例說直線與圓位置關系的解題思路

劉美剛

【摘要】近年來，解析幾何在數學高考卷中一直占據較高的分值比重，特別是直線與圓的位置關系是長期以來的重點考點。作為考生而言，必須充分理解它們間的關系和解答思路，不管題型如何變，無非考察的就是這三種關系——相交、相離、相切。直線與圓的位置關系除考查位置關系之外，還考查軌跡問題和與圓有關的最值問題。本文將從直線與圓的幾種位置關系進行分析介紹，再對幾種常見題型的的解題思路進行分析，為各學校教師提供點參考意見。

【關鍵詞】直線 圓 位置關系 典型例題 解題思路

1.直線與圓的位置關系主要研究方法

方法一：幾何法，從幾何角度對直線與圓的位置關系進行研究，從形上看，直線與圓的位置關系就只存在三種情況：第一種是相離，直線和圓沒有交點，如圖1-1所示；第二種是相切，直線和圓有且只有一個交點，如圖1-2所示；第三種是相交，直線和圓有兩個交點，如圖1-3所示。

方法二：代數法，通過解析幾何這一載體把幾何問題代數化，用數學運算的方法進行研究。典型的有兩種方法：

（1）從一元二次方程實數解個數進行研究

把直線與圓方程聯立，化簡得到關于x或y的一元二次方程，將交點問題轉化為求方程實數解個數問題，這一方法求解思路清晰，容易領會。當 ，方程無實數解，則直線與圓相離無交點；當 ，方程有一實數解，則直線與圓相切有一交點；當 ，方程有兩個不同實數解，則直線與圓相交有兩交點。

（2）從圓心到直線的距離d和半徑r的數量關系進行研究

圓心到直線的距離d和半徑r的數量關系與直線和圓的位置關系是對應與等價的，位置關系與數量關系可以相互轉化。所以直線和圓的位置關系可以根據點到直線的距離來確定。用代數法研究直線和圓的位置關系可以概括如表1-4所示。

直線和圓的位置關系的確定，目前主要的方法就是代數法，幾何法。幾何法強調對形的認識，代數法強調對數的運算和理解，幾何法指明了方向，代數法體現了研究問題的手段方法，中間還需借用其它工具，如不等式，數形結合是解決直線與圓位置關系問題的重要思想方法，體現了高中數學的層次和要求。

2.直線與圓的位置關系典型問題

下面將介紹幾個直線與圓的位置關系典型問題：

問題1.已知直線和圓，求直線和圓的位置關系。

問題2.已知點和圓，求直線方程。

這種題型是起初最普通、最常見的設問方向，此考點的難點和誤區就是要考慮斜率存不存在的情況。所以，在面對這種考點時，一般解題步驟是：第一步，先分析斜率不存在時的直線方程是否滿足，即平行于Y軸的直線方程；第二步，求斜率存在時的直線方程；第三步，綜合前面兩種情況，寫出滿足要求的直線方程。此類問題已經進行了轉變，例如引入參變量，在分類討論的同時，可以靈活多變的在直線和圓之間進行問題切換。

問題3.已知圓和直線方程，求點。

這種題型主要是變相的考察點到直線的距離以及直線和圓的位置關系。這種題型無非也就三種大情況，相交、相切、相離時，求到直線的距離的點的坐標。第一種是在相離時，求圓上的點到直線的距離，且滿足要求的點的坐標個數可能存在0個點，1個，2個點，還有一種變式是求最大距離或最小距離的點的坐標。第二種是相切時，求圓上的點到直線的距離，且滿足要求的點的坐標個數可能存在1個，2個。第三種是相交的情況下，求圓上的點到直線的距離，且滿足要求的點的坐標個數可能存在1個，2個，3個，4個。解決此類問題首先要明確直線與圓的位置關系，然后根據題設分析滿足要求的點的個數，體現了數形結合的思想方法。

問題4.已知圓和直線方程，求弦長。

4.總結與寄語

無論考題怎么變，萬變不離其宗，考點就是這些。直線與圓的位置關系，在每年高考中，分值占據比較穩定。目前和今后的考試趨勢是解析幾何的全面融合作為考題，直線與圓的位置關系的考點就涵括在綜合考題之內，和不等式，函數等知識交叉。直線與圓的三種位置關系，對于考生而言必須熟練掌握解題技巧，強化運算能力，還要有足夠的轉換意識，用好數和形兩種分析工具，充分利用圓是中心對稱和軸對稱圖形這一幾何特性，優先思考直線和圓位置關系，找準問題切入點，簡化答題策略，少走彎路。對于數學教師而言，要多引導學生發散思維，不能就題解題，而應該了解掌握解題的理念，培養一種新穎靈活的解題意識。

【參考文獻】

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[3]普通高中課程標準實驗教科書. ISBN978-7-107-17706-4/G.10795