立體幾何題添加輔助線的思想方法探討

劉順清

【摘要】 立體幾何在高中階段重點培養學生空間想象能力，邏輯思維能力，轉化，化歸的能力。在歷年的高考中有兩到三道小題，必有一道解答題，以中檔題為主，難度不大，雖然分值比重不是特別大，但是起著舉足輕重的作用。

【關鍵詞】 立體幾何題 輔助線 思想方法

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2016）07-079-02

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學好立體幾何需要掌握一定的處理立體幾何問題的基本思想和方法。而轉化，化歸的思想貫穿立體幾何的始終。把立體幾何問題化為平面幾何問題，即立體問題平面化，它是解決立體幾何問題的始終如一的原則。如異面直線所成的角，線面所成的角，二面角這三種空間角都是用平面定義的，在解決有關空間角的問題時，一般是將他們轉化為平面角來處理，最終化歸為解三角形。高三一輪復習的解題訓練中，解立體幾何問題通常有作、證、求三個環節。但是在高考中反映這方面的問題十分嚴重，不少考生對這三個環節交待不清，表達不夠規范、嚴謹。尤其沒找到添加輔助線的一般規律。下面就解立體幾何中如何巧妙添加輔助線的思想方法作一下探討。

解立體幾何題添加輔助線有一定的規律性，結合平時的教學情況總結主要有如下幾種情況：一是連中位線，二是連對角線或中線，三是做垂線。概括成口訣是：有的中點配中點，兩點相連中位線；等腰三角形出現，頂底中點相連線；有了垂面作垂線，水到渠成理當然。下面就常見的三種情況加以說明。

一、方法之一添加平行線。

其目的是把不在一起的線，集中在一個圖形中，構造出三角形、平行四邊形、矩形、菱形，這樣就可以通過解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位線來作出所需要的平行線。

例1.把正方形ABCD，ABEF放置成如圖所示的一個空間圖形，M，N分別是AE，DB上的點，且AM=DN.

求證：MN∥平面EBC.

解析：過M作MM1⊥BE于M1，過N作NN1⊥BC于N1，連結M1N1，

則有MM1∥AB，且MM1AB=EMEA，NN1∥CD，且NN1CD=BNBD.

又AB∥CD，AB=CD，AM=DN，故MM1∥NN1，MM1=NN1，所以MN∥M1N1.

又MN 平面EBC，M1N1 平面EBC，

所以MN∥平面EBC.

點評：通過作平行線構造平行四邊形來證線面平行。

點評：求異面直線所成角常采用平移法，把空間問題平面化，變成解三角形的問題。

二、方法之二向中心對稱圖形對稱中心添加連線

對稱中心是整個平面圖形的幾何中心，它可以與周圍的點、線、面關聯起來，常見的有對平行四邊形，矩形，正方形連對角線。

例3.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點。

（1）證明：PB∥平面ACM；

（2）證明：AD⊥平面PAC；

（3）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值。

解析：（1）連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，因為O為AC的中點，所以O也為BD

的中點，又M為PD的中點，所以PB∥MO，因為PB 平面ACM

MO 平面ACM，所以PB∥平面ACM.

（2）因為∠ADC=45°，AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC，

又PO⊥平面ABCD，AD 平面ABCD所以PO⊥AD，而AC∩PO=O所以AD⊥平面PAC.

（3）取DO的中點N，連接MN，AN，

因為M為PD中點，所以MN∥PO，且MN=12PO=1.

由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD.

所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，

點評：通過連接平行四邊形的對角線，連出中位線從而由線線平行證得線面平行，由平行線中的一條垂直于平面得到另一條也垂直平面。

三、方法之三添加垂線

立體幾何的許多定義或定理是與垂線有關的，如線面角、二面角的定義，點到平面、線到平面、平面到平面距離的定義，三垂線定理，線面垂直、面面垂直的判定及性質定理，正棱柱、正棱錐的性質，球的性質等，所以運用這些定義或定理，就需要把沒有的垂線補上。尤其要注意平面的垂線，因為有了平面的垂線，才能建立空間直角坐標系，才能使用三垂線定理或其逆定理。

例4.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

（1）求證：AD⊥PB；

（2）若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論

解析：（1）如圖，取AD中點G，連結PG，BG，BD.

∵△PAD為等邊三角形，∴PG⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.

在△ABD中，∠A=60°，

AD=AB，∴△ABD為等邊三角形，∴BG⊥AD，

∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.

（2）連結CG，與DE相交于H點，易知H為CG的中點，

在△PGC中作HF∥PG，交PC于F點，易知F是PC的中點，

∴FH⊥平面ABCD，∴平面DHF⊥平面ABCD，

故存在滿足要求的點F為PC的中點。

點評：有了面面垂直及等腰三角形，頂底中點要連線，由線線垂直易證得線面垂直，從而有線線垂直。若用向量法也必須具備線面垂直的條件，所以所作輔助線為下一步建系創造了條件。

例5.如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.

（1）在直線BC上是否存在一點P，使得DP∥平面EAB 請證明你的結論；

（2）求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值。

解析：（1）線段BC的中點就是滿足條件的點P.證明如下：

取AB的中點F，連結DP，PF，EF，則FP∥AC，FP=12AC.

取AC的中點M，連結EM，EC.∵AE=AC且∠EAC=60°，

∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC，∴四邊形EMCD為矩形，

∴ED=MC=12AC.又∵ED∥AC，∴ED∥FP且ED=FP，四邊形EFPD是平行四邊形.

∴DP∥EF，而EF 平面EAB，DP 平面EAB，∴DP∥平面EAB.

（2）過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于G，連結DG.

∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱。

∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，

∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥l.

又l⊥GC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，

∴∠DGC是所求二面角的平面角.

設AB=AC=AE=2a，則CD=3a，GC=2a，

∴GD=GC2+CD2=7a，

∴cosθ=cos∠DGC=GCGD=7）7.

點評：二面角的大小由平面角決定，因此構建二面角的平面角是傳統方法求二面角的關鍵和解決問題的切入點和突破口，所以本題的第二問恰當的作出兩個平面的公共棱，再向公共棱引垂線，構造三垂線定理的條件，從而找到二面角的平面角，轉化成解三角形的問題。