探尋模型　感悟思想　掌握方法*
——一道中考題的探究

☉江蘇省蘇州工業園區東沙湖學校　李明樹

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探尋模型感悟思想掌握方法*
——一道中考題的探究

☉江蘇省蘇州工業園區東沙湖學校李明樹

羅增儒教授說過：“教師的核心競爭力是解題能力”.筆者對這句話的理解是：基于學生理解下的習題教學，不光要求教師能夠高于學生多倍的解題能力和高位運作知識體系，還需要能夠在習題本身中提煉基本模型，對自身的課堂教學進行一定的調整，乃至于促使習題教學真正地“接地氣”，即：學生可以清楚地理解教師的講解和傳授嗎？基于此，筆者和組內教師對習題教學的有效性進行了探究，下面以一道中考題為例，把探究的過程、發現、反思與大家交流.

一、題目呈現

（2012年寧波市中考題）如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=.D是線段BC上的一個動點.以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

圖1

二、解法探究

解法1：靜止視角下的“臨界位置”使“以形助數”直觀有效

分析：如圖2，由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF最短，連接OE、OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H.在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=∠HOF=∠BAC=60°.在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH.

圖2

解：如圖2，連接OE、OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H.

由圓周角定理可知∠EOH=∠HOF=∠BAC=60°.

解題反思：此題考查垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形、二次函數等知識的融合，解決問題的關鍵是找出符合題意的最小圓，從而利用解直角三角形解決問題.如何找到最小圓？點D在運動的過程中，⊙O的大小發生變化，點E、F的位置發生變化，什么時候EF最短？線段EF的長度和⊙O的直徑AD之間有怎樣的數量關系？站在學生的角度，如何有效地探尋解決問題的思路，感受數學思想方法，提煉經典的幾何模型，是決定師生能否真正體悟數學本真的關鍵所在.筆者拿到這個題目的時候，首先大致思維猜想最短距離的存在性，后來筆者在學生中做了調查，發現學生解決此題的做法絕大多數是猜想，至于上述筆者提出的幾個問題，學生不得而知.

解法2：運動觀點下“函數模型”的建構使“以數解形”細致入微

分析、簡解：如圖3，連接DE，易得∠AED=∠BED=90°.設BE=x， AD=y，則

圖3

在Rt△AED中，AD2=DE2+AE2，即4.

在課堂教學中如何促使學生的能力達到這樣的思維高度，如何促使學生能夠理解所有的中考題都和教材中的某個或某幾個知識點有著直接的聯系？回顧題目中的條件說明△ABC是唯一確定的銳角三角形；點D在BC上移動的過程中，⊙O與邊AB、AC一直有交點E、F.為了讓學生真正感悟思想、掌握方法，如果對題目的條件加以改變，又有怎樣的發現？于是我們給學生設計了以下題組.

三、習題再探

1.習題的特殊化，回歸教學“原點”

（1）如圖4，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB=.D是線段BC上的一個動點.以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

圖4

圖5

（2）如圖5，△ABC中，AB=AC=BC=6.D是線段BC上的一個動點.以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

圖6

顯然以上的三個題目有相通之處，習題（1）、（2）是“2012年寧波市中考題”的特殊化，習題（3）的設置是基于筆者在利用幾何畫板拖動點D的時候發現：⊙O與AB、AC的交點始終在線段內部，有沒有交點不在邊上的現象呢？于是對原題進行了改編，以習題（3）呈現，習題的形式也以解答題的形式呈現，教學中發現有的學生思維方式停留在“模仿”階段，模仿老師上述的兩種算法，最終的落腳點還是落在了“AD⊥BC”上，問學生為何這樣解，學生說：“當AD⊥BC時，直徑AD最短，此時線段EF最短”，此種認識顯然不夠.此時題目中點D在運動的過程中⊙O與邊AB交于E點，與邊AC的延長線交于F點，而的條件使得△ABC唯一確定，為鈍角三角形，顯然當AD⊥BC時，AD在△ABC的外部，如圖7，故先在Rt△ABG中求得AG，再在Rt△ACG中求出AC的長，從而得到AC≤AD≤AB，即AD的最小值為AC，此時線段EF最短.反思教學發現：教師沒有真正地帶領學生感悟數學思想，掌握方法，當然也沒有促使學生探尋此題真正的出處.

圖7

2.探尋基本圖形，回歸問題本質

（1）△ABC中，∠BAC=α，∠ABC=β，（0°＜α≤90°-β，β為銳角）AB=a.D是線段BC上的一個動點.以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

分析：如圖8，此時當點D與點C重合時AD最短，可得EF= 2EH =2EO·sin∠EOH =2rsinα= AD·sinα，即AD=AC時EF最短.

（2）△ABC中，∠BAC =α，∠ABC=β，（0°＜α≤α+β-90°，β為鈍角）AB=a.D是線段BC上的一個動點.以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

圖8

分析：如圖9，此時當點D與點B重合時AD最短，可得EF=2FH=2FO·sin∠FOH=2rsinα=AD·sinα，即AD=AB時EF最短.

圖9

圖10

（3）如圖10，△ABC中，∠BAC=α，∠ABC=β，90°-β＜α≤180°-β，β為銳角）AB=a.D是線段BC上的一個動點.以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

分析：EF=2EH=2EO·sin∠EOH=2rsinα=AD·sinα，要使EF最小，即AD最小，此時AD⊥BC.

圖11

圖12

圖13

圖14

基本圖形：如圖14，在⊙O中，∠A=α（α為定值），則∠A所對的弦長為定值.

四、啟示

1.基于學生數學核心素養培養的思考

2011版數學課程標準中提出：“推理能力是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式.”學習數學就是要學習推理，具有一定的推理能力是培養學生數學素養的重要內容，也是數學課程和課堂教學的重要目標.從數學角度，此題的探究體現了一種基本的數學思想；從教師角度，體現了一種有效的教學方法；從學生角度，培養了學生的思維推理能力，為學生的創新意識提供了支撐.

2.透過表象透析本質，形成有價值的解題思路

著名數學家華羅庚說過：“就解題思路的發現來說，‘退’比‘進’更重要”.解題時，能夠“退”到問題的原點，能夠足以清楚地厘清問題的因果關系，然后拾級而上，最終站到峰頂，終有“一覽眾山小”之感.解法1可視為“退”，退至位置的特殊化，在靜止狀態下的臨界位置恰好是符合條件的位置，但似乎沒有退到問題的原點，沒有足夠讓學生理解為何此時的線段EF就是最短.所以在后續的設計中使得圖形特殊化（圖4、圖5），此時可以促使學生能夠直觀地理解在等腰直角三角形和等邊三角形狀態下EF最短的情形；似乎問題的研究沒有觸及這道題的本質，故設計了圖8、圖9、圖10三個圖形進行探究，此時三個圖形涉及的問題“情系一處”但又有細微的差別：圖8、圖9中AD的最小值和△ABC中的最短邊重合時EF才是最短情形，圖10則是“2012年寧波市中考題”的推廣與加強，進而最終可以得出基本圖形圖14“模型”，即使得習題教學真正指向了核心知識的本質.數學教學是數學（思維）活動的過程，教學中發展學生的數學思維應該是教學的首要任務，也是學生首要的學習目標，而習題教學是發展學生思維的重要渠道，教師在習題教學時若能時常給予學生探究問題的土壤，引領學生探究問題的習慣、思想、方法，勢必會孕育學生養成主動創新和深入探究的良好素養.

3.挖掘知識延伸拓展，注重知識的上串下聯

經典的習題往往有深刻的問題背景，教師引領學生有效地探索問題實質，在充分體驗、理解、內化的基礎上進行提煉升華，不僅讓學生了解了習題的“前世今生”，還展望了“未來”，促使學生在不同的知識板塊間形成了完整的知識鏈.原題中點D在移動的過程中，以AD為直徑的圓與AB、AC交于E、F兩點，即點A、E、D、F四點共圓，在教學中引導學生“圖中無圓，心中有圓”的思維意識，真正提升學生的思維品質，筆者與組內教師對此題進行了改編，以期提升學生的思維力.

如圖15，△ABC中，∠BAC =60°，∠ABC =45°，是線段BC上一個動點.△GDH中，∠GDH= 120°，以D為旋轉中心旋轉△GDH，△GDH的邊GD、HD分別與AB、AC交于點E、F，試探究線段EF的長度的最小值.

圖15

在運動中探尋不變，是真正思維品質的培養和提升，∠BAC+∠GDH=180°是解決本題的突破口，以AD為直徑的圓始終經過點E、F，即A、E、D、F四點共圓，“無圓卻有圓”，使得學生的思維又進一步，和“2012年寧波市中考題”形成了合理的思維鏈接.數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題的后續，能給學生留下什么，師生能否擺脫“茫茫題海”，能否在掌握知識的同時，感悟思想、掌握方法、提升意識，是教師在習題教學中需要長期反思的課題.

參考文獻：

1.黃東坡.數學探究應用新思維（九年級）［M］.武漢：湖北人民出版社，2013.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.宋偉軍，黃華玉.一道中考模擬壓軸題的解法探究與思考［J］.中學數學（下），2016（3）.Z

*基金項目：蘇州市教育科學“十二五”規劃課題——中學數學體驗式學習課例研究（140302022）.