對一道習題解法的探尋及推廣

☉浙江省紹興市柯橋區平水鎮中　沈岳夫

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對一道習題解法的探尋及推廣

☉浙江省紹興市柯橋區平水鎮中沈岳夫

一、試題呈現

題目如圖1，在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC= 120°，∠BAC的平分線交BC于點D，求AD的長.

圖1

本題的閱讀量較小，條件清晰，但對學生的思維能力要求較高.筆者細研此題，發現此題切入點多，方法多樣，給學生留有較大的思維空間，使得學生的解答可以呈現出眾多創新方法.現把此題的幾種解題思路整理成文，以期待同行的指正.

二、解法探尋

1.追本溯源

筆者仔細研究此題發現，構成這道試題的基本素材在浙教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊第2章“特殊三角形”中有相應的例題和習題.

題源1如圖2，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，則△ABC是等腰三角形嗎？證明你的判斷.

圖2

圖3

題源2如圖3，在△ABC中，AB =AC，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于點E，且∠CDE=25°.求∠A，∠B的度數.

上述兩道題目所呈現的是“角平分線+平行線→等腰三角形”這一基本圖形，只要題目中出現其中兩個相關條件就可以通過推理得到另外一個基本圖形相關結論.學生如果找到了解決問題的源泉，那么，解決例題就會得心應手，思路就會自然產生.

2.解法探尋

思路1：抓住60°的特殊角，從構造相似的基本圖形入手.

如圖4，過點C作CE平行AB，交AD的延長線于點E，則∠BAE=∠AEC.因為AD平分∠BAC，∠BAC=120°，所以∠BAD=∠CAD=∠AEC=60°，所以△AEC是等邊三角形，所以AE=EC=CA.因為CE∥AB，所以△CDE∽△BDA，所以，即，解得AD=2.

圖4

圖5

說明：此解題思路源于對題源1、題源2的一種經驗積累的“噴薄”，通過添加輔助線，既產生了相似三角形（△CDE∽△BDA），又產生了特殊三角形（等邊△AEC），這樣方便與題目中的條件建立了聯系，問題得以解決.當然，添平行線的方法有很多種，如作出圖5、圖6中的平行線也能得解，有興趣的讀者不妨試試.這些解題思路是幾何證明中一種常用的通性通法，應當予以重視.

圖6

圖7

思路2：利用角平分線性質，從面積“算兩次”的角度入手.

如圖7，過點D分別作AB、AC的垂線，垂足為E、F，再過點C作BA的垂線，交BA的延長線于點H.因為∠BAC= 120°，所以∠CAH=60°，所以在Rt△ACH中，易求CH=.由角平分線性質，易知DE=DF.因為S△ABD+S△ACD=S△ABC，所以，可得所以在Rt△ADE中，AD=，解得AD=2.

說明：此解題思路是通過添輔助線，由特殊三角形得到相關的線段長，然后對同一個三角形的面積“算兩次”，這種思想方法架起了線段之間的關系，最終求出線段AD的值.可見，思之愈深，方法越多.總之，靈活運用面積這一“工具”，也是一種有效解決問題的方法.

思路3：利用角平分線性質，從構造特殊三角形及相似入手.

如圖8，過點C作AD的垂線，垂足為F，再過點B作AD的垂線，垂足為E.因為AD平分∠BAC，所以由△BDE∽△CDF，易得在Rt△ABE中，易求AE=3.同理，可求設DF=x，則DE=2x.因為，所以所以AD=AF+DF=

圖8

說明：此解題思路是學生利用課外知識“角平分線分線段成比例”而獲解，顯得簡捷、明了.由此可見，一些優秀學生通過自學、吸收、內化，積累一些先進的“武器”，為自己擅長的方式構思或尋求解決問題的方法貯存能量，是一種經驗的“噴薄”，做到該出手時就出手，同時也為后續的學習蘊足了動力.

思路4：利用熟悉圖形積累的經驗，從向外構造相似圖形入手.

我們先看一類常見的、熟悉的圖形，這些圖形都是以△ABC為“母體”向外作相似圖形，如圖9向外作等邊三角形、如圖10向外作正方形、如圖11向外作等腰直角三角形等.

圖9

圖10

圖11

如果學生能從平時積累的解題經驗中，檢索出此類圖形，那么添加輔助線自然會水到渠成.基于這種思路，可有下列解法.

如圖12，過點C作CE平行AD，交BA的延長線于E點，過點B作BF平行AD，交CA的延長線于F點.由題意，易知△ACE、△ABF都是等邊三角形，所以CE=AC=3，BF=AB=6.由△BAD∽△BEC，得①；由△CAD∽△CFB，得②.由①+②得，所以即，解得AD=2.

圖12

說明：此解題思路是源于學生從遇到過熟悉的相似圖形（或基本圖形）入手，展開聯想，從常見的基本圖形中找到了創造之源，找出了問題“條件”與“結論”之間的內在聯系.由此可見，探尋正確解法的思路是“有規可依”“有序可循”：那就是從分析題目的已知條件入手，看看條件能想到什么？看看所求需要什么？并以知識關聯的遠近為順序，先從與題干知識關聯程度近的知識點切入思考，當發現走不通，再換與題干知識關聯程度相對較遠的知識點著手探究，直至找到正確解法.”

3.同類強化題

親愛的讀者，你看了以上的幾種解法，是不是產生了一種躍躍欲試的沖動，那你就動起筆來，思考、挑戰一下下面的拓展題吧.

（1）（2013年烏魯木齊卷）如圖13，在△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于點F，AB=5，AC=2，則DF的長為_____.

圖13

圖14

圖15

（2）（2015年無錫卷）如圖14，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD=BE=6，則AC的長等于_____.

（3）（2014年武漢卷）如圖15，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為_____.

4.引申推廣

著名的數學家希爾伯特說過：“一個問題的解決意味著一系列新的問題的誕生.當我們解題成功時，不要忘記提出新的問題，因為還有許多寶藏尚未開發出來.”教師解題不能局限于低效的就題論題的解題習慣，教師若能深入領悟典型題目的編寫意圖，進行“一題多法的探索、一題多問的發散、一題多變的嘗試、多題歸一的收斂、多題歸一的提煉”的二度開發，這本身就是對解法之間的聯系、解題方法本質的深度挖掘，努力追溯問題背景及一般的結論，臻于知其然的化境.

推廣：如圖16，在△ABC中，AB =m，AC =n，m＞n，∠BAC=θ，∠BAC的平分線交BC于點D，求AD的長.

圖16

解析：如圖16，過點D分別作DE平行AC、DF平行AB，交AB、AC于E、F兩點，連接EF，交AD于點O，則四邊形AFDE是平行四邊形.由題意，易知∠EAD=∠FAD= ∠ADF，所以AF=DF，所以四邊形AFDE是菱形.由此可知，EF⊥AD，且互相平分.由DF∥BA，可得，即，解得.因為AD平分∠BAC，∠BAC= θ，所以所以在Rt△ODF中，AD=2DO=2DF·

前面梳理了4種解題思路，實際上此題的解法還不止這些.當學生對某些知識點、某些基本圖形理解的較為深入時，就會首先考慮到較簡潔的解法.例如，當對相似三角形的基本圖形理解較為深入時，就會選思路1；若對“面積法”運用較為靈活時，就會選擇思路2；若對“角平分線性質”較為熟練時，就會選擇思路3；若對“常見圖形”積累到一定程度，并能提煉解題經驗時，就會選擇思路4.

可見，在平時的教學中，教師若能選取類似本文提到的這樣的好題，留給學生足夠的時間思考，給學生提供展示自己想法的機會，并組織學生對不同思路進行適當的比較和討論，學生就能自然地把題目涉及的基本圖形的基本性質等相關知識加以聯系，構建成一個整體，達到靈活應用數學知識的程度.這樣做，會比機械地重復做大量的訓練題目的效果要好得多.進行類似于此題的“一題多解”的教學，不僅有利于學生掌握基礎知識，提高解題能力，而且也有利于開闊學生的視野，有效地培養學生思維的廣闊性和靈活性，提高學生的綜合應用水平.

參考文獻：

1.王曉峰.對一道習題解法的再思考［J］.初中數學教與學（初中版），2016（3）.

2.汪宗興，李道華.借助典型試題加強回顧反思［J］.中學數學（下），2015（7）.

3.沈岳夫.善歸類細分析悟通法促提高——對一類“共頂點等腰直角三角形”型試題探微［J］.中國數學教育（初中版），2014（12）.

4.沈岳夫.對一道中考填空題的方法探究［J］.中國數學教育（初中版），2015（9）.H