師生互動(dòng)多維思考，給高三復(fù)習(xí)帶來新天地

劉+++茹

最近剛復(fù)習(xí)到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊，在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性中遇到這樣一題：

例：已知函數(shù)f（x）=x2-lnx，g（x）=ax+lnx（a∈R）。

（1）若曲線f（x）存在平行于x軸的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間，e上是單調(diào)遞減的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

這是一道含參的單調(diào)性問題，利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍。第一問解略，對(duì)于第二問，課堂上同學(xué)們是這樣求解的：

由題意F（x）=-ax-2lnx，得導(dǎo)函數(shù)

F′（x）=ax-a-=

因?yàn)楹瘮?shù)F（x）在區(qū)間，e上是單調(diào)遞減的，所以F′（x）≤0在區(qū)間，e上恒成立，即轉(zhuǎn)化為ax2-ax-2≤0恒成立。

構(gòu)造函數(shù)h（x）=ax2-ax-2。討論：

（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)h（x）=-2<0，此時(shí)函數(shù)F（x）在區(qū)間，e是單調(diào)遞減；

（2）當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)h（x）=ax2-ax-2開口向上，對(duì)稱軸x=∈，e，只需h（e）=ae2-ae-2≤0，即a≤。

故0

（3）當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)h（x）=ax2-ax-2開口向下，對(duì)稱軸x=∈，e，只需h（）≤0，解得-8≤a<0。

綜上可知，-8≤a≤。

這種解法是利用導(dǎo)數(shù)將函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)含參問題來解決，直接對(duì)參數(shù)討論。通常對(duì)于含參問題，我們還有一種常見處理方式：分離參數(shù)法。對(duì)于本問題，能否用分離參數(shù)法呢？對(duì)于我提出的問題，思索一會(huì)兒后，大部分同學(xué)都說不行，理由是分離前式子a（x2-x）≤2中x2-x在區(qū)間，e上不能確定符號(hào)，不能直接除過去。這就是問題所在。當(dāng)不能確定符號(hào)時(shí)該怎么辦呢？在我的提示下，學(xué)生們開始思索。這時(shí)有個(gè)學(xué)生甲站起說，可以對(duì)變量區(qū)間討論，確定x2-x的符號(hào)后再除過去，轉(zhuǎn)化成求最值問題。之后利用導(dǎo)數(shù)求最值。然后，按照這條思路和學(xué)生一起得出了如下板演過程：

（1）當(dāng)x=1時(shí)，x2-x=0，此時(shí)a（x2-x）≤2恒成立，a∈R。

（2）當(dāng)≤x<1時(shí)，x2-x<0，此時(shí)由h（x）≤0恒成立轉(zhuǎn)化為a≥在x∈，1上恒成立。

令t（x）=，得t′（x）=，

當(dāng)x∈，，t′（x）>0，t（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈，1，t′（x）<0，t（x）單調(diào)遞減。從而當(dāng)x=時(shí)，t（x）max=t=-8。

所以a≥-8。

（3）當(dāng)10，得a≤恒成立。此時(shí)t（x）=，t′（x）=，當(dāng)x∈（1，e]時(shí)t（x）<0，t（x）單調(diào)遞減，t（x）min=t（e）=，故此時(shí)a≤。……