基于加權最小二乘法的供水管網節點流量校核

范江 杜坤 周明 徐冰峰 龍天渝

摘要：管網水力模型是實現供水系統現代化管理的重要工具，要使水力模型能比較準確地反映管網真實運行狀態，達到預期使用目的，其中的參數需要校核。將管網節點流量校核作為優化問題，采用加權最小二乘法逐步迭代求解，與已有研究相比，采用矩陣分析法推導供水管網雅克比矩陣解析式，引入水量分配矩陣聚合節點流量，將欠定問題轉化為超定，提高了校核的計算效率和結果的可靠性。采用簡單管網闡明了雅克比矩陣的計算、節點流量的聚合及梯度向量的構造，利用實際管網驗證了方法的實用性。

關鍵詞：供水管網；節點流量校核；加權最小二乘法；雅克比矩陣；解析式

中圖分類號：TU 991.32

文獻標志碼：A 文章編號：1674-4764（2016）03-0073-07

Abstract：Hydraulic model of water distribution systems （WDSs） is an essential tool to realize modernization management of WDSs. To make the model capable of reflecting the systems behavior with reasonable accuracy and achieving intended purposes， the parameters in it should be calibrated. The nodal demand calibration of WDS models is formulated as a nonlinear optimization problem， which is then solved iteratively using weighted least squares method. Comparing to previous studies， the proposed method deduces the analytical solution of Jacobian matrix of WDSs based on matrix analysis method， and translates the under-determined problem to over-determined by aggregating the nodal demand using demand allocation matrix， such that the computational efficiency and the reliability of calibration results were improved. A simple network is used to illustrate the computation of Jacobian matrix， the construction of gradient vectors and the aggregation of nodal demand. The practicability of the method is further validated by a real network.

Keywords：water distribution system； nodal demand calibration； weighted least squares algorithm； jacobian matrix； analytical solution

管網水力模型不僅能用于指導供水調度、優化運營管理，還是開展其他相關研究的基礎，如管網水質模擬、突發性水質污染事件預警與定位等。隨著社會經濟發展，各地自來水廠開始投入大量人力與財力構建或完善管網水力模型。管網水力模型校核，或稱管網參數校正，是指通過調整模型中預先設置的水力參數，使模型計算值與監測值匹配的過程，其目的在于使構建的水力模型能比較準確地反映管網的真實運行狀態，達到預期使用目的。在構建的管網水力模型中，由于節點流量隨時間不斷發生變化，為時間“常變量”，需要進行實時校核[1]。

針對管網節點流量校核，吳學偉等[2]嘗試以節點水壓為已知量計算節點流量，并采用實驗室管網進行驗證，結果表明，對實驗室小型管網狀態估計精度較高，但對于實際大型管網的工況分析有待進一步研究。叢海兵等[3]從管網實時模擬角度出發，提出狀態估計的數學模型并采用簡約梯度法求解。Shang等[4]利用卡爾曼濾波法校核管網節點流量，該法利用上一步的節點流量作為校核初值以提高計算效率。鑒于管網中監測點數少于節點數，Cheng等[5-6]采用截斷奇異矩陣分解法求解欠定優化問題實現了節點流量校核。Preis等[7]嘗試采用遺傳算法實時校核節點流量，為提高收斂速度，利用M5算法對節點流量進行預先估計。此外，目前最廣泛使用的WaterGEMS、InfoWorks WS等商業軟件也采用遺傳算法校核管網水力模型[8]。然而，遺傳算法的參數設置對算法性能影響較大，其本身就是個優化問題，要求校核人員具有相關的數學知識，且需要依據多次運算收斂情況判斷參數設置是否合理，會導致使用困難與計算量大等缺點。例如，中國很多水廠都花費巨資購買上述軟件，但實際使用效果并不理想。再者，Vassiljev等[9-11]的最新研究表明，當大型管網變量個數大于10時，遺傳算法計算時間長達數小時，無法實現節點流量的實時校核?？傊?，如何提高節點流量校核的計算效率及校核結果可靠性仍是管網研究領域的熱點與難點問題。

加權最小二乘法是高斯–牛頓算法的變形，不僅計算效率高，還能通過調整權重系數提高校核結果的可靠性，被廣泛用于解決各類實際工程問題。鑒于節點流量實時校核要求較高的計算效率，筆者深入研究了基于加權最小二乘法的管網節點流量校核，相較于以往研究，采用矩陣分析法推導供水管網雅克比矩陣解析式，引入水量分配矩陣將節點流量聚合減少未知量個數，提高了校核的計算效率與結果的可靠性。

1 基于加權最小二乘法的節點流量校核框架

由于實際管網中監測點個數小于節點數時，式（6）中的聯合雅克比矩陣[JH（Qk）； Jq（Qk）]的行數小于列數，即約束個數少于未知量個數，解不唯一。針對該欠定問題，最常用方法是將具有相似用水特征的節點流量賦予相同的用水乘子或聚合（二者不存在本質區別），進而將欠定問題轉化為超定進行求解。筆者也采用最通用的節點流量聚合法，不同之處在于，通過引入水量分配矩陣進行節點流量聚合，有助于簡化運算并易于編程。圖1為節點流量校核流程圖，其中包括校核模塊與正計算模塊，二者將對方的輸出作為輸入反復運算直至ΔQ達到規定精度ε，文中ε=0.01。

3 節點流量聚合及梯度向量計算

由于實際管網中監測點數遠少于節點數，節點流量校核為欠定問題，不存在唯一解。Waslki[16]最早提出采用節點流量聚合法將欠定問題轉化為超定進行求解，隨后該方法被絕大多數學者認可，如WaterGEMS、InfoWorks WS等商業軟件都采用了該方法。為簡化運算、便于編程，引入水量分配矩陣Gd進行節點流量聚合。對管網中的n個節點，若分為l組，則水量分配Gd為n×l矩陣，其中，元素取值為各節點的基礎需水量與對應聚合流量的比值。基于管網雅克比矩陣及水量分配矩陣，梯度向量能計算為

式中：[JH（Qg）； Jq（Qg）]為聚合流量的梯度向量；下標ob代表與觀測值對應的雅克比矩陣行向量。但值得說明的是，供水管網的節點流量聚合并非易事，從工程經驗來看，節點流量聚合是基于管網中某些節點流量具有相似用水特征；而從數學角度來看，節點流量聚合的實質是一種提高參數敏感度的參數化方法，其目的是通過犧牲解的分辨率來控制解的方差。通常節點用水類型劃分越細，解的分辨率越高，但解的方差會很大，很小的觀測誤差都可能導致極大的解誤差，甚至不切實際的解，尤其在利用有限水壓監測值進行節點流量校核時，水壓監測誤差甚至會被放大2～3個數量級，因此，節點流量聚合的關鍵是如何在在分辨率與誤差間取得折衷。

一些建模者認為，應先明確管網中各節點的用水類型，然后進行“精細”分類，最后再聚合。但實際中上述做法很難實現，一方面，管網水力模型中節點流量代表的是某個區域的用水量，其本身就包含了不同特征用水；另一方面，統計管網中各節點用水特征工作量巨大，尤其對未構建地理信息系統的管網。此外，若將漏損等不確定因素納入考慮，準確劃分節點用水類型甚至不可能。

Sanz等[17]的最新研究表明，相較于根據節點實際用水特征進行參數化，根據節點地理位置進行流量聚合得到的校核結果精度高、方差小，這是由于相同地理位置的聚合流量對監測值敏感度更高，能形成單因子濾波，使校核結果可靠性更高。Du等[18]認為可將變異系數（σ/μ）作為校核結果的可靠性評價指標，同時，結合管網的主要用水特征進行流量聚合，一方面保證校核結果的可靠性，另一方面使校核結果盡量與管網實際用水特征相符。鑒于本文的重點在于闡明整體校核框架，對節點流量的參數化方法及誤差分析不做進一步探討，相關內容可參見文獻[18]。

4 案例分析

4.1 案例1

利用圖3的實際管網進一步驗證算法可行性。該管網水力模型中僅保留了DN200及以上管道，包括103根管道與85個節點。根據管道的管材與管齡，管道的海曾威廉系數估計為115。根據水廠提供的用水信息，供水區域大致分為工業區與居民區，其中，工業區內主要包括4個集中水點，其用水量占總用水總量的約50%。

在校核管網水力模型前，將平均時用水量作為節點基本用水量，除了4個集中用水點外，假設居民與未計量用水沿管線長度平均分配，并具有相同的用水模式。根據監測的水泵供水量變化曲線確定用水模式，對管網進行延時狀態下水力模擬。限于篇幅，僅給出了某天24 h水泵水壓與流量的監測值與模型計算值，詳見圖4。其中，節點水壓平均誤差為1.1 m、監測流量平均誤差33 m3/h，模型計算值與監測值相差不大，故該管網水力模型能基本反映管網的真實運行狀態。

值得說明的是，在利用優化算法校核節點流量前，必須先對管網進行初步的宏觀校核，控制模型計算值與監測值的差在一定范圍內。如果發現模型計算值與監測值誤差異過大，一般當水壓差>3 m、流量差>15%時，應復核水泵曲線、檢查管網拓撲結構或節點標高是否出錯，必要時應進行實地勘察。

在利用所提出算法校核管網節點流量時，為保證校核結果可靠性，控制其變異系數σ/μ≤0.1。通過分析7個監測值對應雅克比矩陣向量，并結合該管網主要用水特征，將區域內節點分為2組。限于篇幅原因，表4僅給出了第10時監測值與校核前后模型計算值，整個校核過程花費時間小于5 s。

根據表4可知，在校核節點流量后，并非所有模型計算值與監測值的差都減小，相反有些節點的差會略微增大，一部分原因是由于影響模型計算值的參數除了節點流量外，還包括管道阻力系數、節點標高等?？傮w而言，模型計算誤差的絕對平均值有明顯下降，這表明校核后的模型能更準確地反映真實管網運行狀態，由此可見，所提出方法能用于實際管網節點流量校核。

5 結 論

探討了基于加權最小二乘法的供水管網節點流量校核，應用矩陣分析法推導供水管網雅克比矩陣的解析式，采用節點流量聚合法將欠定問題轉化為超定進行求解；將所有計算過程轉化為簡潔的矩陣運算，提高了校核的計算效率與結果可靠性。案例分析結果表明，所提出方法計算效率高，能用于實際管網節點流量校核。

對實際管網節點流量校核，如何合理聚合節點流量是關鍵，通常當管網中節點流量呈現明顯同步變化特征時，節點流量聚合法更適用。此外，吉洪若夫正規化與截斷奇異矩陣分解法也能求解該類欠定問題，由于3種方法數學機理不同，對不同規模、不同類型管網的適用性問題有待進一步研究。

參考文獻：

[1] KANG D， LANSEY K. Demand and roughness estimation in water distribution systems [J]. Journal of Water Resources Planning and Management， 2010， 137（1）： 20-30.

[2] 吳學偉， 趙洪賓.給水管網狀態估計方法的研究[J]. 哈爾濱建筑大學學報， 1995， 28（6）： 60-64.

WU X W， ZHAO H B. Study of state estimation of water supply system [J]. Journal of Harbin University of Civil Engineering and Architecture， 1995， 28（6）： 60-64. （in Chinese）

[3] 叢海兵， 黃廷林.給水管網的狀態模擬[J]. 西安建筑科技大學學報（自然科學版）， 2004， 35（4）： 343-346.

CONG H B， HUANG T L. State simulation of water supply system [J]. Journal of Xi′an University of Architecture & Technology （Natural Science Edition）， 2004， 35（4）： 343-346. （in Chinese）

[4] SHANG F， UBER J G， VAN BLOEMEN WAANDERS B G， et al. Real time water demand estimation in water distribution system [C] // 8th Annial Water Distribution Systems Analysis Symposium， 2006： 1-14.

[5] CHENG W， HE Z. Calibration of nodal demand in water distribution systems [J]. Journal of Water Resources Planning and Management， 2010， 137（1）： 31-40.

[6] CHENG W P， YU T C， XU G. Real-time model of a large-scale water distribution system [J]. Procedia Engineering， 2014， 89： 457-466.

[7] PREIS A， ALLEN M， WHITTLE A J. On-line hydraulic modeling of a water distribution system in Singapore [J]. American Society of Civil Engineers， 2012（425）： 1336-1348.

[8] WU Z Y， WALSKI T M. Effective approach for solving battle of water calibration network problem [J]. Journal of Water Resources Planning and Management， 2011， 138（5）： 533-542.

[9] VASSILJEV A， KOPPEL T. Estimation of real-time demands on the basis of pressure measurements [C] // Proceedings of the 8th International Conference on Engineering Computational Technology， Stirling， United Kingdom： Civil-Comp Press， 2012： 54.

[10] PUUST R， VASSILJEV A. Real water network comparative calibration studies considering the whole process from engineer's perspective [J]. Procedia Engineering， 2014， 89： 702-709.

[11] VASSILJEV A， KOPPEL T. Estimation of real-time demands on the basis of pressure measurements by different optimization methods [J]. Advances in Engineering Software， 2015， 80（1）： 67-71.

[12] LANSEY K E， EL-SHORBAGY W， AHMED I， et al. Calibration assessment and data collection for water distribution networks [J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2001， 127（4）： 270-279.

[13] KANG D， LANSEY K. Real-time demand estimation and confidence limit analysis for water distribution systems [J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2009， 135（10）： 825-837.

[14] PEREZ R， PUIG V， PASCUAL J， et al. Pressure sensor distribution for leak detection in Barcelona water distribution network [J]. Water Science and Technology： Water Supply， 2009， 9（6）： 715.

[15] MéNDEZ M， ARAYA J A， SANCHEZ L D. Automated parameter optimization of a water distribution system [J]. Journal of Hydroinformatics， 2013 15（1）， 71-85.

[16] WALSKI T. Technique for calibrating network models [J]. Journal of Water Resources Planning and Management， 1983， 360 （4）， 360-372.

[17] SANZ G， PREZ R. Sensitivity analysis for sampling design and demand calibration in water distribution networks using the singular value decomposition [J]. Journal of Water Resources Planning and Management， 2015， 141（10）：1-9.

[18] DU K， LONG T Y， WANG J H， et al. Inversion model of water distribution systems for nodal demand calibration[J]. Journal of Water Resources Planning and Management， 2015， 141（9）：1-12.

（編輯 胡英奎）