凡題大做，圈地精彩

☉福建省漳平第三中學　林福凱☉福建省漳平第三中學　朱蘭英

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凡題大做，圈地精彩

☉福建省漳平第三中學林福凱
☉福建省漳平第三中學朱蘭英

中考試題因其典型性、導向性，備受廣大師生的關注.中考試題的設計充分關注對學生思維水平與思維方式的考查.中考試題常可溯源于教材例、習題，生成、改編發展于教材例、習題，命題立意與考查功能往往高于教材、教輔例、習題.筆者將以矩形圈地面積問題為主線，串聯中學數學知識，意在培養數學思維，提升凡題的功能與價值.矩形圈地面積問題常設有一個或多個思維節點，從這一點看，此類試題的解答其實就是突破思維節點的解答，重點是在思維節點處拉伸數學思維.

一、試題呈現

人教版《義務教育教科書九年級數學上冊（教育部審定2013）》P57第7題：如圖1，用一段長為32m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜地，墻長為16m.這個矩形的長、寬各為多少時，菜地的面積最大？最大面積是多少？

試題簡解如下所示.

解：如圖2，設矩形菜地平行于墻的籬笆BC=xm，圍成的矩形菜地面積為ym2，則依題意，得，整理得（0＜x≤16）.

圖2

答：該矩形的長、寬分別為16m、8m時，菜地的面積最大，最大面積是128m2.

解題說明如下所示.

（1）利用題圖，引入點標，增進直白，方便敘述，簡化解題與檢驗.

（2）恰當設元（BC=xm），對接隱含（墻長為16m），直白檢驗（取舍實解）.本題也可設AB=x，則BC=32-2x，y= x（32-2x）（0＜x≤16），即y=-2（x-8）2+128（0＜x≤16）.

由于a=-2＜0，所以當且僅當x=8時，32-2x=16≤16，ymax=128.

用此設元法，所得函數為整系數解析式，直觀感覺較好，但容易疏忽題干“墻長為16m”的隱含功能而致解題失誤，甚至出現錯誤.

二、試題改編

1.嚴謹改編，拾級而上

原題題干存在歧義，試題不夠嚴謹.主要體現在：涉及實際問題方面——①籬笆可否結余；②墻能否用籬笆局部替代（如圖3）；③是否要考慮籬笆占地等問題.命題設計方面——問題設計一步到位，較欠層次與梯度，不利于“學困生”的思維與學習.本著命題通俗易懂、嚴謹簡潔和面向全體等原則，遵從“讓不同人得到相應發展”的課標理念，改編嚴謹題干，創設并列式、遞進式問題串，詮釋題型規律，引領試題教學.

圖3

改編1：如圖1，恰好用完（不許結余）一段長為32m的籬笆圍成一個一邊完全靠墻（不許籬笆局部替代墻）的矩形菜地，墻長為16m.設矩形菜地平行于墻的籬笆長為xm，圍成的矩形菜地面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

（1）當x=12時，求y的值.

（2）當y=120時，求x的值.

（3）是否存在x的值，使得y=130？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.

（4）寫出y與x的函數關系式和x的取值范圍.

（5）當x為何值時，y取到最大值？并求此時y的值.試題簡解如下所示.

改編意圖：以教材例、習題搭臺，漸進問題串唱戲.命題設計，貴在精準.本題改編，嚴謹簡練，明確目標；由淺入深，拾級而上.內容設計：從方程到函數，遵循章理；思維設計：從具體到抽象，互逆考查；能力設計：特殊轉化一般，螺旋上升；情理設計：逐級積累經驗，激發學習興趣，增強解題信心，實現蓄勢待發.

2.弱化條件，以退為進

（a）改墻定長為待定長，凸顯待定字母功能.

改編2：如圖4，恰好用完一段長為32m的籬笆圍成一個一邊完全靠墻的矩形菜地，墻長為am.設矩形菜地平行于墻的籬笆長為xm，圍成的矩形菜地面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

圖4

（1）當x=12時，求y的值.

（2）當y=120時，求x的值.

（3）是否存在x的值，使得y=130？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.

（4）寫出y與x的函數關系式和x的取值范圍.

（5）當x為何值時，y取到最大值.并求此時y的值.試題簡解如下所示.

解：（1）①當0＜a＜12且x=12時，結論（1）沒有實際意義.

①當0＜a＜12時，原題無實際解.

②當12≤a＜20時，原題只有一個實際解x=12.

③當a≥20時，原題有兩個實際解x=12或x=20.

①當a≥16且x=16時，ymax=128.

改編意圖：通過am墻長功能的探索過程，考查數形結合、分類討論、方程、函數等思想方法，強化解題驗證意識.

（b）隱藏題圖，強化建模.

改編3：刪除改編2的“如圖3”條件，其余均不變.解法與改編2相同（過程略）.

改編意圖：通過隱藏題圖，考查數學建模、抽象轉化等能力，積淀深層數學活動經驗.

三、試題創編

通過探索試題改編及其解答，拾級而上，積淀深層數學活動經驗，利用函數統領代數的功能，關注抽象轉化、構建模型、數形結合、分類討論、運用函數等生成，考查思想與方法；利用見微知著，發散思維，進退取舍，考查思維與能力.逐級創編如下.

1.外減內添，拓展視野

（a）外，弱化題圖與定墻長；內，添內含兩個矩形.

創編1：某農戶為養殖兩種家禽，準備恰好用完一段長為32m的籬笆圍成一個一邊完全靠墻且內含兩個矩形的矩形禽場，墻長為am.設矩形禽場平行于墻的最外層籬笆長為xm，圍成的矩形禽場總面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

（1）寫出y與x的函數關系式和x的取值范圍；

（2）當x為何值時，y取到最大值？并求此時y的值.

試題簡解如下所示.

圖5

圖6

（2）（i）由（1）①得y=-（x-8）2+64（0＜x≤a）.

由于a=-1＜0，所以：當a≥8且x=8時，ymax=64；根據二次函數的增減性，當0＜a＜8且x=a時，ymax=-（a-8）2+64.

創編意圖：試題創編，意在培養數學建模，強化分類討論意識，滲透區間函數思想；旨在鞏固并發展初中階段的比差法：利用不等式的傳遞性有效放縮比較大小，利用函數增減性在相同區間內取函數最值.

（b）外，弱化題圖與定墻長；內，添內含三個全等矩形.

創編2：某農戶為養殖三種家禽，準備恰好用完一段長為132m的籬笆圍成一個一邊完全靠墻且內含三個全等矩形的矩形禽場，墻長為am.設矩形禽場平行于墻的最外層籬笆長為xm，圍成的矩形禽場總面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

（1）寫出y與x的函數關系式和x的取值范圍；

（2）當x為何值時，y取到最大值？并求此時y的值.

試題簡解如下所示.

圖7

圖8

圖9-1

圖9-2

圖10-1

圖10-2

創編意圖：在創編1的基礎上，順藤摸瓜，進一步培養數學建模，強化分類討論意識，滲透區間函數思想，提升數學思維.創編2還突出考查學生的閱讀理解、抽象轉化、處理信息和深層運用比差法等能力.

2.內外兼修，高屋建瓴

創編形變質同試題，滲透抽象、推理和模型三大思想.

創編3：如圖11，某農戶為養殖兩種家禽，準備恰好用完一段長為132m的籬笆圍成一個兩邊完全靠l、l′組成的直角曲尺形墻且內含兩個矩形的矩形禽場，l、l′的墻長分別為am、bm.設矩形禽場平行于墻l的最外層籬笆長為xm，圍成的矩形禽場總面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

（1）寫出y與x的函數關系式和x的取值范圍；

（2）當x為何值時，y取到最大值？并求此時y的值.

創編4：如圖11，某農戶為養殖三種家禽，準備恰好用完一段長為132m的籬笆圍成一個兩邊完全靠l、l′組成的直角曲尺形墻且含三個全等矩形的矩形禽場，l、l′的墻長分別為am、bm.設矩形禽場平行于墻l的外籬笆長為xm，圍成的矩形禽場總面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

圖11

（1）寫出y與x的函數關系式和x的取值范圍；

（2）當x為何值時，y取到最大值？并求此時y的值.

……

建瓴簡析：創編3、4的題干條件“l、l′組成的直角曲尺形墻的墻長分別為am、bm”起雙重制約作用，試題屬于“雙制約型”問題.解“雙制約型”問題的思維節點是先將“雙制約型”問題轉化為“單制約型”問題，再探尋解題方略，最后實現解題目標.解題簡析如下：先假設l′的墻長bm足夠長，確定滿足l的墻長am的單重制約結論，再將所得結論按l′墻長bm的又一制約進行取舍，最終實現解題目的，得出滿足題意的準確結論.所以創編3、4的解答可以分別轉化為創編1、2的解答（分層逐步解答）.

建瓴意圖：試題創編意在發展數學思維，可忽略具體解答.案例著意詮釋思維的產生、生成與生長過程：拉長思維過程，疏導思維盲點；拉伸思維觸角，梳理思維變式；提升思維深度，導引思維發散［1］；案例旨在促進問題自然生成與生長，有效提升“四能”，賦予思維更大的遐想.

四、凡題大做，領悟教學

1.模型解題，可觸類旁通

構建模型，類比聯想，生成“類”問題，再探尋通性通法，最終促進自我完善，自我探索，自我創新等數學素養的養成.案例通過對教材習題的挖掘，逐級探索試題的生成與生長，為構建模型解題提供了思路和方略.“矩形圈地型”問題的解題步驟歸納如下：分步閱讀條件（挖掘隱含條件和判斷必要的分類）—逐步構建滿足題意的題圖（標識點標以便敘述和解題）—依據題圖巧設元—理清關系列代數式—思辨題設與結論列關系式—思構解題思想、方法與策略，準確解答、驗證與作答.

2.凡題大做，能拓展思維

以求同存異、異中求同的觀點開展試題變式，逐級探索數學活動，詮釋題型規律.在生活中通過抽象生成數學，在內容上通過推理發展數學，在方法上通過模型聯系外界，在解題中通過教學提升“四能”（發現、提出、分析、解決問題的能力），在思維上滲透三大基本思想（抽象、推理和模型）.凡題大做中，逐級發散思維，有效提高分析解題能力，實現有效學習備考，養成自學、自創、自新的良好習慣.

3.試題研究，應遵循理法

試題研究，應以雙基為本，回歸教材，滲透考點，突出重點，適當拔高，查漏補缺，實現知識有效整合或重組；應以方法為脈，選擇并劃分代表性、針對性的試題開展教學，注重考點串聯，掌握通法；應以思想為魂，通過積累解題經驗，從特殊到一般，從特解到通解［2］，賦予試題教學無盡的遐想與思考.總之，試題研究應揭示試題本質、化歸試題源泉、拓展試題功能、提升試題價值，讓凡題大做引領試題研究，詮釋數學思維.

參考文獻：

1.戴向陽.行走在思維節點上的中考試題教學［J］.中學數學教學參考（中），2014（12）.

2.劉永東，蘇德杰.談2015年中考數學專題復習［J］.中國數學教育，2015（3）.Z