基于“三個理解”的“有序數對”教學設計

☉浙江省臺州市白云中學　張安軍

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基于“三個理解”的“有序數對”教學設計

☉浙江省臺州市白云中學張安軍

2016年3月某校舉辦第四屆“青藤懷”青年教師優質課評比活動，課題內容為“有序數對”（人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》七年級下冊第七章第一節）.其實在小學階段，學生對用“數對”表示具體情境中物體的位置就有了一定的了解.本節課中結合已有的知識和生活經驗，進一步感受用“有序數對”表示物體位置.教材內容是從生活中常見的幾個例子出發，如電影院的座位、教室中學生的座位.電影院中的座位，如9排7座和7排9座中雖有兩個相同的數，但兩者位置完全不同，從而引出“有序數對”概念，利用“有序數對”可以確定位置.這節課從教材編排來看，篇幅較小，沒有例題，內容簡單.身為評委，發現在賽課的過程中，部分參賽教師為了加強對有序數對概念的理解，反復操練.如報出有序數對，讓學生起立；或者學生起立，其余同學報出有序數對.教師的教學僅停留在第幾排第幾座位置之類的生活常識上，對于如何選擇起始點，如何把整數格點推廣到實數對點，如何從第一象限上的點推廣到其他象限上的點，以及那些能激起學生思維沖突的地方避而不談.還有部分參賽教師在有序數對概念教學上僅用了5 至10分鐘左右，學生的主要精力在做與本節內容關系不強的拓展性題目的練習上（如練習，a、b兩數均為正整數，且也是正整數，則有序數對有多少對？），沒有挖掘“有序數對”概念課中所蘊含的一一對應思想、數形結合思想，沒有讓學生經歷活動或探究等形式體悟數學思想方法，把概念課變成了機械演練的習題課.小學中用“數對”確定位置，初中教材在其基礎上用“有序數對”確定位置，面對這樣的課我們如何銜接，如何承上啟下，如何實現從教教材到用教材的超越？人民教育出版社中數室章建躍先生提出的“三個理解”是指“理解數學”“理解學生”“理解教學”，筆者極為贊同.下面是筆者基于“三個理解”下對“有序數對”教學的再認識.

一、理解數學，突出數學思想

正如章建躍先生所言，“理解數學是教好數學的前提，大量課堂觀察表明，數學教學質量低下的原因，追本溯源，主要來自于教師的數學理解不到位.”［1］數學教學教的是數學，只有教師清楚知識的發展過程與發展方法，他才能帶領學生“重演”知識的萌芽期、生長期、成熟期，才能讓學生學到“有根、有血有肉的知識”，進而把“過程與方法目標”落到實處.［2］數學意義上的“有序數對”來源于現實生活中的幾排幾座，但又是對現實生活中這樣一類位置，從定性到定量的抽象和概括.“點—直線、射線、線段—角”是構成圖形的基本要素，就如造房子離不開沙子、磚頭、水泥一樣，可見點在幾何圖形中的重要作用.要對幾何圖形進行數量化，關鍵是如何刻畫點的數量化.學習用有序數對確定位置，學生不僅會用有序數對表示點的位置確定，更要體會這背后的數學價值.有序數對和點的位置的一一對應，如果從更高的高度看，就是法國數學家笛卡爾的坐標思想.由于點不能運算而數可以運算，如果能使數與點一一對應，就可以將點轉化為數，從而可以用代數方法來研究幾何想法，以及能使數與點建立一一對應.笛卡爾就用平面直角坐標系中的點來描述平面上的點，從而實現“形”向“數”轉化和統一，開創了解析幾何.

有序數對是平面直角坐標系的章前課，它是后繼學習平面直角坐標系和用坐標表示平移的基礎，所涉及的坐標思想和確定位置的方法是后繼學習“圖形與坐標”“函數與圖像”“曲線與方程”的理論基礎.從能力層面看，它是學生從一維向二維過渡的基礎，是學生訓練數形結合思想很好的載體.

二、理解學生，關注思維特點

影響課堂教學成功與否最根本的因素是學生的學，因此著名教育學家奧蘇貝爾有至理名言：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學習的唯一最重要因素，就是學生已經知道了什么，要探明這一點，并應據此進行教學.”因此，教師在進行教學設計時，要換位思考，站在學生的立場，了解學生的學習心理，了解學生的認知結構，了解學生在思維深刻性方面的能力的不足，根據學生的認知基礎、認知心理及認知障礙等來設計與實施課堂教學.［2］在“有序數對”這節課中，學生的認知起點在哪里？學生已經知道了什么呢？其實“用數對確定位置”在小學的各種版本的教材中都有這么一節課，各種版本的教材中用數對表示位置都有這樣的約定：“列在前排在后”，這種約定與日后學習平面直角坐標系的方法相一致.對于這節課，《數學課程標準（2011版）》在第二學段（四至六年級）要求“在具體情境中，能用方格紙上的整數對表示位置，知道數對與方格紙上的點對應（例37）”.

例37：小青坐在教室的第3行第4列，請用數對表示，并在方格紙上描出來.在同樣的規則下，小明坐在教室的第1行第3列應當怎樣表示？

［說明］需要先在方格紙上標明正整數刻度，希望學生能夠把握數對與方格紙上點（行列或者列行）的對應關系，并且知道不同的數對之間可以進行比較.這個過程有利于學生將來直觀理解直角坐標系.

同樣，對于“有序數對”，《數學課程標準（2011版）》在第三學段（七至九年級）要求“結合實例進一步體會用有序數對可以表示物體的位置”.那么到底體會到何種程度呢？結合教材，考慮到本節課是學生學習實數之后，數的范圍從有理數擴充到實數，在實數這一章中學生已經理解數軸上的點與實數是一一對應的，本節課是章前課，它的后繼內容是“平面直角坐標系”，作為章引言，讓學生感受到在日常生活的事例中，用數對確定位置，或者位置由數對刻畫，體會這兩者之間的對應關系，使平面有序和結構化，從而體會到學習本章內容的意義.其次是從小學中的整數對拓展到實數對，本節課教學目標主要不在于用“有序數對”找位置，而是要為下一節課“平面直角坐標系”的理解提供直觀的認識.

三、理解教學，注重概念自然生成

理解教學是指教師清楚教學的本質與功能，掌握一定的教學方法與教學藝術，清楚學生的認知規律和教學的基本原則，能夠把教與學作為有機的、統一的、相互促進的整體來加以處理.［3］具體聯系本節課，通過創設幾個有趣的活動，讓學生在活動中積累經驗，并提升其做的經驗，使它上升為數學思想方法.具體地說，本節課中，在活動中讓學生體驗坐標思想、數形結合思想.在教學設計時應體現下列理念、思路與方法.

首先，通過創設現實世界中幾個與有序數對相關的實例，讓學生感受數學來源于現實，又高于現實.在學生最近發展區提出問題，并用與已有的認知基礎和認知策略相適應的方法構建“有序數對”概念.讓概念的生成做到真實、自然而有效.

其次，數學是思維的科學，數學教學應盡可能提出有層次的問題.好的問題是開啟學生思維的動力，能有效地發展學生的能力與思維，數學教學應該是一個教師指導下學生在活動和操作中發現數學問題與數學結論的過程.

第三，在理解教材的基礎上合理地開發教材，不拘泥于教材的局限，增強“課標意識”和“用教材教的意識”，突破人為設置的、不合理的課時內容間的界限，強化單元教學、整體教學意識.［2］

四、教學過程設計與分析

1.問題情境

問題1：2015年世界反法西斯戰爭勝利70周年紀念日，天安門廣場上出現了壯觀的閱兵儀式，如圖1、圖2、圖3所示，你知道它是怎么組成的嗎？其中用到了哪些數學知識？

圖1

圖2

圖3

師：參加圖案表演的每個士兵都根據隊列要求，按排號、列號站在一個確定的位置.隨著信號開始，整個隊伍的方陣就組成整齊的圖案.類似于用“第幾排第幾列”來確定同學的位置，在數學中通常建立平面直角坐標系，用具有特定含義的兩個數來刻畫點的位置.本章學習平面直角坐標系這一重要工具后，同學們會發現，運用數學解決問題的能力又有提高了.比如，同學們學習有序數對后，就會設計一些簡單漂亮的圖案了.

設計說明：利用多媒體播放世界反法西斯戰爭勝利70周年的錄像，然后選擇一些典型性的圖片，將章引言適當改變，激發學生學習的興趣，在學生觀看圖片的基礎上提出問題，引發學生用數學眼光審視畫面中的圖片.然后介紹本章要學習的內容及意義.

問題2：如果你是導演，想讓圖4上標有圓圈的這個缶亮起來，你會如何描述它的位置？

問題3：如圖5，文章中有一處錯別字，如何告訴同學這一處的位置？

問題4：如果一輪船在大海中作業時突發危險，船長應如何向警方描述他的位置？

圖4

圖5

追問1：上述三個問題在確定物體的位置時，都有什么共同點？

追問2：你會用更簡潔的符號表示它的位置嗎？

設計說明：在現實生活中，用數對確定位置的例子，體現了數學是研究與刻畫現實世界的模型.三個問題情境都指向共同的目標，即為了準確描述位置，需要從定性到定量，從粗略到精確去加以刻畫.當學生都能用第幾列第幾排去描述時，老師再次引導歸納出描述位置的共同特征用到兩個數，如何簡化這一表示方法呢？遵循小學學習“用數對描述位置”的規定：列數在前，排數在后.然后回顧用數對表示位置時這一表示方法的注意點.

2.建構活動

［建構活動1］

問題5：如圖6，約定：列數在前，排數在后.說出下列數對：（3，5）、（5，3）、（2，4）、（4，2）所對應班級的同學。

圖6

圖7

追問1：按照上述約定，（3，5）和（5，3）是同一個位置嗎？（2，4）和（4，2）呢？

追問3：你能嘗試用自己的語言概括有序數對的定義嗎？

設計說明：以學生生活中教室的位置為情境，以已有的認知為基礎進行概念的構建.通過兩數相同但順序不同的數對描述班級中的同學，發現順序不同的數對所對應的是不同的學生，在這個活動過程中，真實、自然感受有序數對的含義，從中歸納、抽象、概括有序數對的概念.

［建構活動2］

問題6：在圖7所示的班級位置示意圖中，有序數對（7，6）對應的同學是誰呢？

追問：（7，6）是所對應的位置沒有呢，還是所對應的同學沒有？（以下沒有特別說明，都是約定列數在前，排數在后）

問題7：假如某班座位如圖8所示，若把教室座位抽象成點，如圖9所示，那么教師講臺桌，即點A是第幾排？

在康復訓練后期，患者需要根據自己的運動意圖進行主動康復訓練。采用阻抗控制方法建立機器人與患者之間力與位置的動態關系，實現患者主動參與的主動訓練控制，同時采用模糊自適應邏輯對阻抗參數實時調整。

圖8

圖9

圖10

追問1：座位B，即點B是第幾列？

追問2：你能在圖9中畫出表示（0，0）的點O嗎？

追問3：你是怎樣理解“（-2，3）和（3，-2）”的含義的？

追問4：圖9中點C所表示的有序數對是什么？

追問5：隱藏了圖9中的網格線得到圖10，對于平面內任意一個點P，你能寫出其有序數對嗎？

追問6：在圖10所確定的平面中，有序數對（x，y）能確定幾個點？反之，任意一點P對應幾個有序數對？點和有序數對有著怎樣的關系？

設計說明：一個有序數對對應班級中的一個位置，有時這個位置上雖沒有人，但有序數對所對應的教室平面中的一個點卻無論如何是存在的.從有序數對對應的同學進一步抽象為有序數對對應的平面中的點.教室中學生的座位都是正整數點，為了把正整數點推廣到任意整數點，通過教師講臺桌是第幾列等把有序數對從正整數點推廣到任意整數點，并且構建原點（0，0），為下一節課平面直角坐標系的引入打下基礎.

3.拓展延伸

問題8：如圖6所示，請以下同學：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）、（6，7）、（7，8）站起來.

追問1：請觀察站起來的同學形成的圖形的形狀，分別討論這些有序數對有何特征.

追問2：你能用字母x表示上述有序數對嗎？這條直線上所有的點都包含進去嗎？

追問3：誰能像老師這樣，叫出一些有序數對，使得站起來的同學恰好在一條直線上？

問題9：誰能說出一個有序數對，使得全班同學都站起來？

追問：請你談談有序數對和平面中的點，以及點動成線，線動成面它們之間的關系.

設計說明：通過特殊有序數對（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）…，動起來，這些點恰好在一條直線上，學生經歷從數到形，再從形到數，即同一直線上的點所在的兩個數之間的關系可以表示成（x，x+1）.而后學生自主探索同一直線上的點的有序數對特征，由于條件開放，有的學生可能發現平行于x軸的直線，平行于y軸的直線，與x、y軸都相交的直線，通過小組合作探究，這些同一直線上的點用一個字母表示，或者說出一個有序數對讓全班同學站起來等，感受到學習有序數對的意義和必要性.

4.回顧反思

問題10：本節課我們得到了哪些結論？通過本節課的學習你有哪些感悟與體會？

設計說明：學生圍繞以上問題發表自己的觀點與看法，教師再做簡要的小結.

參考文獻：

1.章建躍.理解數學是教好數學的前提［J］.數學通報，2015（4）.

2.黃文光，酈興江.理解“三個理解”凸顯數學思想［J］.中學數學（下），2015（1）.

3.李昌官.基于三個讀懂，追求自然的探究［J］.數學通報，2011（5）.Z