高中三角函數誘導公式教學分析研究

☉江蘇省如東高級中學 宋浩

高中三角函數誘導公式教學分析研究

☉江蘇省如東高級中學 宋浩

在我們的社會生活中，數學知識無處不在，并一直影響著我們的生活，對人類社會文明的進步起著推動作用.高中數學不僅僅是為了應付高考中的數學考試，也為大學期間學習高等數學打基礎.尤其是三角函數部分，不僅是高中階段的重要教學內容，還是高等數學的重要組成部分.新的課程標準提出以后，在新版的數學教材當中，三角函數部分仍然是高中數學的重點學習內容.

一、高中階段三角函數誘導公式學習現狀分析

在初中階段，學生學習的三角函數是從勾股定理開始的，主要研究0°到90°角范圍的正弦、余弦和正切等數學關系.到了高中階段，在角的范圍上擴展到了任意角的范圍，是通過在直角坐標系中對圓的研究來研究三角函數問題的.然后根據圓的性質問題引出函數的誘導公式，并通過幾何圖形加深學生對公式的理解.與初中學到的三角函數不同的是，高中三角函數公式更為復雜和緊密，學生在學習過程中往往會產生很多困惑.例如，第一，學生會感覺無從下手，在初中的時候，只要是熟記三角函數的幾個公式就可以解決常見的一些問題，但是到了高中以后，三角函數部分的知識點又多又雜，遇見的題型大都非常復雜，學生一拿到手感覺無從下手.第二，學生知識網絡化意識不強，由于教師在上課的時候是根據教材安排一點點進行講解，學生沒有形成知識的系統性，在遇到問題時不能將知識點前后進行串聯，想到一點寫一點，導致得不出最后的結果.第三，由于函數部分公式較多，學生記憶起來比較困難，而且高中階段學生課業負擔較重，學習的知識量也較大，煩瑣的公式記憶給學生的學習帶來了很多不便.

二、三角函數誘導公式研究及應用實例

三角函數部分的公式主要包括誘導公式、同角函數公式、和差公式三個類型，其中誘導公式作為三角函數公式中的基礎，是解決三角函數問題的關鍵.在教學過程中教師要將這類公式進一步分類，并結合實際例子讓學生學會運用三角函數誘導公式來解決實際問題.

1.三角函數誘導公式的歸納

三角函數的誘導公式主要就是用來化簡三角函數的角度問題，將大于90度的任意角，轉化為小于90度的角，就是將角n·±α的三角函數轉化為單純的銳角三角函數.從課程標準來看，在三角函數誘導公式這一部分，學生要掌握±α，90°±α，180°±α，270°±α，360°±α這些角之間的關系，并能夠運用函數誘導公式對這些角進行求解.

三角函數的誘導公式，根據它自身的規律可以分為以下幾類：

第一類，三角函數等號兩邊的函數名稱相同.其中有一種是，都是將任意角的三角函數值轉化為0°與90°之間的三角函數值，并且等號兩邊都是正號.例如，sin（α+ 2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα.還有一種是表示α和180°+α之間關系的三角函數，從整體的形式上來看正弦和余弦等號兩邊的函數名稱相同，但是符號相反，但是正切公式兩邊的名稱和符號相同.例如，sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.另一種就是角的起始邊是相同的，但是終邊正好相反，這一類的函數它的正弦和正切的值互為相反數，但是它們余弦的三角函數值相同.

第二類，公式等號兩邊的三角函數名稱互余.這一類的三角函數誘導公式計算出來的結果，它的正負號要根據角所在終邊的象限來確定，像α，其中是奇數

倍的角的正弦、余弦和正切函數值正好等于角α的余弦、正弦和余切的函數值.

將這兩類的誘導公式進一步總結，可以總結成為口訣“奇變偶不變、符號看象限”，并通過相關的練習題，將這一口訣靈活運用.

2.三角函數誘導公式應用歸類及實例分析

在應用三角函數求任意角的三角函數值時，首先要將負角轉化為正角，再將正角轉化為0°～360°范圍的角，再將超過90°的角轉化為銳角，最后求出轉化后銳角的三角函數值.具體的應用類型可以分成以下幾種：

第一，函數的求值問題.

例1求下列各式的值：

（1）sin1560°+cos210°；

解題策略：拿到這兩個題，首先要考慮的就是要將這兩個題目中出現的角進行形式換算，利用π±α和±α的形式替代問題中出現的角，將題目中的“大角”轉換成0°～90°的“小角”，這樣便可以利用銳角三角函數的求值公式進行求值.

第二，函數的化簡問題.

例2化簡以下函數式：

解題策略：很多學生一拿到這道題就感覺非常麻煩，就會產生畏怯感.其實這道題利用誘導公式就可以一步步進行化簡.這是一個由三個三角函數組成的分數式，并且這三個三角函數組跟課本上的三角函數誘導公式非常相似，可以將sin（2π-α），sin（-2π-α）和cos（6πα）化簡為-sinα，sin（-α），cosα，用同樣的方法，可以將分母上的函數化簡為cosα，-cosα和sinα，這樣一來就可以很簡單地求出最后的結果-tanα.

1.張奠宙.數學［雙基］教學的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

2.教育部關于學習貫徹全國教育工作會議精神和《中共中央國務院關于深化教育改革全面推進素質教育的決定》的通知［J］.教育部政報，1999（Z2）.

3.王后雄，馬春華，馬賽.高考完全解讀·課標本數學（理科）［M］.北京：接力出版社，2013.Z