理的轉化，可以把計算留數變得相對簡單.

通過本文的討論，希望在今后的教學過程中更加全面深入地講解這部分知識，激發學生的學習興趣，幫助學生更好地理解和掌握這部分內容，靈活地運用這些方法來計算復積分.

參考文獻：

［1］ 鐘玉泉.復變函數論［M］.3版.北京：高等教育出版社，2004

［2］ 余家榮.復變函數論［M］.3版.北京：高等教育出版社，2000

［3］ 路見可，鐘可壽.復變函數論［M］.2版.武漢：武漢大學出版社，2007

［4］ 同濟大學應用數學系.高等數學［M］.5版.北京：高等教育出版社，2002

［5］ 呂彥鳴.復變函數［M］.北京：化學工業出版社，2010

重 要 聲 明

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《高師理科學刊》編輯部

About the calculation of complex integral

YUAN Xing-hua，JIANG Qiao-yun
（Shool of Science，Nantong University，Nantong 226019，China）

Abstract：Through a complex integral example，discussed the calculation problem and summarized the various calculation methods of complex integral，then to strengthen students' understanding and mastery of corresponding main knowledge points.

Key words：complex integral；Cauchy integral formula；residue

中圖分類號：O174.5∶G642.0

文獻標識碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.014

文章編號：1007-9831（2016）05-0048-03

收稿日期：2016-02-20

基金項目：南通大學教學改革課題（2014B7）

作者簡介：袁邢華（1978-），男，江蘇海門人，講師，碩士，從事復變函數研究.E-mail：ntsandy2004@ntu.edu.cn