基于響應面法的齒輪容差設計方法研究

王桂華，井海龍，史妍妍，陳云霞（.中航工業沈陽發動機設計研究所，沈陽005；.北京航空航天大學可靠性與系統工程學院，北京009）

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基于響應面法的齒輪容差設計方法研究

王桂華1，井海龍2，史妍妍1，陳云霞2
（1.中航工業沈陽發動機設計研究所，沈陽110015；2.北京航空航天大學可靠性與系統工程學院，北京100191）

摘要：隨著附件傳動系統不斷向高速、重載方向發展，齒面接觸可靠性問題越來越受關注。為提高齒輪可靠性，分析了齒輪傳動系統常見誤差類型及影響，開展了齒輪容差設計初步探討。根據齒輪制造、加工及系統動態誤差的產生原理和作用方式，基于齒輪接觸應力仿真結果，確定了影響齒輪接觸應力隨機性的5種主要誤差形式及其特征量分布規律，提出了基于響應面法的齒輪容差設計方法，給出了齒輪系統公差設計的改進方向：在進行齒輪公差設計時，重點控制H、V方向的軸向平行度公差。

關鍵詞：齒輪；容差設計；可靠性；接觸應力；隨機性；響應面；傳動系統；敏感性分析

引用格式：王桂華，井海龍，史妍妍，等.基于響應面法的齒輪容差設計方法研究[J].航空發動機，2016,42（3）1-6.WANG Guihua，JING Hailong，SHI Yanyan,et al.Methods of tolerance design for gears based on response surface methodology[J].Aeroengine，2016,42（3）：1-6.

0　引言

隨著航空發動機推重比不斷提高，附件傳動系統逐漸向高速、重載方向發展，越發嚴苛的工作條件也對傳動齒輪提出了更高的可靠性要求[1]。在航空發動機維修過程中發現，80%以上的齒輪失效是齒面接觸疲勞造成的[2]。因此，研究齒輪的齒面接觸應力可靠性，對提高附件傳動系統及發動機整體工作的可靠性意義重大。

齒輪的工作可靠性受到多種隨機因素的綜合作用，其中制造、加工及系統動態誤差的存在是隨機性產生的主要原因。文獻[3]針對不同軸線平行度偏差對某附件機匣傳動系統軸系結構的影響進行對比仿真分析；文獻[4]建立了帶有安裝與制造誤差的齒輪參數化模型，并對其進行動態仿真，得到齒輪在安裝與制造誤差影響下的動態接觸應力；文獻[5]針對斜齒輪進行建模及仿真，分析了齒輪在齒側間隙誤差和軸平行度誤差下力學性能的變化；文獻[6]得到了齒形誤差及公差對齒輪振動的影響。

以上研究僅針對單一誤差對齒輪傳動系統齒輪性能的影響做了分析，而對于多種誤差協同作用對齒輪性能的影響，及每種誤差因素的影響程度，并沒有給出明確的結論。

本文根據齒輪制造、加工及系統動態誤差的產生原理和作用方式，確定了影響齒輪接觸應力隨機性的5種主要誤差形式及其特征量分布規律，提出了基于響應面方法的齒輪公差設計方法，并給出了齒輪系統公差設計的改進方向。

1　齒面接觸應力隨機性模型的構建

1.1齒輪加工誤差的影響分析

受到機床加工精度等客觀因素的限制，在齒輪加工過程中不可避免會存在一定的誤差。根據對齒輪傳動性能的影響，歸納為主要影響傳遞運動準確性、傳動平穩性和載荷分布均勻性的3組誤差項。其中，影響齒面接觸應力可靠性的主要是第2、3組，見表1。

1.2齒輪裝配誤差的影響分析

發動機附件機匣通常采用多平行軸齒輪傳動系統，裝配中主要存在以下2類誤差：

（1）中心距偏差（Δfa）。是指在齒輪副的齒寬中間平面內，實際中心距與公稱中心距之差。

（2）軸線平行度誤差。是指1對齒輪的軸線分別在2個基準平面上投影的平行度誤差（在等于齒寬的長度上測量），具體分為軸線平面內的偏差（fΣδ）和垂直平面上的偏差（fΣβ），簡稱H、V方向的軸線平行度誤差。具體形式如圖1所示。

表1 影響齒面接觸應力的加工誤差

圖1 齒輪系統裝配誤差[7]

1.3齒輪系統動態誤差的影響分析

齒輪系統動態誤差是指齒輪系統受到溫度、振動和工作載荷等綜合作用時，由其裝配環境的變化引起的誤差類型。該類誤差一般與齒輪裝配誤差相互耦合，可以累加入裝配誤差之中。

本文主要針對影響齒輪接觸應力的誤差類型進行研究，根據每類誤差的形成原理和作用方法，結合工程經驗，篩選出影響齒輪接觸應力的2類加工誤差和3類裝配誤差，如圖2所示。

根據齒輪產品在機械加工裝配過程中各設計參數分布的特性，結合齒輪傳動系統的實際設計資料，以附件機匣1對齒輪為例，得到了其5類誤差參數，見表2。

圖2 影響齒輪接觸應力的誤差類型

表2 齒輪公差信息

1.4構建誤差齒輪模型

本文在標準齒輪副應力仿真的基礎上，考慮齒輪存在的誤差類型，根據各類誤差的定義或常見形式，將其直接或間接轉化后加入到常規標準齒輪副中形成齒輪誤差模型，進行基于有限元的誤差齒輪應力仿真。

根據定義，構造齒輪副中心距偏差和軸線平行度誤差，如圖3、4所示；將分度圓齒厚誤差轉換成齒輪某1齒面的偏置，如圖5所示；在齒輪實際生產制造中，多數齒形誤差為中凹型，且齒形誤差一般處于齒面中部，所占齒面面積約為1/2，因此，針對齒輪模型構造中凹齒形誤差輪齒，如圖6所示。

圖3 中心距偏差建模

圖4 軸線平行度誤差

1.5誤差齒輪的接觸應力仿真分析

采用有限元方法進行上述5種誤差因素協同作用下的齒輪接觸應力仿真分析。根據表2確定的誤差分布規律，隨機抽樣確定有限元仿真的誤差參數組合，同時利用有限元瞬態動力學仿真確定最大應力出現的相位，從而建立處于最大應力相位的齒輪誤差模型，進而采用有限元靜力學仿真進行基于齒輪誤差模型的應力仿真分析。具體流程如圖7所示。

圖5 分度圓齒厚誤差

圖6 齒形誤差

圖7 基于誤差的齒輪應力仿真流程

2　基于響應面的齒輪系統公差設計

2.1基本原理

基于響應面的齒輪公差設計，首先根據齒輪誤差參數的分布類型進行抽樣，確定誤差參數仿真集，利用誤差齒輪的接觸應力仿真分析方法確定誤差參數及對應的齒輪接觸應力大小，根據抽樣樣本及對應的應力仿真結果建立齒輪系統應力與誤差參數的響應面模型；其次根據響應面模型進行誤差參數敏感性分析，確定其每種誤差參數的敏感性及單因素條件下的最壞情況，再進行綜合誤差因素最壞情況分析，確定綜合誤差因素下的最大應力，若2種最壞情況的最大應力任何1個不滿足要求，則計算其可靠度，若可靠度不滿足要求，則需找出最壞參數組合，進而根據單因素敏感性分析結果進行參數的優化設計，具體流程如圖8所示。

2.2齒輪系統接觸應力響應面模型構建

響應面法[8]的基本原理是：首先假設1個包含未知系數的、由狀態變量與基本變量構成的解析表達式，然后用擬合的方法確定未知系數以表達隱式函數或高度非線性函數。多項式系數的確定一般以試驗設計為基礎，應用正交設計或均勻設計回歸得到特定因子的最小二乘估計。采用該方法時，隨機變量的個數越多，試驗次數便越多。

圖8 基于響應面的齒輪系統公差設計

在結構力學分析領域，響應面函數模型常采用2階多項式形式[9]

式中：a、bi、ci、di為待定系數；xi和xj（i=1,2,…,n;j=1,2,…，n-1）為基本變量。

由于齒輪誤差種類較多且具有截尾分布的特點，在保證抽樣結果合理性的同時，考慮仿真分析的效率。本文采用超拉丁立方[10]抽樣得到80次仿真的樣本值，建立齒輪系統試驗誤差組合集，并進行誤差齒輪的接觸應力仿真分析。

利用前70組數據進行響應面建模，后10組數據進行響應面模型的驗證。利用完全2階多項式對前70組數據擬合得到接觸應力的響應面模型

表3 響應面模型驗證結果

式中：σ為接觸應力；X11為分度圓齒厚誤差，單位為mm；X1為有限元仿真輸入參數，反映了分度圓齒厚誤差，單位為mm；X2為齒形誤差，單位為mm；X3為中心距偏差，單位為mm；X4為H方向軸向平行度誤差，單位為°；X5為V方向軸向平行度誤差，單位為°。

利用后10組數據進行接觸應力模型的驗證，驗證結果見表3。

從表中可見，齒輪系統接觸應力響應面模型預測結果與仿真分析結果誤差在10%以內，認為模型可以作為后續分析的依據。

利用協方差矩陣進行貢獻率分析，得到分度圓齒厚誤差、齒形誤差、中心距偏差和H、V方向軸向平行度誤差這5種誤差參數對應力分析結果的貢獻率[11]分別為26.5874%、22.8871%、20.8440%、18.2140%和11.4675%。

圖9 齒厚誤差敏感性分析結果

2.3誤差參數敏感性分析

敏感性分析是指從定量分析的角度研究有關因素發生某種變化對某1個或1組關鍵指標影響程度的1種不確定分析技術。其實質是通過逐一改變相關變量數值來解釋關鍵指標受這些因素變動影響大小的規律。

圖10 齒形誤差敏感性分析結果

分別將不同的齒輪誤差因素設為單一變量，通過固定其它4種誤差因素，對每種誤差因素進行齒輪接觸應力敏感性分析。

首先以齒厚誤差為例，分別固定齒形誤差、中心距偏差和H、V方向軸向平行度誤差為均值，分析齒厚誤差對齒輪系統接觸應力的影響，如圖9所示。

圖11 中心距偏差敏感性分析結果

圖12 軸向平行度偏差敏感性分析結果

從圖中可見，在固定齒形誤差、中心距偏差和H、V方向軸向平行度誤差這4個誤差因素的條件下，分度圓齒厚誤差在[0.07，0.14]范圍內變化時，齒輪的接觸應力范圍為[744.7，762.8]，應力幅值相對于應力均值的變化率為0.045%，變化不明顯。

以此類推，得到：

（1）齒形誤差在[0.003，0.006]范圍內變化時，齒輪的接觸應力范圍為[704.7，761.9]，應力幅值相對于應力均值的變化率為4.04%，變化不明顯，如圖10所示。

（2）中心距偏差在[-0.015，0.015]范圍內變化時，齒輪的接觸應力范圍為[761.1，814.5]，應力幅值相對于應力均值的變化率為3.39%，變化不明顯，如圖11所示。

（3）H方向軸向平行度誤差在[-0.0572，0.0572]范圍內變化時，齒輪的接觸應力范圍為[761.9，1045.4]，應力幅值相對于應力均值的變化率為15.7%，變化明顯；V方向軸向平行度誤差在[-0.0572，0.0572]范圍內變化時，齒輪的接觸應力范圍為[758.5，834.2]，最大應力相對最小應力變化4.75%，變化不明顯，如圖12所示。

根據單誤差因素敏感性分析結果，確定各誤差參數的敏感性由高到低為：H方向軸向平行度誤差、V方向的軸向平行度誤差與齒形誤差、中心距偏差和分度圓齒厚誤差。因此，在進行公差設計時，應按上述敏感性從高到低考慮。

2.4綜合誤差因素最壞情況分析

最壞情況分析法是1種按照不常發生的最壞使用條件的組合為基礎，進行確保系統可靠性要求的設計方法[12]，是1種非概率統計方法，用來分析系統的設計參數和各種內、外影響因素的參數處于最壞情況或最壞組合情況下的系統性能參數偏差。對于大規模復雜系統來說，用其分析各類參數處于最壞情況下系統的性能是否還滿足指標要求，并找出導致系統性能參數處于最壞情況下的設計參數和影響因素的組合規律。

應用該方法的前提是假設各類影響因素對系統的影響是呈單調性的，即影響因素的參數取標稱值時系統處于最理想狀態，其參數偏離標稱值越大對系統的影響也越大[13]。由敏感性分析可知，本文研究的5個誤差因素只有H、V方向的軸向平行度誤差對系統的影響呈現單調性。結合接觸應力的響應面模型，采取仿真與數值分析相結合的方法進行最壞情況分析，H、V方向的軸向平行度誤差2個參數采取上、下極限值全面組合的方法，其余3個參數采取數值分析的方法進行3參數下的最大應力分析。具體流程如圖13所示。

圖13 綜合因素最壞情況分析流程

分別對H、V方向軸向平行度誤差的極限值（± 0.0572°）進行全面組合，確定分度圓齒厚誤差、齒形誤差和中心距偏差3參數的響應面，利用數值的方法確定其最大應力，分析結果見表4。

表4 綜合因素最壞情況分析結果

齒輪的接觸疲勞極限為1500 MPa，其設計安全系數為1.0。從表中可見，在極限1、4狀態下，不滿足齒輪接觸應力的要求。

2.5基于響應面的齒輪系統可靠度分析

將齒輪的齒面安全系數作為可靠性分析的指標，由齒輪設計要求可知齒輪齒面的計算安全系數不能小于設計安全系數。因此，齒輪副的可靠度定義為在隨機誤差綜合影響下齒輪副的計算安全系數不大于設計安全系數的概率，表達式如下

式中：R為齒輪副可靠度；n為齒輪齒面的計算安全系數；ns為齒面設計安全系數。齒根的安全系數定義為[14]

式中：σHlim為材料的接觸疲勞極限；σH為齒輪齒面應力。

本文基于蒙特卡洛思想[15]，根據齒輪誤差因素的分布特點，對其公差構成的隨機變量進行大量重復抽樣，將樣本值帶入響應面模型，確定每組誤差組合的接觸應力響應，得到每組誤差組合下的安全系數，利用式（4）計算其可靠度為0.9923。

3　結論

本文根據齒輪制造、加工及系統動態誤差的產生原理和作用方式，確定了影響齒輪接觸應力隨機性的5種主要誤差形式及其特征量分布規律，提出了基于響應面方法的齒輪公差設計方法，并給出了齒輪系統公差設計的改進方向。

分析結果表明：影響齒輪接觸應力隨機性的誤差主要有5種，即分度圓齒厚誤差、齒形誤差、中心距偏差和H、V方向軸向平行度誤差。在進行齒輪公差設計時，應重點控制H、V方向的軸向平行度誤差。

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（編輯：栗樞）

Methods of Tolerance Design for Gears Based on Response Surface Methodology

WANG Gui-hua1，JING Hai-long2，SHIYan-yan1，CHEN Yun-xia2
（1.AVIC Shenyang EngineDesign and Research Institute，Shenyang 10015；2.School of Reliability and Systems Engineering，Beihang University，Beijing 100191）

Abstract:With the accessory driving system takes the way towards the high speed and heavy load,the contact reliability of aviation gears make more sense. In order to improve the reliability,the common error types and effects of gear driving system were analyzed,and the study of tolerance design was proposed.According to gear rtypes and their characteristics of the random error of the contact stress of the gear were determined on the basis of the simulation results.Moreover,a method of gear tolerance design based on response surface was proposed and the improvement direction of tolerance design of gear system was given:the tolerance for the direction of H and V should be mainly controlled during the tolerance design.

Key words:gear；tolerance design；reliability；contact stress；randomness；response surface；driving system;sensitivity analysis

中圖分類號：V215.1

文獻標識碼：A

doi：10.13477/j.cnki.aeroengine.2016.03.001

收稿日期：2015-12-30基金項目：航空動力基礎研究項目資助

作者簡介：王桂華（1965），女，博士，自然科學研究員，從事航空發動機強度與可靠性設計工作；E-mail：wangguih@sina.com。