一類微分系統中心流形的隱函數計算方法

黃婷

摘 要：本文研究了一類三維非線性動力系統中心流形上流動隱函數形式級數計算方法，并給出了其代數公式，此公式是線性的，避免了復雜的積分運算，運用Mathematica系統軟件，基于代數遞推公式計算了三維微分系統中心流形上流的隱函數。該新算法為研究此類非線性動力系統的動力學問題，特別是穩定性、Hopf分支問題提供了很大的便利。

關鍵詞：中心流形；穩定性；Hopf分支；形式級數；計算機代數

中圖分類號：O322，O345

本文研究了一類三維非線性動力系統中心流形上流動隱函數形式級數計算方法，并給出了其代數公式，此公式是線性的，避免了復雜的積分運算，運用Mathematica系統軟件，基于代數遞推公式計算了三維微分系統中心流形上流的隱函數。該新算法為研究此類非線性動力系統的動力學問題，特別是穩定性、Hopf分支問題提供了很大的便利。

1 三維系統中心流形的形式級數

文[6]中給出了方法的實質，將二維分支系統形式級數的思想方法進行推廣，討論下列三維實解析系統：

其中，x，y，u，t，Akjl，Bkjl∈R（k，j，l∈N）。

同文[6]類似先利用復變換將系統（1）化為復自治微分系統：

（2）

其中，z，w，T，akjl ，bkjl，dkjl∈C（k，j，l∈N）。

并稱系統（1）與（2）互為伴隨系統。

定理1[ 6 ] 對系統（2），可逐項唯一確定形式級數：

確定；

確定；

2 算例與數學軟件的實現

考慮一類實三維系統中心流形的隱函數形式級數的計算問題。

其中a1，a2，b1，b2，d1，d2均為實變量。

同樣可以經過復變換將系統（7）化為復自治微分系統：

根據定理1，有：

推論1

2，3，…，則可逐項確定形式級數（3），使得（4）成立，且當k≠j或者k=j，l≠0時，ckjl可由下列遞推公式：

確定，對任一正整數m，？滋m可由下列遞推公式：

應用系統的強大符號運算功能，把推論1的公式編成運算程序，容易算出原點的前10個焦點量為：

實際上，系統（7）中心流形上流的方程在原點的所有焦點量為零，對應原點為中心或者稱在其原點鄰域可積。

利用推論1的遞推公式逐步計算出系數ckjl并通過逆變換：

可得系統（7）中心流形上的流的隱函數形式為：

其中，

下面考慮另一個三維系統：

同樣可以經過復變換將系統（12）化為復自治微分系統：

3 總結

本文研究了一類三維非線性動力系統中心流形上流動隱函數形式級數計算方法，并給出了其代數公式，此公式是線性的，避免了復雜的積分運算，運用Mathematica系統軟件，基于代數遞推公式計算了三維微分系統中心流形上流的隱函數。該新算法為研究此類非線性動力系統的動力學問題，特別是穩定性、Hopf分支問題提供了很大的便利。

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