高等代數(shù)中的幾類數(shù)學(xué)思想方法

姚裕豐

（上海海事大學(xué)文理學(xué)院，上海201306）

?

高等代數(shù)中的幾類數(shù)學(xué)思想方法

姚裕豐

（上海海事大學(xué)文理學(xué)院，上海201306）

摘要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓和核心，研究數(shù)學(xué)思想方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的積極促進(jìn)作用.結(jié)合高等代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐，介紹了高等代數(shù)中類比、舉反例、幾何、變換及構(gòu)造等幾種數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，通過(guò)具體的實(shí)例說(shuō)明了這些思想方法在高等代數(shù)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；類比；舉反例；幾何；變換；構(gòu)造

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一，是學(xué)生學(xué)好后續(xù)更為深入的數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)［1-7］.高等代數(shù)具有高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓缘忍攸c(diǎn)，與學(xué)生原有中學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有較大的差別，致使學(xué)生普遍認(rèn)為學(xué)習(xí)高等代數(shù)很困難.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際以及具體的實(shí)例，探討了高等代數(shù)中的幾類重要數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，以提高教學(xué)效果和質(zhì)量.

1　類比的思想方法

類比方法是指根據(jù)兩個(gè)不同的事物在某些方面的相似之處，猜測(cè)這兩個(gè)事物在其他方面也可能有類似之處，從而作出某種判斷的方法.類比方法是科學(xué)研究開(kāi)拓創(chuàng)新的重要手段.數(shù)學(xué)中有很多概念和結(jié)論都是用類比推理得出的［8-10］.

在高等代數(shù)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡x擇類比對(duì)象，通過(guò)類比，可以引導(dǎo)學(xué)生利用已有的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)理解和掌握高等代數(shù)中的相關(guān)概念和性質(zhì)，這樣學(xué)生易于接受，不會(huì)感到難懂.如在講解數(shù)域F上的一元多項(xiàng)式環(huán)F［x］的整除理論時(shí)，可以用整數(shù)環(huán)的整除理論來(lái)類比.學(xué)生熟悉整數(shù)的帶余除法、整除、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)等概念，相應(yīng)地可以類比引出一元多項(xiàng)式環(huán)F［x］中的相應(yīng)概念和性質(zhì).在整數(shù)中，素?cái)?shù)起了很重要的作用，是整數(shù)的“基石”.在一元多項(xiàng)式環(huán)F［x］中，相應(yīng)的“基石”稱為不可約多項(xiàng)式.素?cái)?shù)p具有性質(zhì)：若p|ab，則p|a或者p|b.相應(yīng)地，在一元多項(xiàng)式環(huán)F［x］中也有類似的性質(zhì)：設(shè)p（x）是不可約多項(xiàng)式，如果p（x）f（x）g（x），則p（x）f（x）或者p（x）g（x）.在整數(shù)中，任一個(gè)大于1的正整數(shù)都可以分解為素?cái)?shù)的乘積.相應(yīng)地，在一元多項(xiàng)式環(huán)F［ x］中也有因式分解定理，即任一個(gè)多項(xiàng)式都可以分解為不可約多項(xiàng)式的乘積.

2　　舉反例的思想方法

從科學(xué)性來(lái)講，反例是推翻錯(cuò)誤命題的有效手段.從教學(xué)上而言，反例能夠加深學(xué)生對(duì)正確結(jié)論的全面理解.舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢軒椭鷮W(xué)生加深理解和掌握數(shù)學(xué)概念，正確地應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)定理.在高等代數(shù)教學(xué)中可以通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生舉反例的思想以提高他們分析和解決問(wèn)題的能力，正確理解和把握數(shù)學(xué)概念［11］.

例1若不可約多項(xiàng)式p（x）是f（x）的k重因式，則p（x）是f'（x）的k-1重因式.反之未必正確.即若不可約多項(xiàng)式p（x）是f'（x）的k-1重因式，p（x）未必是f（x）的k重因式.

反例，設(shè)f（x）=x4+1，p（x）=x，則p（x）是f'（x）的3重因式，但p（x）不是f（x）的因式.進(jìn)一步可以證明，若不可約多項(xiàng)式p（x）是f'（x）的k-1重因式，且p（x）是f（x）的因式，則p（x）是f（x）的k重因式.

例2本原多項(xiàng)式不一定是不可約多項(xiàng)式.

反例，設(shè)f（x）=x3+x2+x+1，則f（x）是本原多項(xiàng)式，但f（x）=（x2+1）（x+1）是可約多項(xiàng)式.例3正交矩陣的行列式為1或者-1，但反之不真.

3　幾何思想方法

高等代數(shù)中很多概念極具抽象性，如果能找到恰當(dāng)?shù)膸缀卫樱ㄟ^(guò)幾何直觀的思想方法［12-13］，可以幫助理解抽象難懂的概念，從而達(dá)到事半功倍的效果，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心.

3.1線性空間概念的教學(xué)

線性空間概念是公理化定義的，是指這樣一個(gè)集合，在這個(gè)集合上定義了2種運(yùn)算“加法”和“數(shù)乘”，并且滿足8條性質(zhì).線性空間的概念對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)非常抽象，教師可以將中學(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)軸上所有點(diǎn)的全體作為例子，“加法”和“數(shù)乘”2種運(yùn)算就是通常的實(shí)數(shù)加法和乘法，可以很容易驗(yàn)證線性空間定義中的8條性質(zhì)都滿足，它們是實(shí)數(shù)的基本性質(zhì).進(jìn)一步，以二維平面以及現(xiàn)實(shí)生活中的三維空間為例，其中的“加法”和“數(shù)乘”2種運(yùn)算即為向量的加法和數(shù)乘，很容易驗(yàn)證線性空間定義中的8條性質(zhì)都滿足.

3.2矩陣中的幾何

矩陣可視為行向量組或列向量組，這樣，作為代數(shù)對(duì)象的矩陣賦予了幾何意義，可以把有關(guān)矩陣關(guān)系式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系式，從而可以通過(guò)向量的幾何性質(zhì)找出矩陣的一些性質(zhì).

例4設(shè)A，B為2個(gè)n階方陣，且AB=0 .則rank（A）+rank（B）≤n.進(jìn)一步，若存在常數(shù)a，b，使得aA+bB可逆，則rank（A）+rank（B）=n.

證明設(shè)A=（α1，α2，…，αn），B=（β1，β2，…，βn），其中：αi，βj均為列向量.則rank（A），rank（B）分別為向量組α1，α2，…，αn以及β1，β2，…，βn的秩.由于AB=0，故Aβi=0（1≤i≤n）.

從而齊次線性方程組AX=0的解空間維數(shù)不小于rank（B）.而由線性方程組解的一般理論可知，齊次線性方程組AX=0的解空間維數(shù)為n-rank（A），故n-rank（A）≥rank（B）.因此rank（A）+rank（B）≤n.

設(shè)aA+ b B可逆.如果rank（A）+rank（B）＜n，則向量組α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn的秩小于n.由于aA+bB=（aα1+bβ1，aα2+bβ2，…，aαn+bβn），從而rank（aA+bB）＜n，這與aA+ b B可逆矛盾，故rank（A）+rank（B）=n.

4　變換的思想方法

變換是將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，抽象問(wèn)題化為具體問(wèn)題，困難問(wèn)題化為容易問(wèn)題的等價(jià)思想方法，是高等代數(shù)中常用的技巧［14-15］.如將線性方程組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用增廣矩陣來(lái)描述，從而對(duì)線性方程組解的討論等價(jià)地轉(zhuǎn)化為增廣矩陣標(biāo)準(zhǔn)型的討論，根據(jù)增廣矩陣標(biāo)準(zhǔn)型的情況得到原方程組解的情況.在矩陣中，有各種諸如合同、相似等標(biāo)準(zhǔn)型.利用矩陣的初等變換可以求解線性方程組、矩陣的秩和逆矩陣等.

5　構(gòu)造的思想方法

構(gòu)造法可用來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)概念和結(jié)論進(jìn)行構(gòu)造性解釋，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的試探性和創(chuàng)造性.應(yīng)用構(gòu)造法需要對(duì)問(wèn)題有充分的把握和理解，挖掘其內(nèi)蘊(yùn)的本質(zhì).構(gòu)造法在高等代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，有大量的結(jié)論是通過(guò)具體構(gòu)造給出的.

例5設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間.證明：存在V的無(wú)限子集W，使得W中任意n個(gè)向量都線性無(wú)關(guān).

證明取V的一組基α1，α2，…，αn，對(duì)于任意.

例6證明任一個(gè)秩為r的矩陣都可以表示為r個(gè)秩為1的矩陣之和.

高等代數(shù)中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，教師要充分挖掘和歸納，使學(xué)生理解和掌握這些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，從而提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)［M］.北京：人民教育出版社，1986

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1988

［3］丘維聲.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2002

［4］劉仲奎，楊永保.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2003

［5］姚慕生，吳泉水.高等代數(shù)學(xué)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008

［6］施武杰，戴桂生.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2009

［7］黃庭祝.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2012

［8］仲秀英.波利亞的類比思想與數(shù)學(xué)課程改革［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，20（3）：84-86［9］周海芳.例談?lì)惐人枷朐跀?shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（4）：94-95

［10］肇慧，焦艷會(huì)，任中貴.比較教學(xué)法在代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.高師理科學(xué)刊，2012，32（6）：82

［11］劉向華.反例在教學(xué)中的作用［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2001（4）：82-85

［12］范志勇，毋光先，白海英.高等代數(shù)中的幾何直觀方法［J］.廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，10（4）：10-12

［13］王瑞卿.高等代數(shù)的幾何直觀化教學(xué)［J］.高師理科學(xué)刊，2014，34（1）：94-96

［14］魏平.初等變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010（2）：49-53

［15］王文省，姚忠平，鐘紅心.初等變換的思想方法在高等代數(shù)中的應(yīng)用［J］.聊城師院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2000（3）：76-78

Discussion on several mathematical thought and methods in advanced algebra

YAO Yu-feng
（School of Arts and Science，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China）

Abstract：Mathematical thought and methods are the soul and core of mathematical knowledge. The study of mathematical thought and methods will play an active role in the cultivation of students′mathematical ability.Associated with actual experience in the teaching of advanced algebra，introduced several mathematical thought and methods，such as，analogy，counterexample，geometry，transformation，construction etc.Some concrete examples were given to demonstrate how to apply these thought and methods in advanced algebra.

Key words：advanced algebra；analogy；counterexample；geometry；transformation；construction

中圖分類號(hào)：O151∶G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.018

文章編號(hào)：1007-9831（2016）05-0062-04

收稿日期：2016-03-01

基金項(xiàng)目：上海海事大學(xué)教師教學(xué)激勵(lì)計(jì)劃項(xiàng)目；上海海事大學(xué)“高等代數(shù)”重點(diǎn)課程項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：姚裕豐（1982-），男，江西峽江人，副教授，博士，從事代數(shù)學(xué)研究.E-mail：yfyao@shmtu.edu.cn