非線性方程的數值解法中的二分法

何天榮

摘 要：代數方程的求根問題是一個古老的數學問題，早在16世紀就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世紀才證明高于5次的一般代數方程式不能用代數公式求解。因此，需要研究用數值方法求得滿足一定精度的代數方程式近似解。本文就二分法的理論、方法、例題方面進行闡述。

關鍵詞：非線性方程；數值解法；二分法

1 二分法的理論依據

定理1[ 1 ] （1）設f（x）于[a，b]上連續；（2）且f（a）·f（b）<0，則存在x*∈（a，b）使f（x*）=0，即f（x）在（a，b）內存在實的零點。

定理1的理論依據來源于數學分析閉區間上連續函數的介值性定理。敘述如下：

定理2（介值性定理）[ 2 ] 設函數f（x）于[a，b]上連續，且f（a）≠f（b）。若？滋為介于f（a）和f（b）之間的任何常數（f（a）<？滋？滋>f（b）），則至少存在一點x0∈（a，b），使得f（x0）=？滋。定理的證明參見[2]，而定理1稱為根的存在性定理，它是介質定理的特殊情況，即假設f（a）>0，f（b）<0或f（a）<0，f（b）>0情況下的介質定理中f（x）=0的結論。

2 二分法的過程敘述

設有非線性方程f（x）=0，其中，設f（x）為[a，b]上的連續函數且設f（a）·f（b）<0，用二分法求方程在（a，b）內的實根的過程，就是將含根區間逐步分半，檢查函數值符號的變化，以便確定含根的充分小區間。具體做法是：記a1=a，b1=b。

第1步分半計算（k=1）：

于是得到長度縮小一半的含根區間

第k步分半計算：

重復上述過程，設已完成第1步、…、現進行第k步分半計算：

總之，由上述二分法得到一序列；可用二分法求方程f（x）=0實根到任意指定的精度。

事實上

例 插用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在區間[3，4]內的根，精確到10-3，即誤差不超過

解：因為f（3）=-10<0，f（4）=9>0，

所以，方程在區間[3，4]上有根。

所以n=11，即只需要二分11次即可。

列表討論如下：

參考文獻：

[1] 易大義，沈云寶，李有法編.計算方法（第二版）[M].浙江大學出版社，2012.

[2] 華東師大數學系編.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.