一道高考試題的解法探究與錯(cuò)解剖析

王炳哲

2009年全國數(shù)學(xué)（Ⅰ）試卷理科21題（文科22題）是一道主要考查解析幾何基本思想與基本方法的壓軸題。從試題本身來看，其命題意圖是考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)能力，以及方程思想，函數(shù)最值方法的靈活運(yùn)用的能力。試題對(duì)理科同學(xué)而言難度適中，對(duì)文科考生相對(duì)要難一些（滿分12分，平均得分理科約為2.39分，文科約為0.81分），但該題對(duì)學(xué)生的審題能力、思維能力、運(yùn)算能力等都起到了很好的考查作用。試題入手容易，但隨著運(yùn)算量、思維含量的加大要深入下去有一定的難度。

1 解法探究

2.2思想方法方面的錯(cuò)誤

本題考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)能力，以及方程數(shù)學(xué)思想。這些方法與思想如果考生運(yùn)用自如，可以起到事半功倍的作用。但從高考答卷中可以看出，考生在這些方面出現(xiàn)問題較多，主要問題有：

1）一些考生不能充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過觀察圖形，四個(gè)交點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)交點(diǎn)和三個(gè)交點(diǎn)情況來解決；在解決兩對(duì)角線交點(diǎn)問題時(shí)，如果通過圖形的對(duì)稱性來解決，直接設(shè)出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0，就好求多了，而通過這一點(diǎn)來做的廖廖無幾；

2）在求解面積最值時(shí)，有些考生沒有想到換元的思想解決，用所求的結(jié)果直接求導(dǎo)，不僅導(dǎo)致式子繁難，而且計(jì)算很容易出錯(cuò)，從而造成考生大量的丟分與失分。

2.3 運(yùn)算方面的錯(cuò)誤

對(duì)于本題來說，第一問的計(jì)算量不大，但是不少考生在計(jì)算過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤是五花八門：1）在將y2=x代入（x-4）2+y2=r2過程中化簡錯(cuò)誤，考生化簡成x2-9x+16-r2=0，x2-3x+16-r2=0，這樣后面的求解都不對(duì)了；2）在？駐>0過程中求解不正確，加減號(hào)顛倒，去括號(hào)后漏乘系數(shù)等等計(jì)算錯(cuò)誤。

2.4 粗心方面的錯(cuò)誤

3教學(xué)啟示

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容之一，也是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容，它以考察學(xué)生的思維能力為主，兼顧考察運(yùn)算能力和邏輯思維能力，因此，對(duì)解析幾何的備考與復(fù)習(xí)應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面：

3.1重視課本基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)

學(xué)生在答卷中出現(xiàn)以上各種問題，都反映出考生對(duì)課本上的基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢，不能靈活運(yùn)用。扎實(shí)的基礎(chǔ)體現(xiàn)在對(duì)概念、定義、定理、法則、公式的透徹理解，對(duì)數(shù)學(xué)語言（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）的準(zhǔn)確表達(dá)與運(yùn)用，對(duì)性質(zhì)和習(xí)題的靈活變通上。惟有扎實(shí)的基礎(chǔ)，才會(huì)有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建立和融合，數(shù)學(xué)思想方法才會(huì)豐富多彩，各種能力的提高才會(huì)能得以實(shí)現(xiàn)；這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的教與學(xué)中，一定要重視知識(shí)形成過程和發(fā)展過程的學(xué)習(xí)，重視公式的正用、逆用和變形應(yīng)用，重視定理的推導(dǎo)與應(yīng)用，重視定義的理解和應(yīng)用，重視課本例題、習(xí)題中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用。

3.2要重視知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程

平時(shí)教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化與化歸，換元等數(shù)學(xué)思想的訓(xùn)練，不但重視知識(shí)結(jié)果，更要重視知識(shí)發(fā)生，發(fā)展的過程，從而提高學(xué)生的思維層次和分析問題解決問題的能力。在解析幾何的教學(xué)中重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想，思維能力的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生思維廣度及思維深度。

3.3加強(qiáng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練

從考生解析幾何綜合題答卷情況可以看出，一些解題思路是正確的，一些方法也是合理的，但由于學(xué)生運(yùn)算能力較弱，不能根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和處理數(shù)據(jù)，不能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，造成大量丟分，很是遺憾。因此，教師在課堂教學(xué)中在通過對(duì)典型例題的合理分析培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)促進(jìn)學(xué)生思維能力的提高的同時(shí)，注重學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。教師在高三復(fù)習(xí)中，可從以下幾方面入手來培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力：

1）牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí).在高考中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是：在運(yùn)算過程中使用的概念、公式、性質(zhì)、定理、公理及法則要準(zhǔn)確無誤，最終才能保證運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確無誤。

2）課堂上不能只分析題目的思路，也應(yīng)有完整與完善的求解過程的示范.否則學(xué)生的自我練習(xí)也容易出現(xiàn)只看不做、不算、不求甚解，或者似是而非的解題，易養(yǎng)成不良的解題習(xí)慣。

3）督促學(xué)生完善錯(cuò)題本，應(yīng)有錯(cuò)解、正解、錯(cuò)誤原因分析，改進(jìn)方法、注意事項(xiàng)等方面的內(nèi)容。