讓學生的創新思維自然流淌

洪建林

摘 要：數學學科的核心問題在于學生思維能力的發展，而創新思維又是學生思維能力的核心所在。創新思維本質上在于人具有活躍的狀態、創造的自覺。讓學生的創新思維自然流淌，有利于學生創新素質的發展，也有利于學生的可持續發展。當下，數學課堂教學務必追尋一種本真方法；綜合運用、深度發散，自由自在地創新發展。

關鍵詞：創新思維；自然流淌

數學學科的核心問題在于學生思維能力的發展，而創新思維又是學生思維能力的核心所在。創新思維是一種以新穎獨創的方法解決問題的思維活動，這種思維能突破常規思維的界限，以超常規甚至反常規的方法、視角去思考問題，提出與眾不同的解決方案，從而產生新穎、獨到、有意義的思維成果，它具有變通性、獨特性和敏感性等特性。懷特海認為，教育的全部目的就是使人具有活躍的思維。創新思維本質上在于人具有活躍的狀態、創造的自覺。讓學生的創新思維自然流淌，有利于學生創新素質的發展，也有利于學生的可持續發展。

當下，數學課堂教學務必追尋一種本真狀態，讓學生自主探索、靈活變通、合作對話、善于暴露、辨析比較、優化方法、綜合運用、深度發散，自由自在地創造和發展。

一、自主探索，靈活變通——創新思維之“根”

懷特海認為，使知識充滿活力而不是使之僵化，是一切教育的核心問題。即使一個簡單知識點的教學，也會蘊涵內在的活力，這種活力更多來自學生的思維活動。因此，教師需要致力于讓學生自主探索、獨立思考。有了“獨思”，學生才能充分挖掘自身潛能，不斷變通思路，發展創新思維。

例如，教學蘇教版小學數學五年級下冊第13頁例題9：

北京頤和園占地290公頃，其中水面面積大約是陸地面積的3倍。頤和園的陸地和水面面積大約各有多少公頃？

學生列方程解答后需要檢驗，教師鼓勵學生從不同的角度進行。大部分學生列式72.5+217.5=290（公頃），也有部分學生列式：290-217.5=72.5（公頃）或290-72.5=217.5（公頃）。在接下來的檢驗中，有的學生用217.5÷72.5，看是否正好是3倍；有的學生用290除以72.5，看是否是4（即3+1）倍；還有的學生用217.5÷3，看是否等于陸地的面積……學生列出了不同的算式進行檢驗，角度不同、路徑各異，展現了學生思維的創新性。

在這個例子中，我們發現并不是所有的學生都整齊劃一地運用一種思路，他們沒有做教材的奴隸，絕對“服從”教材提供的方法，即：72.5+217.5=290（公頃）；217.5÷72.5=3。學生在自主探索中從“我”出發，尊重“我”的思維取向，靈活運用加減法各部分之間的關系、乘除法各部分之間的關系變通思路，對“水面面積大約是陸地面積的3倍”有了靈活的理解，不拘泥于“水面面積÷陸地面積=3”這一模型，從而豐富了數學思維經驗，對數量之間的整體理解比較深刻。可以看到，這樣的思路變通富有價值、意義深遠，對學生今后正確、靈活地檢驗，整體把握數量關系有著積極的作用。

不少教師在引領學生檢驗這一道題目時，往往是強化格式的規范性、模型的固定性，淡化了數學理解，抑制了學生的創造思維。只有讓學生遵循自己的思路解決問題，立于“自我”，根于“自我”，變通思路、創新思維的過程才會有“根”。

二、合作對話，善于暴露——創新思維之“源”

學生創新思維的培養離不開合作，合作促進方法生成，合作促進深度思考，而課堂合作主要用對話進行。簡單地說，對話是師生基于相互尊重、信任和平等的立場，通過言談、傾聽而進行的雙向溝通、共同學習的過程，這是我們對“對話”的一個基本的定位。學生在對話中展露思維、發散思路，有效地促進了思維經驗的積累。尤其是課堂上暴露的不同見解乃至差錯，都是促進合作對話的良好資源，是創新思維之“源”。我們認為，任何一個學生的思考與挫折都應當視為精彩的表現來加以接納。課堂上，即使生成了一些差錯，只要教師正確對待，化腐朽為神奇，不僅不會影響課堂教學效果，還會激活學生的創造火花。

在教學蘇教版五年級下冊《解決問題的策略——一一列舉》時，有這樣的教學場景：

（1）出示“活動要求”。

活動一：嘗試操作，感知策略

五（8）班種植小隊在勞動實踐基地“稚耕園”用22根1米長的木條圍成一塊長方形試驗田，怎樣圍面積最大？

1.想一想：圍成的長方形的周長一定是多少米？

2.畫一畫：下面每個小方格表示邊長為1米的正方形，請你嘗試畫出不同的圍法。（圖略）

友情提醒：可以將不同長方形的長、寬等填在下面的表格中。

3. 組內交流：你是怎樣圍的？怎樣圍面積最大？

（2）學生進行操作、觀察，教師巡視并進行適當的指導。

（3）各小組進行組內展示、交流，學生之間進行對話。

學生展示的研究情況多種多樣，出現了以下的生成性資源：

……

針對以上不同的情況，學生進行了這樣的對話：

生1：我認為表①中列舉的情況不夠齊全，少了長是8米、寬是3米。

生2：在列舉時不能遺漏，要將符合條件的全部列舉出來。

生3：少了一種情況后，面積最大的圍法就可能不可靠。

生4：我覺得表②中列舉到長6米、寬5米就可以了，后面的數據不需要列出來。

生5：是的，后面的兩個圖形已經出現，是重復的，不需要列舉出來。

生6：表③的主要問題是數據排得有點雜亂，沒有按照一定的順序思考，不利于較快地解決問題。

……

（4）教師與學生對話、交流。

提問：我們可以借助列表進行列舉，填表時可以從長（或寬）是幾米的長方形開始想起？為什么要從長10米（或寬1米）的長方形開始想起？

生1：22÷2=11（米），周長的一半是11米，因為長、寬都是整米數，所以長最長是10米（或寬最短是1米）。

生2：從長是10米開始按照一定的順序思考，接著依次是9米、8米、7米、6米。

生3：也可以從寬是1米開始按照一定的順序思考，接著依次是2米、3米、4米、5米。

（5）學生觀察、發現：一共有幾種圍法？長、寬各是多少米時，面積最大？你還有怎樣的發現？

（6）師生談話：剛才采用了列舉的策略解決問題，我們是對不同圍法一一列舉，而且有順序地進行思考，做到不重復、不遺漏，這樣解決問題結果會更加可靠。（板書：有序思考 不重復 不遺漏）

鐘啟泉教授有這樣的觀點：教學不是告知與被告知的事情。教師上課的本質恰恰在于如何尊重學生的差異，盡可能地調動兒童活躍的思維，發現不同的思路，激活認知沖突，展開集體思維。在這一案例中，學生進行合作對話，出現了不同的思路，畫出了不同的長方形，有的思考無序，有的出現遺漏，有的出現重復，不同的結果展現了不同的思維過程。在這原生態、接地氣的思維暴露活動中，學生生成了各種各樣的問題，在互動的過程中積累創造思維經驗。在小組展示、對話過程中，學生結合數據進行補充、修正和完善，最后形成了一致的看法：通過一一列舉，有順序地進行思考，做到不重復、不遺漏，這樣解決問題結果會更加可靠。可以說，整個對話過程充分暴露了學生的不同觀點，展現了異中求同的創新思維過程。

三、辨析比較，優化方法——創新思維之“重”

鄭毓信先生指出，相對于“善于舉例”與“善于提問”而言，“善于比較與優化”應當說更為直接地涉及了數學學習的本質：這應該被看成一個文化繼承的過程，且是在教師的指導下完成的，即主要表現為不斷地優化。

以蘇教版數學四年級下冊《多邊形的內角和》為例：

教師先復習了三角形的內角和及推導過程，接著出示了四邊形、五邊形和六邊形等，引領學生提出不同的問題，有的學生提出：四邊形的內角和是多少度？五邊形呢？……還有學生提出：多邊形的內角和可能與什么有關系呢？

學生通過合作交流，提出了這樣的方法：

（1）用量角器量出每個角的度數，再求和；

（2）將四邊形的四個角撕開，再拼在一起，看拼成的角可能是什么角？

（3）將四個角折一折，看組成的角是什么角？

（4）先嘗試將四邊形分一分，看可以分成幾個已經學過的三角形？

……

這里，借助方法（1）（2），可以讓學生動手操作，但這樣的操作沒有必要，從三角形的內角和推導看，學生已經發現：對于任意的三角形，如果每次都先測量、再求和（或將每一個角都撕下來，再拼一拼），比較麻煩，且測量容易產生誤差，難以得到準確的結果。進而使學生明確：探索多邊形的內角和，可以先將多邊形分成若干個圖形，分別求出每個圖形的內角和，再相加。

在研究五邊形時，學生出現了這樣的方法：分成3個三角形（180°×3）或分成2個圖形：1個三角形和1個四邊形（180°+360°）。

在研究六邊形時，學生的方法也很豐富：分成4個三角形（180°×4）；分成3個圖形，即2個三角形和1個四邊形（180°×2+360°）；分成2個圖形，即2個四邊形（360°×2）。

學生接著在小組內進行了這樣的交流：

生1：研究四邊形、五邊形和六邊形等圖形時，可以通過分割的方法將多邊形轉化成已研究過的圖形，再將各個圖形內角的和相加。

生2：每一個多邊形分割成已知圖形的方法較多，似乎不容易發現規律。

生3：要是能將任意多邊形分割成同一種圖形，那該多好！

教師進行點撥：

怎樣分割我們比較容易發現任意邊數的多邊形內角和的計算方法呢？能不能將各個多邊形轉化為比較簡單的圖形？

生4：可以把各個多邊形分割成一定個數的三角形，再用三角形的內角和乘三角形的個數。

生5：三角形的個數等于多邊形的邊數減去2，所以多邊形的內角和= 180°×（邊數-2）。

生6：我覺得這樣分割比較容易發現規律。

數學邏輯思維重在培養學生分析、比較、抽象和概括等方面的能力，而創新思維的重心也在于比較、優化，在辨析、比較等活動中進行異中求同、同中求異，對不同的思路、方法等進行優化選擇和運用。在上面的案例中，隨著邊數的增加，學生感覺到分的方法越來越多，似乎難以發現規律，教師這時候進行畫龍點睛，引領學生進行思維的變通：無論怎樣分，我們都是將多邊形通過分割的方法轉化為已經研究的圖形。怎樣分割比較容易發現任意邊數的多邊形內角和的計算方法呢？學生的思維回歸到解決問題的基點：分成一定個數的三角形比較容易發現規律，能夠將多邊形的邊數與分成的三角形的個數建立一定的聯系，從而構建解決問題的模型，優化解決問題的路徑和方法。這樣的教學既讓學生發散思維，又讓學生得到優化發展。

由此可見，在教學活動中教師必須有意識地讓學生進行思路發散，同時組織學生辨析比較，在發散的基礎上聚合思維，優化解決問題的思路，并尋求不同解決問題的方案，促進學生進行創新思維。

四、綜合運用，深度發散——創新思維之“境”

不少心理學家認為，發散思維是創造性思維最主要的特點，是測定創造力的主要標志之一。結合生活實際，讓學生綜合運用已有的知識和經驗，針對需要解決的問題提出不同的方案，對問題解決深度思考，能達成創新思維發展的新境界。

有這樣的例子：教師結合生活實際，引領學生完成下列活動要求。

1. 一間長方形客廳，地面長5.6米，寬3.2米，用以下規格的方磚鋪地：

價格表

瓷磚1規格：80 cm×80 cm，每塊價格：90元；

瓷磚2規格：40 cm×40 cm，每塊價格：25元；

瓷磚3規格：30 cm×20 cm，每塊價格：10元。

活動：設計不同的方案

如果在客廳地面最外面一層正好鋪滿一種正方形瓷磚，里面正好鋪滿另一種瓷磚，可以怎樣鋪貼？

1. 組內分工合作，一人做好記錄。

2. 我們小組的設計：最外面一層鋪貼（ ）；里面鋪貼（ ）。研究過程：

我們的研究結論：

3. 全班交流。

2. 學生分工合作，教師指導小組活動，注意對有困難的小組或學生進行點撥。

3. 師：請一個小組的同學匯報研究結果。

生1：最外面一層鋪貼：80 cm×80 cm，里面鋪貼：40 cm×40 cm，

（560-80×2）÷40=10（塊），

（320-80×2）÷40=4（排），

560÷80×2+（320-80×2）÷80×2=18（塊），

10×4×25+18×90=2620（元）。

生2：最外面一層鋪貼：80 cm×80 cm，里面鋪貼：30 cm×20 cm，

（560-80×2）×（320-80×2）÷（30×20），不是整數倍，里面不能正好鋪滿。

……

生3：最外面一層鋪貼：40 cm×40 cm，里面鋪貼：80 cm×80 cm，

（560-40×2）÷80=6（塊），

（320-40×2）÷80=3（排），

560÷40×2+（320-40×2）÷40×2=40（塊），

6×3×90+40×25=2620（元）。

生4：最外面一層鋪貼：40 cm×40 cm，里面鋪貼：30 cm×20 cm，

（560-40×2）÷30=16（塊），

（320-40×2）÷20=12（排），

560÷40×2+（320-40×2）÷40×2=40（塊），

12×16×10+40×25=2920（元）。

生4：有三種方案能讓最外面、里面都正好鋪滿，其中兩種方案的價格一樣。

師：請生1說一說每一個列式求的是什么？

生1：（560-80×2）÷40求的是沿著里面的長鋪貼，一排可以鋪貼多少塊； （320-80×2）÷40求的是沿著里面的寬鋪貼，一排可以鋪貼多少塊（或者說：里面一共可以鋪貼多少排？）；560÷80×2+（320-80×2）÷80×2求的是最外面一共可以鋪貼多少塊；10×4×25+18×90求的是一共要多少元。

師：請同學們在小組內交流不同算式表示的含義。

師：在不同的搭配方式中，關鍵是求出什么？

生：求出里面地面的長和寬，再看能不能正好鋪滿。

師：對于不同的可行性方案，可以先分別求出最外面和里面正好鋪貼的塊數，再計算出總價，看哪種比較合算。

以上案例表明，數學是思維的學科，實際問題的解決需要學生主動探索、積極思考。在不同的搭配方式中，關鍵是先求出里面地面的長和寬，再看能不能正好鋪滿。對于不同的方案，可以計算出總價，看哪種比較合算。這一活動具有豐富性、復雜性和嚴密性等特點，學生的活動經驗在畫畫、算算、比比等操作、思考活動中愈加深刻。尤其是最外面一層鋪貼正方形地磚后，里面可以怎樣鋪需要學生借助圖示深度思考；由提出方案，到驗證方案是否可行，再到得出結論，這樣的過程是一個科學探究的過程，有利于學生掌握探究的方法。

總之，學生創新思維的發展，離不開教師精心的指導、組織和促進。教師只有不斷引領學生自主探索、合作對話、比較優化、綜合運用，讓學生的創新思維在自然狀態下盡情流淌，以培養創新思維為核心的素質教育才會綻放異彩。