一道中考選擇壓軸題的探究與思考*

☉山東省東營市勝利第六中學　于　彬☉山東省東營市勝利第十三中學　劉錦海

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一道中考選擇壓軸題的探究與思考*

☉山東省東營市勝利第六中學于彬
☉山東省東營市勝利第十三中學劉錦海

在各省市的中考試題中選擇題大都占據(jù)著一定的份量，再加上部分學生，甚至是部分老師對選擇題不重視，因此有時選擇題的得分往往影響著中考的成敗.選擇題，“麻雀雖小，五臟俱全”，特別是選擇題的壓軸題更是值得一線教師去研究，去品味，下面筆者以2015年濱州市中考數(shù)學試題第12題的探究過程為例進行簡單介紹，歡迎批評和指正.

一、原題呈現(xiàn)

題目如圖1，在x軸的上方，∠BOA（直角）繞原點O按順時針方向旋轉.若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)的圖像交于B、A兩點，則∠OAB大小的變化趨勢為（）.

圖1

A.逐漸變小B.逐漸變大

C.時大時小D.保持不變

對于大多數(shù)考生而言，看到上述試題后，基本沒有思路，不知如何下手.當然，由于此題是選擇題，有一部分學生最后可能直接猜了一個答案，而筆者認為學生猜“保持不變”的可能性還是很大的，這應該與老師日常灌輸?shù)摹翱荚嚰记伞庇泻艽蟮年P系，因此就這個角度來看，這道選擇題的信度和效度就都大打折扣了，應該引起命題人的足夠重視.不過，就這道題對學生的思維角度、考查角度及命題人的命制角度來看，還是值得“點贊”的一道中考試題.

二、解法探究

解法1：如圖2，過點A、B分別向x軸作垂線，垂足分別為C、D.

圖2

因為∠AOC +∠BOD = 90°，∠OBD+∠BOD=90°，所以∠AOC=∠OBD.

又因為∠ACO=∠ODB= 90°，所以△AOC∽△OBD.

根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義知：S△AOC=1，S△OBD=，所以

解法2：如圖2，過點A、B分別向x軸作垂線，垂足分別為C、D.

設AO=m，BO=n，∠AOC=α，由解法1可得∠OBD=α.

在Rt△AOC中，AC=msinα，OC=mcosα；

在Rt△BOD中，OD=nsinα，BD=ncosα.

于是，A點坐標為（mcosα，msinα），B點坐標為（-nsinα，ncosα），將上述兩點分別代入和，得①②.

解法1與解法2相比，解法1顯得更加巧妙一些，冒昧揣測一下的話也應該更加符合命題人的命題意圖，此法綜合運用了相似三角形、相似三角形的性質及反比例函數(shù)中k的幾何意義等基礎知識，注重了對核心知識的考查；當然，解法2中沒有注意到反比例函數(shù)中k的幾何意義，而是采用將點的坐標代入解析式，然后進行化簡的方法，此法化簡過程中具有一定的技巧性，同時也具有進入高中以后“解析幾何”的味道，可以說達到了與解法1“殊途同歸”的效果.

三、幾點思考

1.提取關鍵詞語

筆者根據(jù)多年的解題教學有一點體會，那就是部分題目的題干中有時會有一些暗示性的短語（稱為關鍵詞語），提示解題的方向或方法.比如，上述試題中的“變化趨勢”就是解決該問題的關鍵詞語.看到“變化趨勢”，應該比較容易和函數(shù)進行關聯(lián)，但是上述試題問的是“角度”的變化趨勢，這應該增加了一定的難度，換言之，如果上述試題問的是“長度或面積”的變化趨勢，學生可能更加容易和函數(shù)進行關聯(lián).總而言之，“變化趨勢”應該起到了一定的提示作用，再結合題目中直角三角形的存在，順勢想到三角函數(shù)應該還是比較自然的.

2.識別基本圖形

無論是解法1，還是解法2，都添加了相同的輔助線，構造了“一線三直角”這一相似的基本圖形，可以說是這一基本圖形為上述試題的后續(xù)求解指明了繼續(xù)前進的方向.作為一線教師應該在教學中善于引導學生進行相應基本圖形的積累和識別，只有這樣，學生才能夠在一些復雜的圖形中識別出基本圖形，進而順利解決相關問題.此外，教師還應該注意一些基本圖形的變式（比如“一線三直角”的變式圖形），真正使學生能夠做到“舉一反三、觸類旁通”，進而提高學生的解題效率.

3.抓住核心考點

中考試題是命題人集體智慧的結晶，往往注重對核心考點的考查.在中考的備考復習中，教師應該引導學生結合本地區(qū)往年的中考試題進行核心考點的總結，比如上述試題綜合考查了相似三角形的判定、相似三角形性質的靈活運用及反比例函數(shù)中k的幾何意義，可以說以上考點在每年的中考試題中都會出現(xiàn)，是高頻考點，是核心知識，是整個初中階段的主干知識，也是進入高中以后學習其他知識的基礎所在，應該引起一線教師和學生的足夠重視，在有限的中考復習時間里，取得最大的效益，起到事半功倍的教學效果和學習效果.

四、變式引申

下面結合上述試題和思考，給出該問題的一個變式，一個引申，以期可以引發(fā)讀者更廣泛的關注.

圖3

圖4

五、結束語

解題能力應該是一線教師必須具備的基本能力之一，而解題教學則在單純解題的基礎上對一線教師提出了更高的要求，比如需要關注方法是如何獲得的？考查了哪些考點？有無其他解法？哪種解法更簡潔、易想？有無變式和引申？除此之外，更要關注學生的實際情況等，在此基礎上才可能更好地開展解題教學，真正做到“入寶山而不空返”（羅增儒語），在提高學生的同時，提高自己，做到教學相長.H

*本文系東營市教育科學十二五規(guī)劃課題《“反思性課堂教學模式”下中學作業(yè)改革的研究與實踐》（編號：125DYJG195）和《“導學·反思”和諧高效課堂教學的實踐與研究》（編號：125DYJG210）的階段性研究成果。