一道習題的思考

☉湖北省沙市中學 夏旭凡

一道習題的思考

☉湖北省沙市中學 夏旭凡

已知圓的方程x2+y2=r2，求經過圓上一點M（x0，y0）的切線方程.（此題是《高中數學解題題典》第二章第二節圓第29題，P1033）

解（略）：切線方程為xx0+yy0=r2.

此切線方程簡潔明了，體現了數學美，此時也許我們會想到當點M（x0，y0）在圓x2+y2=r2內部，外部時xx0+yy0= r2有什么幾何意義呢？這樣的幾何意義在橢圓、雙曲線、拋物線上同樣適用嗎？

對于圓：

（一）已知圓的方程x2+y2=r2，平面內非原點的點M（x0，y0），直線方程l為xx0+yy0=r2.求證：原點到M的距離為a，圓的半徑r，原點到直線xx0+yy0=r2的距離b成等比數列且OM⊥l.

（二）已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2內一點，則直線xx0+ yy0=r2與圓x2+y2=r2相離.

（三）已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點，過點M作圓的切線交圓x2+y2=r2于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則直線AB的方程為xx0+yy0=r2.

如圖1，原點為O，設直線OM與AB交于點N，顯然，△OAM為直角三角形，AN為斜邊上的高.

r2=OA2=OM·ON且OM⊥AB.

由上面的結論（一）得直線AB的方程為xx0+yy0=r2.

圖1

（一）當點M在橢圓內時，直線l與橢圓相離；

（二）當點M在橢圓上時，直線l與橢圓相切；

證明（一）：構造新坐標系

新坐標系下的方程為圓C：x′2+y′2=1，點M（x0，y）0在新坐則橢圓在標系下為圓C上的點）.根據推論一直線=1與圓x′2+y′2=1相離.

同理可以證明（二），（三）.

對于雙曲線：已知點M（x0，y0）在雙曲線=1上，則直線l與雙曲線相切.

即直線MN得斜率與漸近線的斜率相等，與雙曲線幾何性質矛盾.

對于拋物線：已知點M（x0，y0）在拋物線y2=2px上，則y0y=p（x+x0）是拋物線y2=2px的切線.

設：直線與拋物線y2=2px有兩個不同公共點M（x0，y0），N（x1，y1），則

點M，N重合，與假設矛盾.

所以y0y=p（x+x0）是拋物線y2=2px的切線.

當點在雙曲線兩支之間和點在拋物線外時有類似性質，讀者可以用類似方法研究.Z